循环码

8.5 循环码

循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。

下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。

8.5.1 循环码的描述

1. 码多项式及其运算

通式表示为：

（8-69）于是称与为“同余”式，即

[模]

（8-70）如：

则[模] 即能被整除

利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：

如：的多项式表示为：

使码组向左移2位（循环）则有

对应多项式

然后以去除得：

这一结果表明，以作除法运算（称模）后，

即与为同余

因此，（模）

应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的

这一同余关系式。

2.循环码的构成

循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位

其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从

信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。

若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项

式，

于是，有：

（模)

（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系

统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。

表8-4 （7，3）循环码

移位（7，3）码码多项式（模）

0 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 0

2 1 1 1 0 1 0 0

3 1 1 0 1 0 0 1

4 1 0 1 0 0 1 1

5 0 1 0 0 1 1 1

6 1 0 0 1 1 1 0

8.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵

1. 生成多项式

由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从

开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低

位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，

即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多

项式，即

（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析

（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有

（8-74）如：

（8-75）

（8-76）

其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的

即

（8-77）

（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项

式。

上例二种情况，有

（8-79）

（8-80）循环码的监督多项式，最高阶次为，与最高阶次之和为码长，按照上列与的不同分配方案，可以产生具有不同监督位数的（7，）循环码，如表8-5示，显然可由两种（7，3）码与（7，4）码，（7，6）码是个奇偶校验码，（7，1）码是重复码，上述表8-4的（7，3）码采用了。

表8-5 的因式分解及6种不同码

最高阶

顺序生成多项式

监督多项式码

次

1 1 （7，6）

2 3 （7，5）

3 3 （7，4）

4 4 （7，3）

5 4 （7，3）

6 6 （7，1）

在中，由于与最高阶次之和为，且两者最高阶次分别为与，即

（8-81）其中，只有及，这两个乘积项分别构成中的和1，因此，其余各

全部为0，由式（8-81）的展开式中的系数，构成循环码的一致监督矩阵。

2. 生成矩阵多项式和编码方法

在分组码中，生成矩阵为阵列，输入的位信息码组，可以由矩阵生成全部非0码字。

对于循环码，可由，共行码字多项式构成生成矩阵多项式

（8-82）于是前面由构成的（7，3）循环码生成矩阵为

（8-83）相应的系数表示的生成矩阵为

（8-84）可以化为其标准形式为

（8-85）再按与的关系，直接写出标准形式的矩阵

（8-86）与分组码一样，利用可生成码字多项式。

设信息编码（位）为则

（8-87）由于我们设计循环码为系统码，应当将信码多项式晋升到从项的最高位开始，即将向左移位——，是码字多项式的最高位开始的前－1项，其后应续排项的监督多项式，则该系统码结构为

（8-88）式中为监督多项式：

（8-89）式（8-88）可写为

（8-90）是码字多项式，必能为整除，即

或，（模

（8-91）

（8-92）即

（8-93）由上面几个关系式，特别是式（8-93），我们可以得到循环码的编码方法步骤在选定生成多项式之后，按下面步骤构成全部码字多项式：

（1）给出信息码组后，写出其多项式为

（2）将提升左移位，得；

（3）除以生成多项式，求得的余式为；

（4）由式（8-93）可得；

8.5.3 循环码、对偶码与缩短码

1. 对偶码

与前述分组码具有对偶码一样，循环码也具有对偶码关系。

上面我们选用构成了（7，3）循环码，其监督多项式为构成了（7，3）循环码，其监督多项式为（表8-5）同时，我们也可选用

作为生成多项式，同样构成（7，3）循环码，其

监督多项式为。

这两种（7,3）码虽构成有所不同，但它们都有同样的纠错能力。而且两者均存在对偶码，即分别以它们的监督多项式及作为生成多项式，可分别构成对偶码（7,4）码，即

（8-94）

（8-95）构成它们对偶码的另一种方法是：由一个循环码的监督多项式的反项多项式——即取的逆序系数构成多项式作为生成多项式，可以得到码，与