高数(一)(全套)公式

初等数学基础知识

一、三角函数

1．公式

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系：

tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式：

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sin α·cos β=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2．特殊角的三角函数值

θ )(θf

0 )0(

6π )30( 4π )45( 3π )60( 2π

)90(

θcos 1 2/3

2/2 2/1

0 θsin 0 2/1

2/2

2/3 1 θtan 0 3/1 1 3

不存在 θcot

不存在

3

1

3/1

只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

3诱导公式：

函数 角A sin

cos tg ctg -α

-sin α

cos α -tg α -ctg α 90°-α cos

α

sin α ctg α tg α 90°+α cos

α

-sin α -ctg α -tg α 180°-α sin α -cos α -tg α -ctg α 180°+α -sin α -cos α tg α ctg α 270°-α -cos α

-sin α

ctg α

tg α

1

45

2

1

45

1

2

30

60

3

270°+α

-cos α sin α -ctg α -tg α 360°-α

-sin α cos α -tg α -ctg α 360°+α sin α cos α

tg α

ctg α

记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割

即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）

二、一元二次函数、方程和不等式

ac b 42-=∆

0>∆

0=∆

0<∆

)

0(2＞一元二次函数

a c bx ax y ++=

2.1x

2

=++c bx ax 一元二次方程

a

ac

b b x 242

2,1-+-=

有二互异实根

a

b x 2)(2

,1-

=有一根有二相等实根

无实根

)0(＞式等不次二元一a

02

＞c bx ax ++

2

121)(x x x x x x ＞或＜＜

a

b x 2-

≠ R x ∈

02＜c bx ax ++

21x x x <<

Φ∈x Φ∈x

三、因式分解与乘法公式

2

x

1

x

22222222

332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++=

21221)(9)()(),(2)

n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++

++≥

四、等差数列和等比数列

()()()11111 2

2

n n n n a a n d n a a n n n S S na d

=+-+-==+

1.等差数列

　通项公式：　前项和公式或

()()

1

100n n n GP a a q

a q -=≠≠2.等比数列 通项公式

，

()()()

11

.1111n n n a q q S q

na q ⎧-⎪

≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 五、常用几何公式

平面图形

名称 符号

周长C 和面积S

正方形 a —边长 C ＝4a

S ＝a 2

长方形 a 和b －边长

C ＝2(a+b) S ＝ab

三角形

a,b,c －三边长 h －a 边上的高 s －周长的一半 A,B,C －内角

其中s ＝(a+b+c)/2 S ＝ah/2

＝ab/2·sinC

＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a 2sinBsinC/(2sinA)

平行四边形

a,b －边长

S ＝ah