2第二节 频率与概率
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=1/4+1/4+1/4-1/8-1/8=1/2. （2）P( ABC )=P( A U B UC )=1- P(A B C)=1/2.
1.4.1 古典型概率 若试验E具有如下特征： （1）试验所有可能的结果是有限个,设为n个,
S={e1,e2,…,en}； （2） 每一个结果在一次试验中发生的可能性
1.3.1 频率 定义1 在相同条件下将随机试验独立重复进
行了n次,随机事件A发生的次数nA称为事件A 发生的频数，nA /n 称为事件A 发生的频率.并 记为fn(A).
频率具有如下性质：
(1) 0≤fn(A)≤1；
——有界性
(2) fn(S)=1；
——规范性
(3) 若A1，A2,…,An互不相容，则
6. 会面问题（几何概型）
两人相约于晚7点到8点间在某处会面，到达者 等足20分钟便立即离去。设两人的到达时刻在7 点到8点间都是随机等可能的，求两人能会面的 概率P？
L (1)n1 P( A1 A2 L An )
例 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC) =P(BC)=1/8. （1）求 A,B,C 至少有一个发生的概率； （2）求 A,B,C 全不发生的概率. 解 1）0 P(ABC) P(AB)=0
P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)
（1）取到两只球都是白球的概率； （2）取到两只球颜色相同的概率； （3）取到两只球至少有一只是白球的概率。
在体育比赛预赛中抽签决定分组，各队机会均等 ，与抽签的先后次序无关，为什么？
可将此问题抽象为摸球问题：
袋中有m个黑球，n只白球，现将球一个个摸 出，求第k次摸出黑球的概率。
3. 分配问题
把甲、乙、丙三名学生依次随机的分配到5 个宿舍中去，试求三名学生住不同宿舍的概率？
相同.即P({e1})=P({e2})=…=P({en})，则称这种 试验为等可能概型（或古典概型）.
若事件A包含k个基本事件，即
A {ei1 , ei2 , , eik },
其中i1,i2,…，ik是k个不同的数，则有
k
k A中 的 基 本 事 件 数
Leabharlann Baidu
P( A) j1 p({ei j }) n 基 本 事 件 总 数 .
nH 1061 2048 6019 12012
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
利用频率确定概率的方法
➢随机试验可大量重复进行； ➢频率具有随机波动性； ➢次数较小时，频率波动幅度大，但随着次 数的增加，频率fn(A)会稳定于某一常数(稳 定值).这种“频率的稳定性”即统计规律性；
5.*（加法公式） P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
➢加法公式的推广：
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)
U n n
P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i1 i1
1. 取数问题
从0,1,2,…,9十个数字中任选出三个不同的数字 ，试求下列事件的概率：
（1）A1={三个数中不含0和5}； （2）A2={三个数中含0但不含5}； （3）A3={三个数中不含0或5}。
2. 摸球、抽签问题
一袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球，从 袋中取球两次，每次随机的取一只，分别就有放 回和无放回两种情况，求
称P(A)为事件A发生的概率.
概率的重要性质： 1. P(φ)=0. 2. (有限可加性)若A1 , A2 ,…, An 互不相容，则 P(A1∪A2 ∪ … ∪ An )= P(A1)+P(A2)+…+P(An) . 3. （互补性） P(A)=1-P(A) .
4. 若 AB ，则P(A-B)=P(A)-P(B) . 注1 若 AB,则P(A)≥P(B) . 另外, P(A)≤1 . 注2 一般地，P(A-B)=P(A)-P(AB) .
20 fn( A) 60 .
1.3.2 概率
定义2 设试验E的样本空间为S，对试验E的任
意随机事件A，定义实值函数P(A)，如果它
满足如下三个公理：
非负性公理： P(A)0;
正则性公理： P(S)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …, An …互不相
容，则
U
P Ai P( Ai ) i1 i1
注记
记号 概率论
集合论
S
样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集
样本点
元素
AB
A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB
A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB
A发生且B不发生 A与B的差集
A
A不发生、对立事件 A的余集
§1.3 频率与概率
4. 配对问题
从n双不同型号的鞋子中任取2k (2k<n)只，试 求下列事件的概率：
（1）A={没有成对的鞋子}； （2）B={只有一对鞋子}； （3）C={恰有两对鞋子}。
5. 假设检验问题
某科技馆某一星期里曾接待过10位专家来访， 所有10次接待都是在星期一或星期二，问是否可 以断定接待时间有规定？
fn(A1∪A2 ∪ … ∪ An)=fn(A1)+ fn(A2)+…+ fn(An).
——可加性
实验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5 nH fn(H) 2 0.4 3 0.6 1 0.2 5 1.0 1 0.2 2 0.4 4 0.8 2 0.4 3 0.6 3 0.6
n=50 nH fn(H) 22 0.44 25 0.50 21 0.42 25 0.50 24 0.48 21 0.42 18 0.36 24 0.48 27 0.54 31 0.62
➢用频率的稳定值作为该事件的概率.
