高等数学：斯托克斯公式环流量与旋度

练习题答案
一, 20 π . 三, rotA = i + j . 五,12π .
π 3 二, a . 4
四,0. 六,0.
�
轴的正向看去,取逆时针方向. 轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取∑为平面 x + y + z = 2 所围成的部分. 的上侧被Γ 所围成的部分. 1 则 n= {1,1,1} 3
z
∑
n
o
Γ
y
x
1 , 即 cosα = cos β = cos γ = 3
1 3 x y2 z2 1 3 y z2 x2 1 3 dS z x2 y2
三,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫C A ds = ∫C Pdx + Qdy + Rdz 称为向量场 A沿曲线 C按所取方向的环流量 .
且 u( x , y , z ) = ∫
( x , y ,z ) ( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
用定积分表示为
z
M ( x, y, z )
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx
x0 x
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
+ ∫ Q( x , y , z0 )dy
y0 z
y
O
M 1 ( x , y0 , z 0 )
y
M 2 ( x , y , z0 )
+ ∫ R( x , y , z )dz .
z0
x
内某一定点, 其中 M ( x0 , y0 , z0 ) 为 G 内某一定点, 点 M ( x, y, z ) ∈ G .
Γ
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑
D xy
1
1
由于∑ 弦都为正, 由于∑的法向量的三个方向余 弦都为正, 再由对称性知: 再由对称性知:
∫∫ dydz + dzdx + dxdy ∑
Dxy 如图
= 3 ∫∫ dσ
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当 是xoy面 平 闭 域 ) ∑ 的 面 区 时
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz , 其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界 , 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 的法向量之间符合右手规则. z
向 场A沿 向 曲 Γ 的 流 量 有 闭 线 环 量等 向 场 于 量 A的旋 场通 Γ 所张 曲面 通量.(Γ 的正 通量.( 度 过 的 的 侧 合 手 则 向 ∑的 符 右 法 ) 与
四,小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z dS = ∑ P Q R
Γ
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z ∑ P Q R
Γ
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ rotA ndS = ∫ A t ds
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
∑
场论初步
梯度
u u u gradu = i + j + k x y z
P Q R divA = + + x y z
Γ
∑
通量 Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 散度
环流量 Γ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz 旋度
R Q P R Q P rotA = ( )i + ( ) j + ( )k y z z x x y
练 习 题
一, 计 算
∫
轴正向看去, x 2 + y = 2 z , z = 2 若从z 轴正向看去, 这圆周是 逆时针方向 . 二, 计 算
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
Dxy
o
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
Γ 2
3 ydx xzdy + yz 2 dz , 其 中 Γ 是 圆 周
∫
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 和 园 柱 面 x 2 + y 2 = ax 的 交 线 轴正向看去, (a > 0 , z ≥ 0) ,从 x 轴正向看去, 曲线为逆时针方 向 .
三, 求向量场 A = ( z + sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
∫∫ (
∑
Γ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
斯托克斯公式
n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
nwk.baidu.com
Γ是有向曲面 ∑ 的
∑ :z =
Γ
证明
如图
设 ∑ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 ∑ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为∑的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
第十章 第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 环流量与旋度
一,斯托克斯公式 *二,空间曲线积分与路径无关的条件 二 三,环流量与旋度 四,小结与思考题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一,斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
为分段光滑的空间有向闭曲线, 定理 设 Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, ∑是以
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四,利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 x 2 y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五,求向量场 A = ( x z )i + ( x 3 + yz ) j 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六, u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与 ∑ 为边界的分片光滑的有向曲面,
的侧符合右手规则, 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z), Q( x, y, z),
R( x, y, z)在包含曲面 ∑在内的一个空间区域内
具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P )dydz + ( )dzdx + ( )dxdy y z z x x y
利用stokes公式, 有 利用stokes公式, stokes公式
i 环流量 Γ = ∫ A ds = ∫∫ C x ∑ P
2. 旋度的定义: 旋度的定义:
j y Q
k dS z R
i j k 称向量 为向量场的旋度 ( rotA) . x y z P Q R
i j k 旋度 rotA = x y z P Q R
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
∑
Dxy
x+ y= 1 2
4 = ∫∫ ( x + y + z )dS 3 ∑
3 (∵ 在∑上x + y + z = ) 2
9 4 3 = ∫∫ dS = 2 3 ∫∫ 3dxdy = . 3 2∑ 2 D xy
二,空间曲线积分与路径无关的条件
斯托克斯公式的应用: 斯托克斯公式的应用:空间曲线积分与路径无关 的条件. 的条件. 注意:空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭 注意: 曲线的曲线积分为零. 曲线的曲线积分为零. 问题:空间曲线积分在什么条件下与路径无关? 问题:空间曲线积分在什么条件下与路径无关?
Γ
其中
∑的单位法向量为 n = cosα i + cos β j + cos γ k , Γ的单位切向量为 t = cos λ i + cos j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ndS = ∫ΓA t ds ∑
其中
( rotA)n = rotA n
或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ At ds
是一维单连通域, 定理1 设空间开区域 G 是一维单连通域,函数 P ( x , y , z ),Q( x , y , z ),R( x , y , z ) 在 G 内具有一阶 连续偏导数, 连续偏导数,则空间曲 线积分 ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
内与路径无关( 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意闭曲线的曲线 积分为零) 积分为零)的充分必要 条件是等式 P Q Q R R P , , 内恒成立. = = = 在 G 内恒成立. y x z y x z
R Q P R Q P = ( )i + ( ) j + ( )k. y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P ∫∫[( y z )cosα + ( z x )cos β + ( x y )cosγ ]dS ∑
= ∫ (Pcos λ + Qcos + Rcos )ds ν
是空间一维单连通域, 定理2 设区域 G 是空间一维单连通域, 函数 P ( x , y , z ),Q( x , y , z ),R( x , y , z ) 在 G 内具有一阶 连续偏导数,则表达式 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内 连续偏导数, 成为某一函数 u( x , y , z ) 的全微分的充分必要条 件是等式 P Q Q R R P , , 内恒成立. = = = 在 G 内恒成立. y x z y x z
∑
R Q P R Q P ) cosα + ( ) cos β + ( =( ) cos γ y z z x x y
At = A n = P cos λ + Q cos + R cosν
∴环流量 Γ = ∫∫ rotA dS = ∫ At ds
∑ Γ
Stokes公式的物理解释 公式的物理解释: 公式的物理解释
x o
f ( x, y)
y
Dxy C
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
其中n = {cosα,cos β ,cosγ }