判别式法求值域

关于判别式法求值域增根的研究

文章来源：2008年下半年度《试题与研究》

我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没

有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先

约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。

但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况

呢？让我们比较吧！

例：求二次分式函数y = 的值域．

方法判别式法化简为一次分式法

解题过程

∵ y =

∴ ( x2 – 1 ) y = x2 – 2x - 3

∴ ( y－1 ) x2 + 2x + 3 – y = 0 ----------*

①当y ≠ 1时，

△= b2 – 4 a c = 22 – 4 ( y – 1 ) ( 3 – y )

= 4 y 2 – 16 y + 16

= 4 ( y – 2 ) 2≥0 (△= 0时，y = 2 )

∴ y ∈ R , 且 y ≠ 1

②当y = 1时，代入*式得：

2 x +

3 – 1 = 0

∴ x = －1

∵函数的定义域为：

{ x ∈ R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }

∴ y ≠ 1

由①②得函数的值域为：

∵ y = =

∴①当x ≠－1时，

y = ，即：y ≠ 1

②当x = －1时，

y = = = 2

∵函数的定义域为：

{x∈R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }

∴ y ≠ 2

由①②得函数的值域为：

结果{ y ∈ R | y ≠ 1 } {y∈R | y ≠ 1 且 y ≠ 2 } 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首

先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！

函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。

将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！

倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：

y = ，(其中a、b、c、d为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式，当x = c或x = d即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。

但当分子分母中有公共因式存在时，情况就不同了。如文

章开始时我们解的那道求值域的题目：y = ，整理后得：(x2 – 1) y = x2 – 2x – 3，我们发现，当x = 1时，即有x2 – 1= 0，同时也有x2 – 2x – 3 = 0。即当x的取值使分母为0时，存在某一y值与之对应，所以此时用判别式法求值域时就会产生增根。

现在产生增根的原因已经搞清楚了，我们继续观察就会发现：增根产生的位置往往是在一元二次方程△= 0的时候，这又是什么原因呢？让我们继续深入研究。

我们发现，上例中将△≥0的范围内取得的y值代入到一元二次方程中，所解得的x值中总有x = 1这个值。也就是说，在此范围内的任何一个y值总有x = 1与之对应。由此不难找出原因：使△＞0的y值（y≠2）均对应两个x值，其中x = 1使得分母为0，为增根。另一个x值则在定义域内，所以y值可看成是由此x值对应的函数值。而当△= 0即y = 2时，方程有

两个相同根：x = 1，此时的y值（ y = 2 ）是由x = 1对应的。而x = 1可使分母为0 ，不在定义域内，故其所对应的y 值2亦不在值域内。这就是增根总是出现在△= 0处的原因。

弄清楚了出现增根的原因及出处，我们今后在做此类题目的时候，就一定要注意先检查一下所求二次分式函数的分子、分母是否能够约分，然后再去考虑是否采用判别式法来求其值域；或用判别式法求出其值域后，再将△= 0时的y值代入分母进行检验，看是否会使分母为0，以确保不产生增根。