蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第9章 不确定性和个体行为)

蒋殿春《高级微观经济学》 第9章 不确定性和个体行为

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1．以x 代表收入（财富）水平，拥有下列效用函数的个体对待风险的态度是怎样的？

ln u x = 2u ax bx =-(),0a b >

2u x = 12u x =

1006u x =+ 1x u e -=-

解：个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数。由此

可以判断他们对待风险的态度分别为厌恶、厌恶、爱好、厌恶、中立和厌恶。

2．在9.1节中我们证明，如果()u x 是一个期望效用函数，那么其仿射变换

()()v x Au x B =+也是期望效用函数。证明：对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计

算得到的风险升水相等。

证明：根据定义，按效用函数()u ∙计算的风险升水r 满足等式：

()()()()1u r pu x p u y ωωω-=++-+

根据()()v x Au x B =+，所以有：

()()()()1v r pv x p v y ωωω-=++-+

而这意味着r 同时是以效用函数()v ∙计算的风险升水。

因此，对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计算得到的风险升水相等。

3．有三个人的效用函数分别是

1u c =（c 为正的常数）

；122u x =和23u x = 有三种可选的彩票：

[]10.5;480,480L =，[]20.5;850,200L =，[]30.5;1000,0L =

如果要三个人分别在上述彩票中挑一种，他们的选择分别是什么？

解：根据个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数，可以判断出他们分别是风险中立、厌恶、偏好的。所以个体1选择2L ，个体2选择1L ，个体3选择3L 。

4．考虑对大街上随地吐痰者进行罚款的制度。记吐痰后被逮获的概率为P ，逮获后罚款金额为T ，则一个人在街上吐痰后的“期望被罚金额”是PT 。假设每个人都是风险厌恶的。保持期望被罚金额PT 不变，有两种惩罚方案：（a ）P 较大T 较小；（b ）P 较小而T 较大。哪一种惩罚方案更为有效？

解：记C PT =为常数，在罚款制度下，路人吐痰的期望效用是：

()()()()()()()11U E u Pu W T P u W Pu W C P P u W ==-+-=-+-

于是，

()()()U C

u W C P Xu W C P u W P P

∂'=-+--∂ 将等式右端第一项按泰勒公式展式展开，有：

()()()

ˆC u W C P u W u W

P

'-=-

其中ˆW

是位于W C P -和W 之间的某一实数，所以ˆW C P W -<，代入前式，得： ()()

ˆ0U C u W C P u W

P P

∂⎡⎤''=-->⎣⎦∂ 因此，在固定C PT =的前提下，提高P 会提高个体的期望效用，这意味着较小概率P 和

较高罚金T 的组合效果更好。

5．证明：如果个体的期望效用函数形如

()2u x Ax Bx =- ,0A B >

则A-P 绝对风险厌恶系数()A x 在区间)0,2A B ⎡⎣上是财富x 的单增函数。 证明：因为绝对风险厌恶系数()()()22u x B

A x u x A Bx

''=-

='- 所以在区间)0,2A B ⎡⎣上单调递增。

6．证明：

（1）A-P 绝对风险厌恶系数()A x c =的充要条件是期望效用函数

()cx u x Ae -=- 0A >；

（2）A-P 相对风险厌恶系数()1R x c =≠的充要条件是

()1c u x Ax B -=+ 0A >；

（3）A-P 相对风险厌恶系数()1R x =的充要条件是

()ln u x A x B =+ 0A >

证明：（1）假设()()()

u x A x c u x ''=-

='，等价于()ln u x c ''=-⎡⎤⎣⎦，即： ()()()ln cx d cx u x cx d u x e u x Ae -+-''=-+⇔=⇔=

其中，d A e c =-。 （2）假设()()

()

xu x R x c u x ''=-

='，等价于： ()[]()()ln ln ln ln c c u x c x u x x d u x ax --'''''=-⇔=+⇔=⎡⎤⎣⎦

在1c ≠的情况下，上式等价于()1c u x Ax B -=+。

（3）根据（2）中的计算，()1R x c ==，那么()()ln u x a x u x A x B '=⇒=+。

7．将A-P 绝对风险厌恶系数的倒数定义为个体的风险容忍系数（risk tolerance ）：

()()()()

1

u x RT x A x u x '=

=-'' 假设个体具有线性风险容忍系数：()RT x x αβ=+，证明 （1）0x u a be αβ-=⇒=-；

（2）()10,11u a bx γαβγ-=≠⇒=+- 1γβ=； （3）0,1ln u a b x αβ==⇒=+； （4）()2

0,1u a b x αβα>=-⇒=-- 其中a 和b 是任意常数，0b >。

证明：风险容忍系可以数改写为：

()()()()()11

ln u x RT x A x u x u x '=

=-=-

''''⎡⎤⎣⎦

（1）0β=，()RT x α=，上式等价于()ln 1u x α''=-⎡⎤⎣⎦，于是：