武汉大学信号与系统题库

1-1判断下列信号是否是能量信号，功率信号，或者都不是。注意这里圆括号和方括号表示其分别对应连续和离散信号，下同。

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6)。

解(1) 对于，

因此,是能量信号。

(2) 如果是基本周期为的周期信号,则的归一化平均功率与任意时间间隔的的平均功率是相同的，正弦信号是周期为的周期信号，所以的平均功率为

因此，是功率信号。注意，一般情况下，周期信号都是功率信号。

(3) 对，

因此，既不是能量信号，也不是功率信号。

(4) 对，根据能量信号定义得

因此，是能量信号。

(5) 对，由功率信号定义得

因此，是功率信号。

(6) 因为，所以

因此，是功率信号。

1-2验证下式：

(1) ；(2)。

解可以根据以下等效性质来证明：

设是广义函数，则对于所定义的测试函数，当且仅当

时，，这就是等效性质。

(1) 对可变的变量,设,则，可以得到以下等式：

所以，考虑到是的偶函数，因而有。

(2) 令，由得

1-3计算下列积分

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)。

解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1-4如下图所示的系统是(1)无记忆的；(2)因果的；(3)线性的；(4)时不变的；(5)稳定的。

解

(1) 由图得，因为输出的值仅取决于输入当前的值，所以系统是无记忆的。

(2) 因为输出不取决于输出将来的值，所以系统是因果的。

(3) 设，则有

其中

所以系统满足叠加性质，是线性的。

(4) 设，而，因为，所以系统是时变的。

(5) 因为，，若输入是有界的，则输出也是有界的，系统是BIBO稳定的。

1-5如果可以通过观察系统的输出信号来惟一的确定输入信号，则该系统称为可逆的，如下图所示。试确定以下的系统是否是可逆的，如果是，给出其逆系统。

(1)； (2)；

(3)

；

(4)

；

(5)

。

解

(1) 可逆，。

(2) 不可逆。

(3) 可逆，。

(4) 可逆，

(5) 不可逆。

1-6 如下图所示的网络中，已知励磁信号为，单位为，电阻（单位

），电感

（单位

）均为常数，电容器是一个伺服机械带动的空气可变电容器，其容量的变化规律为

。试列出该网络输出电压

的数学表达式，并说明该网络属于哪类系统。

解 电容器上的电荷，所以回路电流（即电容器中的电流）为

:

电阻两端的电压为：

电感两端的电压为：

基于KVL，可得，得

由数学模型可知该系统是线性时变连续时间系统。

1-7建立下图所示电路的数学模型，指出该电路产于哪种系统。若将图中的开关在开启，在

闭合，开启，如此不断重复，试问该网络是什么样的系统?

解当开关开启不动时，该网络的数学模型为：

这是一个二阶常系数微分方程，所以该系统为线性时不变系统，当开关按函数动作时,显然这时网络的电量是时间的函数,所以该系统为线性时变系统。

2-1设，证明。

证明由卷积公式有

设，代入上式得

2-2设为下图中(a)所示的三角形脉冲，为单位脉冲串，如图中(b)所示，表示为

，试确定并画出当为以下各值时的：(1)

；(2) ；(3) 。

解利用卷积公式可得

(1)

时，

(2)

时，

(3)

时，

2-3 设一个连续时间系统为，求出并画出系统的冲激响应，该

系统是否为因果系统？ 解

利用卷积公式可以表示为

因此，系统的冲激响应

为

由右图及上式可看出，当时，，因此系统不是因果的。

2-4如下图中(a)所示，系统是通过连接两个相叠的系统构成的，这两个系统的冲激响应分别为和

，且，。求出图中(b)所示整个系统的冲激响应，并判断系统是否为BIBO稳定的。

解设是第一个系统的输出，则，有

根据卷积的结合律，有

因此，整个系统的冲激响应为

因为

所以系统是BIBO稳定的。

2-5如下图所示，连续时间系统由两个积分器和两个比例乘法器构成，写出输入和输出之间的微分方程。

解设和分别为图中第一个积分器的输入和输出，则

因为是图中第二个积分器的输入，则有，得

这就是要求的二阶线性微分方程。

注意：一般情况下，由相互连接的积分器和比例乘法器构成的连续时间LTI系统的阶数等于系统中积分器的个数。

2-6设一个连续时间系统的输入与输出之间的关系为，其中是常数。

(1) 若，求；(2) 用零输入和零状态响应方式表示。

解

设，其中是满足的特解，是满足式

的一般解。

假设，代入，得，由此可得，故

要得到，可以假设，代入，得，可得，故

将和组合起来，得

结合辅助条件，得，则

如果，有，因此又得，由辅助条件得，则

，所以可以用零输入响应和零状态响应的形式表示为：

2-7对习题2-6中的系统求其冲激响应。

解冲激响应应该满足微分方程

(2-7-1)

式(2-7-1)的一般解为，可以假设，代入式(2-7-1)得

，可得，故。可以预测，的特解为零，

因为不包含，否则，将是的导数从而不满足方程，因此，代入式(2-7-1)得

可得，从而得该系统的冲激响应