切线长定理及弦切角练习题

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中考专题切线长定理及弦切角定理

中考复习专题一一切线长定理与弦切角定理［知识要点二 1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、Bo AB 交P0于点C,则有如下结论：(1) PA 二PB(2) P0丄AB,且P0平分AB(3) ZAPO = ZBPO = ZOAC = ZOBC; ZAOP = ABOP = ZCAP = ZCBP2•弦切角定理：弦切角(切线与圆的夹角)等于它所夹的弧所对的圆周角推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等［典型例题】【例1】如图LAB, AC 是OO 的两条切线，切点分别为B 、C 、D 是优弧BC 上的点，已知ZBAC=80<\举一反三:1 •如图2, AB 是。

O 的弦，AD 是0 O 的切线，C 为AB ±任一点，ZACB=108°,那么ZBAD= ____________________________ 2•如图3,PA,PB 切0 O 于A, B 两点，AC 丄PB •且与€> 0相交于D,若ZDBC=22°,则ZAPB= ___________________________【例2】如图，已知圆上的^AC = BD,过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：⑴ ZACEMBCD ；(2)BC 2=BExCD ・举一反三：1 •如图，曲是圆0的直径，D 为圆0上一点，过0作圆0的切线交曲那么ZBDC= ___________ .匸图2A0 的延长线于点G 若DA=DC.求证：AB=2BC.【例3】已知：如图7 —149, PA, PB 切00于A, B 两点，AC 为直径，则图中与ZPAB 相等的角的个数为【例4】如图，AE 、AD. BC 分别切OO 于点E 、D. F,若AD=20,求AABC 的周长.A. 1 个;B. 2 个:C. 4 个;D. 5 个. 举一反三：1.如图，PA 、PB 是€)0的切线，A 、B 为切点，Z0AB=30°・(1) 求ZAPB 的度数；(2) 当0A=3时，求AP 的长.2.已知：如图，0O 内切于△ABC, ZBOC= 105° , ZACB=90° ,AB=20c m ・求 BC 、AC 的长.图 7-149AA3・已知：如图，/XABC三边BC* CA=b. AB R它的内切圆0的半径长为儿求△ABC的面积S.A4•如图，在ZkABC中，已知ZABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的OO恰与AC相切于点D, 若AE=2 cm, AD=4 cm.(1)求OO的直径BE的长:⑵计算AABC的而积.［课后作业】直径，AE切00于点3,连接D3,若ZD = 20。

3.7 切线长定理(练习)(解析版)

第三章圆第七节切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

圆的切线、切线长、线切角

CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。

例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。

例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。

OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。

切线的判定与性质、切线长定理练习题

切线的判定与性质、切线长定理1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B＝300，则∠ECB＝，CD＝。

2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。

点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB等于。

3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____；（2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。

(1题图) (2题图) (3题图)4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。

其中正确命题有（）A．①②B．②③C．③④D．①④5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是。

6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF＝。

（5题图）（6题图）（7题图）8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。

9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径为。

10. 若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为。

11. 如图，BA 与⊙O 相切于B ，OA 与⊙O 相交于E ，若AB ＝5，EA ＝1，则⊙O 的半径为。

12. 如图，在△ABC 中，I 是内心，∠BIC ＝1300，则∠A 的度数是。

13. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点D 、E 、F ，若∠FOD ＝∠EOD ＝1350，则△ABC 是（） A.等腰三角形；B.等边三角形；C.直角三角形；D. 等腰直角三角形；EFDOCA B（11题图）（12题图）（13题图）14. 如果两圆的半径分别为6cm 和4cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15. 若已知Rt △ABC 中，斜边为26cm ，内切圆的半径为4cm ，那么它的两条直角边的长分别为（）cmA 、7、27B 、8、26C 、16、18D 、24、10416. 已知两圆的半径分别是方程0232=+-x x 的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________．17. 两圆半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则两圆的圆心距等于（）cm 。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

