原码、反码与补码的详细讲解

一、概述

大家都知道，一个十进制数在计算机中都是以二进制数的形式存储的。十进制数是有正负之分的，那么如何在计算机中来表示正号和负号呢？

我们通常使用二进制数的最高位来表示数的符号：“0”来表示正号，“1”来表示负号。

在计算机中整型数值数据的编码主要有：

z原码

z反码

z补码

在开始讲述这三种编码方法前，我们首先介绍一下机器数、真值、模数的概念。

1.机器数

数(含符号)在机器中的编码表示。

2.真值

机器数所对应的真实数值。

3.模数

一个计量器的容量或与零等价的数。

z对于一个n位计数器，每1位有R种状态，每种状态代表1个数，从“0”开始计数。

z计数器所能计的数值的个数即模数。

z计数器的模数 = 计数器的最大值+1 。

z计数器的模数（R n）取决于基数（R）和位数（n）

例子01 2位十进制计数器的模数是多少？

解：R=10 n=2 模数=R n = 102 = 99（最大的2位十进制数）+1 = 100 例子02 8位二进制计数器的模数是多少？

解：R=2 n=8 模数=R n = 28 = 255（最大的8位二进制数）+1 = 256

4. 为什么使用编码来表示“数”？

为了方便计算机的处理，简化计算过程。

二、原码

1. 定义

022011

≤<−−<≤−−X

X X n n 21−X n =

原][X

其中：n 为二进制的位数

原码的表示范围： )12(~)12(11−−−−−n n 问题：当n=8时，原码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求原码的方法

求原码的方法概括起来有两种

z 根据定义求原码

z 直接写出原码

（1） 根据定义求原码

例子03

已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的原码[ a ]原和[ b ]原。设n = 8 。

解：根据公式有 [ a ]原 = a = （0000 0010）2

[ b ]原 = 2 n-1 – b

= 28-1 – ( -2) = 27+2

1000 0000

+ 10

1000 0010

（2） 直接写出原码

这种方法跟我们书上一样，不再赘述。

3. 原码表示方法存在的问题

（1） 0 有两种表示方法（理由见书上相关章节）

（2） 原码进行加减运算时，符号位应单独处理，运算规则比较复杂（理由

见书上相关章节）

三、反码

1. 定义

021||2011

≤<−−<≤−−X X X n n 2−X n −−n n =

反][X

其中：n 为二进制的位数

反码的表示范围：− )12(~)12(11−− 问题：当n=8时，反码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求反码的方法

求反码的方法概括起来有两种

z 根据定义求反码

z 先求负数的原码，除符号位外按位取反

（1） 根据定义求反码

已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的反码[ a ]反和[ b ]反。设n = 8 。

解：根据公式有 [ a ]反 = a = [ a ]原 =（0000 0010）2

[ b ]反 = 2 n

= 28

= 28-3

1 0000 0000

- 11 1111 1101

（2） 先求负数的原码，除符号位外按位取反

这种方法跟我们书上一样，不再赘述。

3. 反码表示方法存在的问题

与原码的问题相同，不再赘述。

四、补码

1. 定义

02||2011

<≤−<≤−−X X X n n 2−X n −−n n =

补][X

其中：n 为二进制的位数

补码的表示范围：− )12(~211− 问题：当n=8时，补码的表示范围是多少？请用十进制数表示。

2. 求补码的方法

求补码的方法概括起来有两种

z 根据定义求补码

z 写出对应正数的原码，连同符号位一起按位取反+1

3. 根据定义求补码

已知：a = +2 ，b = -2 ，根据定义求a ，b 的补码[ a ]补和[ b ]补。设n = 8 。

解：根据公式有

[ a ]补 = a = [ a ]原 =（0000 0010）2 [ b ]补 = 2n

– |b|

= 28 – |-2|

= 28 - 2

- 10

1111 1110

4.写出对应正数的原码，连同符号位一起按位取反+1

已知：b = -2 ，求[ b ]补。设n = 8 。

解：

先写出-2对应的正数+2的原码为 0000 0010；

所有的位按位取反加1，得到 1111 1110

5.补码表示方法的特点

与书上讲述相同，不再赘述。

6.为什么负数补码的编码多一个？

假设n=8，那么–28-1 (-128)的补码是多少呢？

[-128]补

= [–28-1]补

= [–27 ]补

= 28–|–27|

= 28 – 27

= 2×27 – 27

= 27

= （1000 0000）2

有人可能会觉得这是-0的补码，是这样的吗？我们只要通过定义求一下-0的补码就可以了。

[-0]补

= 28 - 0

= （1 0000 0000）2 - 0