高考数学文化--《九章算术》中的数列PPT课件
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高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》45PPT课件 一等奖名师
例算法是几何线段的比例，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被 称为“三率法”也叫“黄金法则”。
• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
导入新课
导入新课
(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
导入新课
导入新课
(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册
章末复习课 1
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
《九章算术》(课件)六年级上册数学
大意：二数同号则绝对值的差是余数的绝对值。二数异号则绝对 值的和是余数的绝对值。减去的数如其是正数而大于被减数时，余数 得负号；如其是负数而小于被减数时，余数得正好。
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤.7世纪时的印度数学家 也开始使用负数，对负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪韦 达的著作还在回避使用负数。
《九章算术》中收集了二百四六个应用问题和各个问题的解法，分成九章， 依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中 所包含的数学成就是丰富和多方面的。
十六世纪以前的中国数学书大多都是应用问题解法的集成，原则上遵守 《九章算术》的体例。后世的数学家们结合当时社会的实际需要，引入新的数 学概念和数学方法，超出了《九章算术》的范围，但也是在《九章算术》数学 知识的基础上，通过“再实践，再认识”的过程发展的。
数学文化——
认识《九章算术》
目 录
01 《九章算术》介绍
02 《九章算术》——算术部分 03 《九章算术》——代数部分 04 《九章算术》——几何部分
第一部分 《九章算术》介绍
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.这部著作的成书年代， 根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以 追溯到周代《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程(“六艺”)中有一 门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九 数”发展而来，并经过西汉张苍(？一公元前152)、耿寿昌等人删补.近 年发现的湖北张家山汉初古墓竹简《算数书》(1984年出土)，有些内容 与《九章算术》类似.因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶 的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。
第二部分 《九章算术》——算术部分
1.分数四则运算法则
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤.7世纪时的印度数学家 也开始使用负数，对负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪韦 达的著作还在回避使用负数。
《九章算术》中收集了二百四六个应用问题和各个问题的解法，分成九章， 依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中 所包含的数学成就是丰富和多方面的。
十六世纪以前的中国数学书大多都是应用问题解法的集成，原则上遵守 《九章算术》的体例。后世的数学家们结合当时社会的实际需要，引入新的数 学概念和数学方法，超出了《九章算术》的范围，但也是在《九章算术》数学 知识的基础上，通过“再实践，再认识”的过程发展的。
数学文化——
认识《九章算术》
目 录
01 《九章算术》介绍
02 《九章算术》——算术部分 03 《九章算术》——代数部分 04 《九章算术》——几何部分
第一部分 《九章算术》介绍
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.这部著作的成书年代， 根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以 追溯到周代《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程(“六艺”)中有一 门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九 数”发展而来，并经过西汉张苍(？一公元前152)、耿寿昌等人删补.近 年发现的湖北张家山汉初古墓竹简《算数书》(1984年出土)，有些内容 与《九章算术》类似.因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶 的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。
第二部分 《九章算术》——算术部分
1.分数四则运算法则
中职高考数学复习《数列》课件全文
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）若数列{ }满足 = + ，求{ }的前n项和
（ ）
高
考
真
题
（2019年真题）
5.若数列{ }的前7项和为70，则 1 + 7 等于
A.5
B.10
C.15
（ ）
D.20
30（本小题9分）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米，假定今后每年人口
数
列
职 教 高 考 一 轮 复 习
目录
|数列定义
等差与等比数列
|高考真题
数 列 定 义
有限数列
一、数列的定义：
按项的个数分类
四、数列的递推公式
+2 = +1 +
无限数列
二、数列的分类
递增数列
五、数列的递推公式
递减数列
项的大小关系排列
常数列
摆动数列
三、数列的通项公式
=f(n)
高
考
真
题
（2020年真题）
5.在等比数列{ }中，则 1 = 1，2 = −2，则9 等于
A.256
B.-256
C.512
（ ）
D.-512
27.（本小题8分）某男子擅长走路9天走了1260里，其中第1天，第4天，第7天所走
的路程之和为390里。若从第2天起每天比前一天多走的路程数相同，该男子第5天
14
A. 3
B.2
C. 4
D.8
27.（本小题8分）已知数列{ }的前n项和 = 22 − 3，求：
（1）第二项2
（2）通项公式
（ ）
高
考
真
（2）若数列{ }满足 = + ，求{ }的前n项和
（ ）
高
考
真
题
（2019年真题）
5.若数列{ }的前7项和为70，则 1 + 7 等于
A.5
B.10
C.15
（ ）
D.20
30（本小题9分）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米，假定今后每年人口
数
列
职 教 高 考 一 轮 复 习
目录
|数列定义
等差与等比数列
|高考真题
数 列 定 义
有限数列
一、数列的定义：
按项的个数分类
四、数列的递推公式
+2 = +1 +
无限数列
二、数列的分类
递增数列
五、数列的递推公式
递减数列
项的大小关系排列
常数列
摆动数列
三、数列的通项公式
=f(n)
高
考
真
题
（2020年真题）
5.在等比数列{ }中，则 1 = 1，2 = −2，则9 等于
A.256
B.-256
C.512
（ ）
D.-512
27.（本小题8分）某男子擅长走路9天走了1260里，其中第1天，第4天，第7天所走
的路程之和为390里。若从第2天起每天比前一天多走的路程数相同，该男子第5天
14
A. 3
B.2
C. 4
D.8
27.（本小题8分）已知数列{ }的前n项和 = 22 − 3，求：
