（2）当a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面
MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴2==BF AC ,
21,21a BQ a CP ==, 即2a BQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(2
1)22()2()21(222<<+-=+-a a a
a
（2）由（1）知: 2222==
MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 22
的长最小，最小值为MN
(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，
∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又46=
=BG AG ，所以由余弦定理有
31464621)46()46(cos 22-=••-+=α。故所求二面角)3
1arccos(-=α。 例3. 如图，边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2
0(π
θθ<<。点M 在AC 上，点N 在BF 上，若AM=FN ,(1)
求 A
证:MN//面BCE ; (2)求证:MN ⊥AB;
(3)求MN 的最小值.
解析：(1)如图,作MG//AB 交BC 于G, NH//AB 交BE 于H, MP//BC 交AB 于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH 为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;
(2)易证AB ⊥面MNP, 故MN ⊥AB ;
(3)MPN ∠即为面ABCD 与ABEF 所成二面角的平面角,即θ=∠MPN ,设AP=x , 则BP=a －x , ＮP=a －x , 所以：
θcos )(2)(22x a x x a x MN ---+= 22)cos 1(2
1)2)(cos 1(2a a
x θθ-+-+=， 故当2a
x =时，ＭＮ有最小值a )cos 1(2
1θ-． 例4.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是
1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在
AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=x ,BN=y, ).2,0(<D P
N
M
以MP ⊥PN ，PB=1-AP=
x 22在∆PBN 中，由余弦定理得：PN 2=02245cos 2)2
2(xy y x -++ xy y x -+=222
1，在PMN Rt ∆中，MN=xy y x x PN MP -++-=+2222221)221(
1222+--+=x xy y x ).2,0(<（2）MN 1222+--+=x xy y x 31)322(43)2(22+-
+-x x y ，故当322=x ，32=y 时，MN 有最小值3
3。且该最小值是异面直线AC ，BF 之间的距离。
例5. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?
解析： 设∠ACD ＝θ，则∠BCD ＝90°-θ，作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，于是AM ＝bsin θ,CN ＝asin θ.
∴MN ＝｜asin θ-bcos θ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM ⊥CD ，BN ⊥CD ，∴AM 与BN 成90°的角，于是AB ＝
22222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++＝θ222sin ab b a -+≥ab b a -+22. ∴当θ＝45°即CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为ab b a -+22.
例6. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.
解析：(1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平
面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，
∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′
B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝B
C ＝a ，同理B ′
F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B
D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝2
3a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为4
11a.
(2)如图2，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝22)83
(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝2
1·EF ·BG ＝