切线长定理及弦切角

切线长定理及弦切角练习题7- 143，直线 BC 切O O 于 B 点，AB=AC , AD=BD ，那么7 — 144，直线DC 与。

O 相切于点C , AB 为。

O 直径, AD 丄 DC 于 D ，/ DAC=28。

侧/ CAB= ____3 •已知：直线 AB 与圆0切于B 点，割线ACD 与。

O 交于C 和D两点，BD =160° ? BC = 60" ?则 ZA=_4. 已知：如图7— 145，PA 切。

O 于点A ，割线PBC 交。

O 于B 和C 两点，/ P=15。

，/ ABC=47。

，则/ C= ______ .（一）填空1 •已知：如图 2•已知：如图5. 已知：如图7- 146，三角形ABC的/ C=90 °，内切圆0与厶ABC的三边分别切于D, E, F三点，/ DFE=56 °，那么/ B=6. 已知：如图7 —147，△ ABC内接于。

0，DC切。

0于C点，/仁/ 2,则厶ABC为_____ 三角形.7. 已知：如图7 —148，圆0 ABC外接圆，AB为直径，DC切。

0于 C 点，/ A=36。

，那么/ ACD=图7-148（二）选择8 .已知：△ ABC 内接于O O，/ ABC=25。

，/ ACB= 75。

，过A 点作OO的切线交BC的延长线于P,则/ APB等于A. 62.5 ° ；B. 55 ° ；C . 50°；D. 409. 已知：如图7 —149 , PA, PB切。

O于A , B两点，AC为直径，则图中与/ PAB相等的角的个数为的TT49A. 1 个；B. 2 个；C . 4 个；D. 5 个.10. 已知如图7 —150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN 切。

O于C点，/ BCM=38。

，那么/ ABC的度数是S 7-ISOA. 38 ° ;B. 52 ° ; C . 68°; D. 4211. 已知如图7- 151 ,PA切。

切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1、如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．43D．83答案：B2、如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD = 20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50答案：C解析：由切线长定理，AD=AE=20，BD=BF，CE=CF，△ABC的周长为AB+AC+BF + CF = AB+AC +BD + CE = AD+AE= 40。

3、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（）A．21B．20C．19D．18答案：D解析：作图如下：斜边AB =AD+BD =8，根据切线长定理AF=AD，BE=BD，则AF+BE=8；由切线的性质，OE⊥BC、OE⊥AC，四边形OECF为正方形，CE=CF=1。

于是△ABC的周长为8+8+2 = 18。

4、如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD =3，BC = 6，则AB+CD的值是（）A．3B．6C．9D．12答案：C解析：如下图，不妨设AB、AD、CB、CD分别与⊙O相切于点E、F、H、G，由切线长定理，AE=AF，BE=BH，CH=CG，DF=DG，于是AD+BC = AF+DF+BH+CH = AE+BE+DG+CG = AB + CD，所以AB+CD的值为3+6 = 9。

5、如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P。

若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12B．122C．62D．63答案：C解析：连接CP，作CD⊥OB，则OA与⊙C相切于点P，OB与⊙C相切于点D。

易知四边形CDOP是正方形，所以OP=CP=6，∠POC=45°，OC = 62。

二、填空题1、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm。

切线长及弦切角

切线长定理与弦切角定理一、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2、切线长定理：如图：因为PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，所以，PA=PB二、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。

问题：以下各图中的角哪个是弦切角？2、弦切角定理：________________________________________________________3、弦切角定理的推论：___________________________________________________ 【运用举例】例1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例2.如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC 分别相交于E，F. 求证：EF∥BC.拓展提升已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．课后训练学案1.在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm,⊙O与BC、AC、AB分别相切于D、E 、F，则AF=_____, BD=_______ 、CF=________2.已知PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=60º，PA=4，则⊙O的半径为。

3.已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为23，则过点P的两条切线的夹角为度，切线长为。

4.BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，∠ACB=80，则∠P的度数为_______．★5.已知⊙O1和⊙O2外切于点B，PB是两圆公切线，PA、PB分别与⊙O1、⊙O2相切于A、C，如果AP=2X-3,PC=X+3，则x= 。

(完整版)切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1。

下列说法中，不正确的是（ )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．184。

如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于（ )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．PBAO6题图 7题图 8题图7．如图,一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．三、解答题9。

