原码、反码与补码的详细讲解

一、概述
大家都知道，一个十进制数在计算机中都是以二进制数的形式存储的。

十进制数是有正负之分的，那么如何在计算机中来表示正号和负号呢？
我们通常使用二进制数的最高位来表示数的符号：“0”来表示正号，“1”来表示负号。

在计算机中整型数值数据的编码主要有：
z原码
z反码
z补码
在开始讲述这三种编码方法前，我们首先介绍一下机器数、真值、模数的概念。

1.机器数
数(含符号)在机器中的编码表示。

2.真值
机器数所对应的真实数值。

3.模数
一个计量器的容量或与零等价的数。

z对于一个n位计数器，每1位有R种状态，每种状态代表1个数，从“0”开始计数。

z计数器所能计的数值的个数即模数。

z计数器的模数 = 计数器的最大值+1 。

z计数器的模数（R n）取决于基数（R）和位数（n）
例子01 2位十进制计数器的模数是多少？
解：R=10 n=2 模数=R n = 102 = 99（最大的2位十进制数）+1 = 100 例子02 8位二进制计数器的模数是多少？
解：R=2 n=8 模数=R n = 28 = 255（最大的8位二进制数）+1 = 256
4. 为什么使用编码来表示“数”？
为了方便计算机的处理，简化计算过程。

二、原码
1. 定义
022011
≤<−−<≤−−X
X X n n 21−X n =
原][X
其中：n 为二进制的位数
原码的表示范围： )12(~)12(11−−−−−n n 问题：当n=8时，原码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求原码的方法
求原码的方法概括起来有两种
z 根据定义求原码
z 直接写出原码
（1） 根据定义求原码
例子03
已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的原码[ a ]原和[ b ]原。

设n = 8 。

解：根据公式有 [ a ]原 = a = （0000 0010）2
[ b ]原 = 2 n-1 – b
= 28-1 – ( -2) = 27+2
1000 0000
+ 10
1000 0010
（2） 直接写出原码
这种方法跟我们书上一样，不再赘述。

3. 原码表示方法存在的问题
（1） 0 有两种表示方法（理由见书上相关章节）
（2） 原码进行加减运算时，符号位应单独处理，运算规则比较复杂（理由
见书上相关章节）
三、反码
1. 定义
021||2011
≤<−−<≤−−X X X n n 2−X n −−n n =
反][X
其中：n 为二进制的位数
反码的表示范围：− )12(~)12(11−− 问题：当n=8时，反码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求反码的方法
求反码的方法概括起来有两种
z 根据定义求反码
z 先求负数的原码，除符号位外按位取反
（1） 根据定义求反码
已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的反码[ a ]反和[ b ]反。

设n = 8 。

解：根据公式有 [ a ]反 = a = [ a ]原 =（0000 0010）2
[ b ]反 = 2 n
= 28
= 28-3
1 0000 0000
- 11 1111 1101
（2） 先求负数的原码，除符号位外按位取反
这种方法跟我们书上一样，不再赘述。

3. 反码表示方法存在的问题
与原码的问题相同，不再赘述。

四、补码
1. 定义
02||2011
<≤−<≤−−X X X n n 2−X n −−n n =
补][X
其中：n 为二进制的位数
补码的表示范围：− )12(~211− 问题：当n=8时，补码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求补码的方法
求补码的方法概括起来有两种
z 根据定义求补码
z 写出对应正数的原码，连同符号位一起按位取反+1
3. 根据定义求补码
已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的补码[ a ]补和[ b ]补。

设n = 8 。

解：根据公式有
[ a ]补 = a = [ a ]原 =（0000 0010）2 [ b ]补 = 2n
– |b|
= 28 – |-2|
= 28 - 2
- 10
1111 1110
4.写出对应正数的原码，连同符号位一起按位取反+1
已知：b = -2 ，求[ b ]补。

设n = 8 。

解：
先写出-2对应的正数+2的原码为 0000 0010；
所有的位按位取反加1，得到 1111 1110
5.补码表示方法的特点
与书上讲述相同，不再赘述。

6.为什么负数补码的编码多一个？
假设n=8，那么–28-1 (-128)的补码是多少呢？
[-128]补
= [–28-1]补
= [–27 ]补
= 28–|–27|
= 28 – 27
= 2×27 – 27
= 27
= （1000 0000）2
有人可能会觉得这是-0的补码，是这样的吗？我们只要通过定义求一下-0的补码就可以了。

[-0]补
= 28 - 0
= （1 0000 0000）2 - 0
= （0000 0000）2 = [+0]补。