例：将一颗骰子掷60次，Ai =“其向上一面的点 数为i”，A=“向上一面的点数小于3”。如果A1 出现了9次,A2出现了11次, A3出现了12次,则易 知：
9 fn ( A1 ) 60 ,
解 11 fn ( A2 ) 60 ,
12 fn ( A3 ) 60 ,
n=500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德 . 摩根 蒲丰 K ．皮尔逊 K ．皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
1.4.1 古典型概率 若试验E具有如下特征： （1）试验所有可能的结果是有限个,设为n个,
S={e1,e2,…,en}； （2） 每一个结果在一次试验中发生的可能性
1.3.1 频率 定义1 在相同条件下将随机试验独立重复进
行了n次,随机事件A发生的次数nA称为事件A 发生的频数，nA /n 称为事件A 发生的频率.并 记为fn(A).
频率具有如下性质：
(1) 0≤fn(A)≤1；
——有界性
(2) fn(S)=1；
——规范性
(3) 若A1，A2,…,An互不相容，则
6. 会面问题（几何概型）
两人相约于晚7点到8点间在某处会面，到达者 等足20分钟便立即离去。设两人的到达时刻在7 点到8点间都是随机等可能的，求两人能会面的 概率P？
L (1)n1 P( A1 A2 L An )
例 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC) =P(BC)=1/8. （1）求 A,B,C 至少有一个发生的概率； （2）求 A,B,C 全不发生的概率. 解 1）0 P(ABC) P(AB)=0
P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)
（1）取到两只球都是白球的概率； （2）取到两只球颜色相同的概率； （3）取到两只球至少有一只是白球的概率。
在体育比赛预赛中抽签决定分组，各队机会均等 ，与抽签的先后次序无关，为什么？
可将此问题抽象为摸球问题：
袋中有m个黑球，n只白球，现将球一个个摸 出，求第k次摸出黑球的概率。
3. 分配问题
把甲、乙、丙三名学生依次随机的分配到5 个宿舍中去，试求三名学生住不同宿舍的概率？
相同.即P({e1})=P({e2})=…=P({en})，则称这种 试验为等可能概型（或古典概型）.
若事件A包含k个基本事件，即
A {ei1 , ei2 , , eik },
其中i1,i2,…，ik是k个不同的数，则有
k
k A中 的 基 本 事 件 数
Leabharlann Baidu
P( A) j1 p({ei j }) n 基 本 事 件 总 数 .
nH 1061 2048 6019 12012
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
利用频率确定概率的方法
➢随机试验可大量重复进行； ➢频率具有随机波动性； ➢次数较小时，频率波动幅度大，但随着次 数的增加，频率fn(A)会稳定于某一常数(稳 定值).这种“频率的稳定性”即统计规律性；
5.*（加法公式） P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
➢加法公式的推广：
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)
U n n
P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i1 i1
1. 取数问题
从0,1,2,…,9十个数字中任选出三个不同的数字 ，试求下列事件的概率：
（1）A1={三个数中不含0和5}； （2）A2={三个数中含0但不含5}； （3）A3={三个数中不含0或5}。
2. 摸球、抽签问题
一袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球，从 袋中取球两次，每次随机的取一只，分别就有放 回和无放回两种情况，求
称P(A)为事件A发生的概率.
概率的重要性质： 1. P(φ)=0. 2. (有限可加性)若A1 , A2 ,…, An 互不相容，则 P(A1∪A2 ∪ … ∪ An )= P(A1)+P(A2)+…+P(An) . 3. （互补性） P(A)=1-P(A) .
4. 若 AB ，则P(A-B)=P(A)-P(B) . 注1 若 AB,则P(A)≥P(B) . 另外, P(A)≤1 . 注2 一般地，P(A-B)=P(A)-P(AB) .
20 fn( A) 60 .
1.3.2 概率
定义2 设试验E的样本空间为S，对试验E的任
意随机事件A，定义实值函数P(A)，如果它
满足如下三个公理：
非负性公理： P(A)0;
正则性公理： P(S)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …, An …互不相
容，则
U
P Ai P( Ai ) i1 i1
注记
记号 概率论
集合论
S
样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集
样本点
元素
AB
A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB
A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB
A发生且B不发生 A与B的差集
A
A不发生、对立事件 A的余集
§1.3 频率与概率
4. 配对问题
从n双不同型号的鞋子中任取2k (2k<n)只，试 求下列事件的概率：
（1）A={没有成对的鞋子}； （2）B={只有一对鞋子}； （3）C={恰有两对鞋子}。
5. 假设检验问题
某科技馆某一星期里曾接待过10位专家来访， 所有10次接待都是在星期一或星期二，问是否可 以断定接待时间有规定？
fn(A1∪A2 ∪ … ∪ An)=fn(A1)+ fn(A2)+…+ fn(An).
——可加性
实验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5 nH fn(H) 2 0.4 3 0.6 1 0.2 5 1.0 1 0.2 2 0.4 4 0.8 2 0.4 3 0.6 3 0.6
n=50 nH fn(H) 22 0.44 25 0.50 21 0.42 25 0.50 24 0.48 21 0.42 18 0.36 24 0.48 27 0.54 31 0.62
➢用频率的稳定值作为该事件的概率.
例：将一颗骰子掷60次，Ai =“其向上一面的点 数为i”，A=“向上一面的点数小于3”。如果A1 出现了9次,A2出现了11次, A3出现了12次,则易 知：
9 fn ( A1 ) 60 ,
解 11 fn ( A2 ) 60 ,
12 fn ( A3 ) 60 ,
n=500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德 . 摩根 蒲丰 K ．皮尔逊 K ．皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000