（1）第二项2
（2）通项公式
（ ）
高
考
真
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》40PPT课件 一等奖名师
若π取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x 为___1_.6____．
[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6， 解得 x＝1.6.
4、《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末， 委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?其意思 是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索晶，它的出
现标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代 数学体系的初期代表作。 后世的数学家，大都
是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年 由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的 印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为 数学发展做出的又一杰出贡献。
2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典．其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“今有 圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺．问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳 索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，问绳子有多长？ 现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为
(
)
A．
B．
C． D．
根据题设条件，作示意图如图所示，设绳长为 x 尺，则木柱
高为(x-3)尺，由勾股定理得： (x 3)2 82 x2 ，
3．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直)．在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为_34_69_尺_____ 尺．(注：1 丈＝10 尺， 601≈24.5)
[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6， 解得 x＝1.6.
4、《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末， 委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?其意思 是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索晶，它的出
现标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代 数学体系的初期代表作。 后世的数学家，大都
是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年 由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的 印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为 数学发展做出的又一杰出贡献。
2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典．其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“今有 圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺．问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳 索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，问绳子有多长？ 现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为
(
)
A．
B．
C． D．
根据题设条件，作示意图如图所示，设绳长为 x 尺，则木柱
高为(x-3)尺，由勾股定理得： (x 3)2 82 x2 ，
3．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直)．在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为_34_69_尺_____ 尺．(注：1 丈＝10 尺， 601≈24.5)
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化背景：高考数学文化题目常以等差数列、等比数列为背景，考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力。
预测：本文将以等差数列为题材，考查数列中的文化。
回顾：以2017年高考数学文化题目为例，考查了古代数学名著《算法统宗》中的问题，要求求解一座7层塔顶层的灯数，利用等比数列的知识进行计算。
典例分析：以2017江西红色七校联考为例，考查了《张丘建算经》中的问题，要求求解一个女子每天织布的数量，利用等差数列的知识进行计算。
另一道题目则考查了《算法统宗》中的问题，要求求解一个人走378里路后第二天走了多少里程，利用等比数列的知识进行计算。
规律总结：我国古代数学注重算理算法，很多问题可转化为等差数列、等比数列问题。
数学文化题目考查的是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解。
1.XXX是明代的一位著名音乐家、数学家和天文历算家。
他在著作《律学新说》中制定了十二平均律，这是目前世界上通用的将一组音分成十二个半音音程的律制。
这些音程之间的频率比完全相等，因此也被称为十二等程律。
具体来说，一个八度包含13个音，相邻两个音之间的频率比相等，而最后一个音的频率是最初那个音的2倍。
如果设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则f2/f1=2^(2/12)=1.1228.2.《孙子算经》是我国古代的一部数学名著。
其中有一个问题是：“今有五个诸侯，共分60个橘子，每人加三个。
问：五人各得几何？”这个问题的意思是：五个人要分60个橘子，他们分得的橘子数构成一个公差为3的等差数列。
得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.3.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作。
其中有一个问题是：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去。
已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里。
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(2)因为{an}是等差数列，公差为 d，所以 a3(n＋1)－a3n＝3d(与 n 值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》44PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
.2《九章算术》教材分析《九章算术》是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三章中国古代数学瑰宝中十分重要的内容。