如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．10。

如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB 的长．11。

切线长与弦切角

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切线长定理
切线长 A 的定切线长定理：切线长定理： O P 题设：题设：从圆外一点引圆义的两条切线 B 以结论：切线长相等切线长相等，结论：①切线长相等， ②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角及圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何表述：几何表述：定 PA = PB PA、PB分别切分别切⊙ PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB 理
M D
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C
D
A
B
N
用代数方法解决几何问题
原题：厘米，＝厘米厘米，＝原题：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝中＝厘米 13厘米，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点厘米，它的内切圆分别和切于点D、E、厘米切于点 F，求AF、BD和CE的长。的长。，和的长演变Ⅰ 中边BC＝演变Ⅰ：设△ABC中边＝a，CA＝b，AB＝c，S为中边＝＝为周长一半，内切圆分别和BC、AC、AB切于点切于点D、E、周长一半，内切圆分别和切于点 F，求证：AE＝AF＝S－a，BF＝BD＝S－b，CD＝求证：＝＝－，＝＝－，＝求证 CE＝S－c。 CE＝S－c。演变Ⅱ 为直角三角形时，演变Ⅱ：当△ABC为直角三角形时，∠C＝90°，设为直角三角形时＝ ° 内切圆的半径为r，来表示r。内切圆的半径为，用a、b、c来表示。来表示演变Ⅲ 演变Ⅲ：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，中＝ ° AB＝c，内切圆分别和内切圆分别和BC、AC、AB切于点切于点D、E、F，内切圆分别和切于点，求证：和是方程是方程2x 的两个根。求证：BD和AE是方程 2－2cx＋ab＝0的两个根。的两个根

(完整版)切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．6题图7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．PBAO11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°．(1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI ⊥AB,IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA AO=）4. ∠P=600。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

