函数的微分及其在近似计算中的应用

3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
= 3 x 2 ∆x
x =2 ∆x =0.02
= 3 ⋅ 2 2 ⋅ 0.02 = 0.24.
7
通常把自变量的增量称为自变量的微分 记作 通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx . 自变量的增量称为自变量的微分 即
dx = ∆x
的微分又可记作： 则函数 y = f ( x ) 的微分又可记作：
dy = f ′( x 0 ) dx .
dy 从而有： = f ′( x 0 ). 从而有： dx
这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 这表明 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数 因此, 导数也叫“微商” 因此, 导数也叫“微商”. 导数（微商）即微分之商。 导数（微商）即微分之商。
= cos(2 x + 1) ⋅ 2dx = 2 cos(2 x + 1)dx .
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。 在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
例5 y = ln(1 + e ), 求 dy .
x2
解 dy = d ln 1 + e
(
x2
)
=
1 1+e
2 xe
x2
d 1+ e
微分的定义 微分的几何意义
函 数 的 微 分
基本初等函数的微分公式 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则
微分的近似计算 微分在近似计算中的应用 误差估计
1
第七节
一.微分的定义： 微分的定义： 1.实例——函数增量的构成 1.实例——函数增量的构成 实例——
2
2
2、微分的定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0及 x0 + ∆x在这 在某区间内有定义， 设函数 在某区间内有定义 区间内，如果函数的增量 ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 可表示为 区间内， 定义
∆ y = A ∆ x + o( ∆ x )
（1）
其中 A 是不依赖于 ∆ x 的常数，而 o( ∆ x ) 是比 ∆ x 高阶无穷小， 的常数， 高阶无穷小， 那么称函数 y = f ( x ) 在点 x 0 是可微的，而 A∆.
lim 反之, 可导, 反之 如果 y = f ( x ) 在 x 0可导 即 ∆ x → 0
根据极限与无穷小的关系, 根据极限与无穷小的关系 上式可写为
∆y = f ′( x 0 )存在 存在, ∆x
4
则
∆y = f ′( x0 ) + α，（∆x → 0,α → 0） ∆x ∆ y = f ′( x 0 ) ∆ x + α ∆ x .
8
二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式
d x µ = µ x µ − 1 dx ,
(sin x )′ = cos x ,
(cos x )′
= − sin x ,
2
(x )
µ
′
= µ x µ −1 ,
d (sin x ) = cos xdx ,
( )
2 解 函数 y = x 在x = 1处的微分为
dy = ( x 2 ) ′ | x =1 ∆ x = 2 ∆ x ;
在 x = 3 处的微分为 dy = ( x 2 ) ′ | x = 3 ∆ x = 6 ∆ x
y = x 3当 x = 2 , ∆x = 0.02时的微分 . 例2 求函数
解 先求函数在任意点的微分
2 ∆ A = ( x 0 + ∆ x ) 2 − x 0 = 2 x 0 ∆ x + (∆ x )
2
函数的增量由两部分构成： 函数的增量由两部分构成：
1、等式右边第一项，∆x的线性式，是函数增量的主要部分。 的主要部分。 等式右边第一项， 的线性式，
2、第二项 (∆x ) ，当 ∆x → 0时，是 ∆x的高阶无穷小 .
d (sec x ) = sec x tan xdx,
d (csc x ) = − csc x cot xdx,
(a )
x
′
= a ln a ,
x
(e )
x
′
=e ,
x
( ) d (e ) = e
x
d a x = a x ln adx ,
x
dx ,
9
1 (log a x ) = , x ln a ′ 1 (ln ) = , x 1 ′ (arcsinx) = , 2 1− x 1 ′ (arccosx) = − , 2 1− x (arctanx)′ = 1 2 , 1+ x
′
1 d (arccot x) = − dx. 2 1+ x
2.函数的和、差、积、商的微分法则 函数的和、 函数的和
10
函数和、 函数和、差、积、商的求导法则
函数和、 函数和、差、积、商的微分法则
(u ± v ) ′= u′ ± v ′ ,
(uv )
′
(Cu)′ = Cu′(C是常数)，
= u′v + uv ′ ,
11
4、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分， 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分 把微分运算进行到只剩自变量的微分， 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 得到函数的导数。
函数的微分
x0 x0 ∆x
∆x
∆ 2 x ∆x
正方形金属薄片， 正方形金属薄片，因受 热 , 边长由 x 0 变到 x 0 + ∆ x , 此时面积改变了多少？ 此时面积改变了多少？ 解：正方形边长与面积 的函数关系为 A = x2 当边长增量为 ∆ x时，面积增量为
2 A = x0
x0 ∆x x0
dy = −2 sin 4 x . dx
12
利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 不论自变量还是函数，对方程两边求微分。 到dy、dx 。 合并同类项。 2、分别按照dx、dy合并同类项。 分别按照 合并同类项 得到g 得到 1(x,y) dy = g2 (x,y) dx
, 因 α∆ x = o（ ∆ x）且 f ′( x 0 )不依赖于 ∆ x , 故上式相当于 式, 故上式相当于(1)式
可微。 则 f (x) 在点 x 0 可微。 4.函数可微的充要条件： 4.函数可微的充要条件： 函数可微的充要条件
函数y = f ( x )在x 0 处可微 ⇔ f ( x )在x 0 处可导, 且A = f ' ( x 0 ).