中，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是第三章的第二课，主要介绍了《九章算术》的重要成就，包括盈不足术、方程术和正负术相关内容，阐述《九章算术》的深远影响。
这部分是中国古代数学的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面第二章学生学习了古希腊的《几何原本》，在本节课中将《九章算术》与《原本》进行比较，进而认知东西方古代文明的差异及对世界发展的深远影响。
第二，对盈不足术研究，将盈不足问题与盈不足术对应起来，体现了算法的思想；对方程术研究，将方程组与遍乘直除法对应起来，体现了消元的思想。
这两种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对正负术发展的学习过程，使学生经历了观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的探究性思维方式，加强了逻辑思维能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了《周髀算经》和赵爽弦图，初步了解了用中国古代数学文化，经历了勾股定理的证明、近似分数的计算，进一步为学习《九章算术》奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，学生对遍乘直除法的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对方程组都有了一定的认识，并能用消元法解多元一次方程组，本节课学生通过遍乘直除法解三元一次方程组，方程术的发展、正负术的发展感知中国古代数学的伟大成就.◆知识与技能目标了解《九章算术》的内容概要及取得的重要成就，掌握盈不足术、遍乘直除法；理解方程术、正负术的发展，以及《九章算术》的深远影响.◆过程与方法目标在本节中学生经历阅读课本，观看视频，分析《九章算术》的内容概要，解析例题学习教学目标盈不足术、方程术、正负术的过程和思想.①阅读第25页，了解九章算术的内容概要，培养学生归纳总结的能力；②用盈不足术解盈不足问题，分析古代数学家将动态问题转化为静态的思想；③用遍乘直除法解多元一次方程组，加深对消元思想的理解.◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，激发学生科学理解中国古代数学历史文化的兴趣，与同时期的外国数学发展作比较，增强学生的名族自豪感。
高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课件新人教版
根，则916的值为( D ) A．2
B．－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
3．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋
2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：∵a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n.
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，
1
an
，{a
2 n
}，
{an·bn}，abnn仍是等比数列． 3．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数
列，其公比为qn.
1．等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2
数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互 转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
[对点训练]
(2021·山东泰安模拟)在①Sn＝n2＋n，②a3＋a5＝16，S3＋S5＝42，③
an＋1 an
＝
n＋1 n
，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加
第三节 等比数列及其前n项和
热点命题分析
学科核心素养
本节是高考的考查热点，主要考查 本节通过等比数列通项公式及其前
等比数列的基本运算和性质，等比 n项和公式、等比数列性质的应
数列的通项公式和前n项和公式， 用，考查对函数与方程、转化与化
尤其要注意以数学文化为背景的数 归和分类讨论思想的应用，提升考
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第三讲等比数列及其前n项和课件
【题后反思】等比数列常见性质的应用 (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体 的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2021 年江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比 q＝－21，该
数列前 9 项的乘积为 1，则 a1 等于(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点三 等比数列性质的应用
[例 2](1)在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 019－a22 020＋ 2a2 021＝0，数列{bn}是等比数列，且 b2 020＝a2 020，则 log2(b2 019·b2 021) 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：因为等差数列{an}中 a2 019＋a2 021＝2a2 020， 所以 2a2 019－a22 020＋2a2 021＝4a2 020－a22 020＝0， 因为数列{an}各项不为零，所以 a2 020＝4，因为数列{bn}是等 比数列，所以 b2 019·b2 021＝a22 020＝16.所以 log2(b2 019·b2 021)＝log216 ＝4.C 正确.
【题后反思】等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等 比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通 过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq，当 q＞1 时，用公式 Sn＝a1(qq－n－11)代入计 算，当 q<1 时，用公式 Sn＝a1(11－－qqn)代入计算，可避免出现符号 错误.
2022届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件新人教版
1．在数列{an}中，an＝
1 nn＋1
，若{an}的前n项和为
2 2
019 020
，则项数n为
(D )
A．2 016
B．2 017
C．2 018
D．2 019
2．已知数列：1
1 2
，2
1 4
，3
1 8
，…，
n＋21n
，…，则其前n项和关于n的表
达式为________．
答案：nn2＋1＋1－21n
B．22
019 020
2 019 C.2 018
D．12
019 010
2．(2021·张掖期末测试)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长
方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，21，31，41，…，1n.①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an，
a2－5＝3(a1－3)． 因为a1＝3，所以an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
2n－1，
故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝( 3 －1)＋( 5 － 3 )＋…＋
( 2n＋1－ 2n－1)＝ 2n＋1－1.
裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准 确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消 去项的规律为止． (2) 消 项 规 律 ： 消 项 后 前 边 剩 几 项 ， 后 边 就 剩 几 项 ， 前 边 剩 第 几 项，后边就剩倒数第几项.
高考数学总复习4.1数列基础题习题文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
2017 年
2018 年
Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ
卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷
16
5
7
5
-3-
3/45
2014 年 2015 年 2016 年
2017 年
2018 年
2019 年高考必备 Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ
卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷
3
A.2
)
7
B.
7
C.4
2
D.
4
答案:B
6
解析:设等差数列{an}的公差为 d, 3 =2,即 a3+3d=2a3,则 a3=3d,
6
3
=
3( 3 + 4 )
3 2
=
3 + 3 +
3 -
=
3+3+
3 -
7
= 2,故选 B.
-13-
13/45
3.(青海西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了
-22-
22/45
2.(全国Ⅰ·13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}前n项和.若
Sn=126,则n=
.
答案:6
+1
解析:∵an+1=2an,即 =2,
∴{an}是以 2 为公比的等比数列.
又 a1=2,
2 (1 -2 )
∴Sn=
1-2
=126.
∴2n=64,∴n=6.
1 6
2
1
12
1 [1-( ) ]
第七章第五节 数列的综合应用课件
B．S5＝S6－1
C．S2019＝F2021－1
D．S2019＝F2020－1
AC [根据题意有 Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以 S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1 ＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1 ＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…所以 S2019＝F2021－1.]
(1)求{an}的通项公式； (2)记 bm 为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100 项和 S100.
解析： (1)设{an}的公比为 q，由题设得 a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得 q＝12 (舍去)，q＝2，所以 a1＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n. (2)由题设及(1)知 b1＝0，且当 2n≤m<2n＋1 时，bm＝n. 所以 S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋ (b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
所以 n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以 n＋Sn＝2an，即 n， an，Sn 成等差数列．
数列与其他知识的交汇
(开放型)(2020·山东省高三月考)在①Sn＝2bn－1，②－4bn＝bn－ 1(n≥2)，③bn＝bn－1＋2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 中．若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由．
因为 Sn＝2bn－1，所以 Sn－1＝2bn－1－1(n≥2)，
两式相减并整理得 bn bn－1
＝2(n≥2)，
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》43PPT课件 一等奖名师
九章算术中的数列
解：设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为 d.
则a1＋a2＋a3＝4 ，即3a1＋3d＝4 ， a9＋a8＋a7＋a6＝3 4a1＋26d＝3
解得 a1＝6965，d＝－676. 中间为第五节， 即 a5＝a1＋4d＝9656＋4×(－676)＝6667.
九章算术中的数列
O1
O1O2 平 面ABC，O1O2 平 面A1B1C1
O为O1O2中 点O为 堑 堵 外 接 球 球 心
A1B 2 2,为 外 接 球 直 径 ， 则 半 径r 2
V 4 r 3 8 2
3
3
利用勾股定理求解的各种问题。其中的 绝大多数内容是与当时的社会生活密切 相关的。在西方，毕达哥拉斯、欧几里 得等仅得到了这个公式的几种特殊情况 ，直到3世纪的丢番图才取得相近的结 果，这已比《九章算术》晚约3个世纪 了。
九章算术中的数列
例1.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国 数学的古典名题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿， 大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小 鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？
代数法：假设x天后两鼠相遇，则
1 2
2x
1
1 2
1 2x
5
例1按题意改为：假设两只老鼠打洞2天，则 仍差0.5尺，不能把墙打穿；假设打洞3天， 就会多出3.75尺。问何日相逢，各穿几何？
《பைடு நூலகம்章算术》中的立体
例3.如图，在堑堵ABCA1B1C1中AC⊥BC (1)求证:四棱锥BA1ACC1为阳马;
(2)求该堑堵外接球的体积;
《九章算术》中的立体
(1)证明:由堑堵ABCA1B1C1的性质知:A1ACC1为矩形 ∵A1A⊥底面ABC,BC⊂平面ABC， ∴BC⊥A1A,又BC⊥AC，