完整版切线长定理练习试题

切线长定理练习题一、选择题1.以下说法中，不正确的选项是 ( )A ．三角形的心里是三角形三条内角均分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的心里都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的心里到三角形的三边的距离相等2．给出以下说法：①随意一个三角形必定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；②随意一个圆必定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；③随意一个三角形必定有一个内切圆，而且只有一个内切圆；④随意一个圆必定有一个外切三角形，而且只有一个外切三角形．此中正确的有 ( )A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3. 一个直角三角形的斜边长为 8，内切圆半径为 1，那么这个三角形的周长等于 ( )A ．21 B．20 C．19 D．184. 如图， PA、PB 分别切⊙ O 于点 A、B，AC 是⊙O 的直径，连结 AB 、BC、OP，那么与∠ PAB 相等的角 (不包含∠ PAB 自己)有 ( )A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4 题图5 题图6 题图5．如图，△ ABC 的内切圆⊙ O 与各边相切于点 D、E、F，那么点 O 是△DEF 的 ( )A ．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角均分线的交点 D．三条边的垂直均分线的交点6. 一个直角三角形的斜边长为 8，内切圆半径为 1，那么这个三角形的周长等于 ( )A ．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙ I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点 D、E、F，假定∠ DEF=52 o，那么∠A 的度为________．6 题图7 题图8 题图7．如图，一圆内切于四边形 ABCD ，且 AB=16 ，CD=10 ，那么四边形 ABCD 的周长为________．o，那么∠ BOC 为____________度． 8．如图，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，∠ BAC=50三、解答题9. 如图， AE 、AD 、BC 分别切⊙ O 于点 E、D、F，假定 AD=20 ，求△ ABC 的周长．o，10. 如图， PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点 A、B，假定直径 AC= 12 ，∠P=60求弦 AB 的长．11. 如图， PA、PB是⊙O的切线， A、B 为切点，∠ OAB＝30°．A〔1〕求∠ APB的度数；PO〔2〕当 OA＝3 时，求 AP的长．B12．：如图，⊙ O 内切于△ ABC，∠BOC =105°，∠ ACB =90°，AB =20cm．求 BC、AC 的长．13．：如图，△ ABC 三边 BC=a，CA= b，AB =c，它的内切圆 O 的半径长为 r．求△ABC 的面积 S．14. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90 o，在 AB 上取一点 E，以 BE 为直径的⊙ O 恰与AC 相切于点 D，假定 AE=2 cm ，AD=4 cm ．(1) 求⊙O 的直径 BE 的长；(2) 计算△ ABC 的面积．15．：如图，⊙ O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ C=90°．(1)假定 AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙ O 的半径 r；(2)假定 AC= b，BC= a，AB =c，求⊙ O 的半径 r．四、体验中考16.〔2021 年安徽〕△ ABC 中，AB＝AC，∠ A 为锐角， CD 为 AB 边上的高， I 为△ACD的内切圆圆心，那么∠ AIB 的度数是〔〕A ．120° B．125° C．135° D．150°17.〔2021 年绵阳〕一个钢管放在 V 形架内，右图是其截面图， O 为钢管的圆心．假如钢管的半径为 25 cm，∠MPN = 60 ，那么 OP =( )A ．50 cm B．25 3 cm C．5033cm D．50 3 cm18. (2021 年甘肃定西 )如图，在△ ABC 中，AB AC 5cm，cosB 35．假如⊙ O 的半径为10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm．17 题图 18 题图 19 题图19. 〔2021 年湖南怀化〕如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B ，点E 是⊙O 上一点，且AEB 60 ，那么P __ ___度．参照答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误 )3. 760 〔提示：连结 ID,IF ∵∠DEF=52 0 ∴∠DIF=104 0 ∵D、F 是切点∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI= ∠AFI=90 0 ∴∠ A=180 0-1040=760〕4. 52 (提示： AB+CD=AD+BC)5. 1150 (提示：∵∠ A=50 0 ∴∠ ABC+ ∠ACB=130 0 ∵OB,OC 分别均分∠ ABC, ∠ACB ∴∠OBC+ ∠OCB=65∴∠BOC=180 0-650=1150)◆课下作业●拓展提升1. D 〔提示： AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长 =8 2 1 2 18〕2. C3. D4. 解：∵ AD,AE 切于⊙ O 于 D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙ O 于 D,F ∴ BD=BF 同理： CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=400 ∴△ABC 是正 5.解：连结 BC ∵PA,PB 切⊙O 于 A,B ∴PA=PB ∵∠P=60 三角形 ∵∠PAB=60 0∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=90 0∴∠CAB=30 0∵直径AC ∴∠ABC=90∴cos300=A B AC∴AB= 6 36. 解：〔1〕∵在△ ABO 中，O A ＝O B ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180° －2× 30° ＝120° ∵PA 、PB 是⊙O 的切线A∴O A ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠ OAP ＝∠OBP ＝90°PO∴在四边形 OAPB 中，∠APB ＝360° －120° －90° －90° ＝ 60° ．B〔2〕如图①，连结 OP ∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴P O 均分∠ APB ，即∠ APO ＝ 1 2∠APB ＝30°A PO又∵在 Rt △OAP 中， O A ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝OAtan30°＝3 3 ．B7. 解：〔1〕连结 OD ∴OD⊥AC∴△ ODA 是 Rt△设半径为 r ∴AO=r+2 ∴〔 r+2〕2—r2=16解之得： r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ ABC=90 0 ∴OB⊥BC ∴BC 是⊙ O 的切线∵CD 切⊙O 于 D ∴CB=CD 令 CB=x∴AC=x+4 ，BC=4 ，AB=x ，AB=8 ∵ 2 82 ( 4)2x x ∴x 6 ∴S△ABC =128 6 24●体验中考1. C2. A 〔提示：∠ MPN=60 0 可得∠ OPM=30 0 可得 OP=2OM=50 〕3. 5 103〔提示：连结 OB，易得：∠ABC= ∠AOB ∴cos∠AOB=cos ∠35=O B10OA AO〕04. ∠P=60。

弦切角、切线长定理

考点七.1和2 切线长定理、弦切角定理
一（1）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分∠APB
（2）、三角形内切圆的半径：
的内切圆的半径：r=2c b a -+；任意的内切圆
半径：r=c b a ABC S ++∆2
(3)、圆的外切四边形对边和相等: DC+AB=AD+CB
(4)、圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长: EF=AB=CD
【考点提醒】梯形的中位线长等于上底和下底之和的一半。

二、弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如图：∠CAB=∠CDA
弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。

圆心和这一点的连线两条切线的夹角。

即P A PB，∠APO∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。

三角形叫做圆的。

2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。

所以圆心到三角形三边的距离相等。