dx .
(
x2
)= 1+ e
1
x2
⋅e d x2
x2
( )
=
e
x2
2
1+ ex
⋅ 2 xdx =
x2
2
1+ ex
14
1−3 x 例6 y = e cosx, 求 dy .
应用积的微分法则得： 解 应用积的微分法则得： dy = d ( e 1− 3 x cos x )
= cos xd ( e 1− 3 x ) + e 1− 3 x d (cos x )
求得导数： 3、 求得导数： 或微分 dy g 2 ( x , y ) = dx g 1 ( x , y ) g2 ( x, y) dy = dx g1 ( x , y )
13
例4 y = sin( 2 x + 1), 求 dy . 解 看成中间变量u 把2x+1看成中间变量 ，则 看成中间变量
dy = d (sin u) = cos udu = cos(2 x + 1)d ( 2 x + 1)
d (u ± v ) = du ± dv ,
d (Cu ) = Cdu(C是常数 )，
d (uv ) = vdu + udv ,
′ u vdu − udv u u′v − uv ′ (v ≠ 0). d = 2 (v ≠ 0). = v v v2 v 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 微分公式的形式不变性。 3. 复合函数的微分法则 微分公式的形式不变性 设 y = f ( u ), u = ϕ ( x )都可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]的微分为 :
5
5、微分的几何意义 T y N
P
dy ∆y
y= f(x)
M0
Q
∆x
O x0
x 0 + ∆x
x
几何意 义 : ∆ y是曲线 y = f ( x )上点的纵坐标的增量时 ， dy 就是曲线的切线上点的 纵坐标的相应增量。 纵坐标的相应增量。
当 ∆x 很小时，dy ≈ ∆y . 很小时，
6
例1 求函数 y = x 2 在 x = 1和 x = 3处的微分。 处的微分。
= (cos x )e 1− 3 x (− 3dx ) + e 1− 3 x (− sin xdx )
= −e 1−3 x (3 cos x + sin x)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
(1 ) d (__) = xdx ; ( 2 ) d (__) = cos ω tdt
dy = y ′x dx = f ′( u )ϕ ′( x )dx .
du = ϕ ' ( x )dx
或写为： 或写为： dy = f ′( u ) du 或 dy = y ′ du u
由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数， 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 dy = f ′( u )du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。 这一性质叫做微分形式不变性 微分形式不变性。
d (cos x ) = − sin xdx,
d (cot x ) = − csc 2 xdx ,
(tan x ) = sec x , (cot x )′ = − csc 2 x, (sec x )′ = sec x tan x , (csc x )′ = − csc x cot x ,
′
d (tan x ) = sec 2 xdx ,
dy . 求：dy , 例3： y = cos 2 x dx dy = d (cos 2 2 x ) = 2 cos 2 xd (cos 2 x )
2
= 2 cos 2 x ⋅ − sin 2 xd ( 2 x )
= 2 cos 2 x ⋅ ( − sin 2 x ) ⋅ 2 ⋅ dx = −2 sin 4 xdx
y = f (x)在点x 0 相应于自变量增量∆x的微分， 相应于自变量增量∆ 的微分 记作 ，即： 的微分， 记作dy，
dy = A ∆ x .
若 ∆y = A∆x + ο ( ∆ x ), 则称 dy = A∆ x为函数的微分 .
A∆x：称为 ∆y的线性主部，即 dy。 的线性主部， 很小时， ∆ x 很小时， ∆y ≈ dy