第二章 2.2 第2课时 基本不等式的应用学案导学与随堂笔记(人教A版)

1.已知
0<x<12，则
1 y＝x(1－2x)的最大值为__8___.
解析 y＝x(1－2x)＝12·2x·(1－2x)
≤122x＋12－2x2＝18，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取“＝”.
2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储 费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__2_0__.
≤220－2
2t·1t8＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)已知x，y是正数. ①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. ②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值. 即：“和定积最大，积定和最小”. (2)求解应用题的方法与步骤. ①审题，②建模(列式)，③解模，④作答. 2.方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值. 3.常见误区：缺少等号成立的条件.
促销费不能超过 3 万元).已知加工此批农产品还要投入成本 2Q＋Q1 万元(不包含推广
促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为2＋2Q0元/件. 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润 ＝销售额－成本－推广促销费)
反思
感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立.
用基本不等式x＋2 y≥ xy求最值应注意： (1)x，y是 正数 ；
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 P ； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 14S2 .
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
素养
提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，
所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的y＝x＋ a (a>0) x
就是一个应用广泛的函数模型.
3 随堂演练
PART THREE
1.设 x>0，则 3－3x－1x的最大值是
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5.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢 的最大容积是____1_6___ m3.
解析 设车厢的长为b m，高为a m.
由已知得 2b＋2ab＋4a＝32，即 b＝16a－ ＋21a， ∴V＝a·16a－ ＋21a·2＝2·16aa＋－12a2. 设 a＋1＝t，则 V＝220－2t－1t8
跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成 功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火 箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克 /时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克， 已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.消耗A材料总重量为y千克，那么 要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少.
C.3
D.4
解析 x2－x－x＋1 1＝xx－x－11＋1＝x＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立.
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3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四
种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
第二章 2.2 基本不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
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内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点 用基本不等式求最值
A.3 C.－1
B.3－2 2
√D.3－2 3
解析 ∵x>0，∴3x＋1x≥2 当且仅当 x＝ 33时取等号，
3x·1x＝2 3，
∴－3x＋1x≤－2 3，
则 3－3x－1x≤3－2 3，故选 D.
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2.已知x2－x－x＋1 1(x>1)在 x＝t 时取得最小值，则 t 等于
A.1＋ 2
√B.2
的代换.
跟踪训练 1 已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则1x＋4y的最小值是___9___.
二、基本不等式在实际问题中的应用
例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中 华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作 中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 Q＝x＋2 1(其中推广
A.6.5 m
B.6.8 m
√C.7 m
D.7.2 m
解析 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架的周长为 l，则12ab＝2， ∴ab＝4，l＝a＋b＋ a2＋b2≥2 ab＋ 2ab＝4＋2 2≈6.828(m).
∵要求够用且浪费最少，故选C.
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4.已知正数 a，b 满足 a＋2b＝2，则2a＋1b的最小值为____4____. 解析 2a＋1b＝2a＋1b×12(a＋2b)＝124＋ab＋4ab ≥12(4＋2 4)＝4. 当且仅当ab＝4ab，即 a＝1，b＝12时等号成立， ∴2a＋1b的最小值为 4.
核心素养之数学建模
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO
基本不等式在实际问题中的应用 典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出 口，如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长 度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
2 题型探究
PART TWO
一、利用基本不等式变形求最值
例 1 已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值.
延伸探究 若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
反思
感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应
用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各 不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”
解析 年平均利润yx＝－x＋18－2x5＝－x＋2x5＋18 ≤－2 2x5·x＋18＝－10＋18＝8，当且仅当 x＝5 时取“＝”.
4.已知 x>2，则 x＋x－4 2的最小值为____6____.
解析 x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2， ∵x－2>0，∴x－2＋x－4 2＋2≥2 4＋2＝4＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时取“＝”.
解析 总运费与总存储费用之和
y＝4x＋40x0×4＝4x＋1 6x00≥2
1 4x·
6x00＝160，
当且仅当 4x＝1 6x00，
即x＝20时取等号.
3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利 润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则 该公司每台机器年平均利润的最大值是____8____万元.