第7部分统计假设检验和区间估计
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分析 用简便方法测得有害气体含量X~N(μ,22),
基本检验H0: μ=μ0=23; 备择检验H1: μ≠ μ0= 23;
若H0成立,则 ZX0 ~N(0,1) / n
若取α=0.05,则 P{|Z|>z1-α/2}=a, 即: P{|Z|>1.96}=0.05, 在假设成立的条件下,|Z|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的, 将样本观测值代入Z得 ZX233.06, |Z|>1.96,
2
(n
1)
λ1
λ2
X
2
或
2
2 1
(n
1)
2
否定域 接受域 否定域
总体期望μ未知时，σ2的单侧假设检验
1) 提出原假设和备择假设: H0: σ2 ≤σ02; H1: σ2 >σ02
2)
选择统计量
2
(n
1)S
02
2
则在H0下
(n1)S2
02
(n1)S2
2
~2(n1)
对给定的α,有 {(n 1 2 )S 21 2 (n 1 )} {(n 1 2 )S 21 2 (n 1 )} 0
|T|>
t
1
(n
1)
2
否定域
接受域
t1/2(n1) X 否定域
类似可得: σ2未知,期望的单侧统计检验
统计检验 H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0的拒绝条件为
Tt1(n1)
统计检验 H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0的拒绝条件为
Tt1(n1)
2. 方差σ2的检验
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
2) 对统计量:
Z X 0 / n
在H0下有
X0 X, / n / n
对给定的α有
{ X/n0z1}{X/nz1}
所以
P ( X/n 0z1 )P ( X / nz1 )
3) 故 拒绝条件为Z> z1-α,其中, (z1)1.
③ H0:μ≥μ0(已知); H1:μ<μ0
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
小概率事件在一次实验2中/ 发n生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.
(2) σ2未知,μ的检验 1) 提出原假设和备择假设:
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
(T检验）
2) 选择检验统计量：
T
X 0
S/ n
|H0成立~t(n1)
α/2
f(x)
α/2
3) 对给定α,拒绝条件为 |T|> t1-α/2(n-1)
解 建立假设 H0:2020.223,H1:2 02
新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有
显2 著变(n化 10 2.)S2(1 0 0.1 2)02.33231.5 8312
2 (n
2
2 1
(n
2
1) 1)
2.7 19.023
2.7<18.53<19.023,接受 H0:2020.223
即 P (n 1 2 )S 21 2 (n 1 ) P (n 1 2 )S 21 2 (n 1 )
0
3) 所以,拒绝条件为 2 12(n1)
P(21 2 (n1)) 单侧假设检验
2) 选择统计量: Z X 0 / n
3) 对给定α, 否定域为Z<- z1-α, 其中
பைடு நூலகம்(z1)1.
(2) σ2未知,μ的检验
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
(T检验）
2) 选择检验统计量：
T
X S/
0
n
|H0成立~t(n1)
α/2
f(x)
α/2
3) 对给定α,拒绝条件为
(1) σ2的检验（ μ未知）
(2检验)
1) 2)
3)
提给选出定择α原检,取假验设统和计 12备量择: 122假2(2n设( n :1)H1 )02:σ(2nα=/2σ102)0S2;2fH|(Hx10成 :) σ立2
≠ σ02
~2(n1)
α/2
有P(λ1< <2 λ2)=1-α
所以,拒绝条件为
2
否定域
接受域
t1/2(n1) X 否定域
例：从电话公司每月长途电话的帐单中, 随机抽取37张, 计 算平均费用为33.15元, 标准差为21.21元. 假定费用服从正 态分布 N(,2 ) , 2未知, 要检验假设
H0 :30, H1:30
解:取检验统计量 T X ~t(n1)
S/ n 依样本计算检验统计量的值为
P( Z>z1-α)≤α
(z1)1
φ(x)
α
接受域
z1-α
X
否定域
单侧（右侧）统计检验
原假设的确定一般应遵循以下原则 要把等号放在原假设里.
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0,
(2检验)
1) 2)
3)
提给选出定择α原检,取假验设统和计 12备量 择: 122假2(2n设( n :1H)102):σ(2nα=/2σ102)0S2;2fH|(Hx10成 :) σ立2
≠ σ02
~2(n1)
α/2
有P(λ1< <2 λ2)=1-α
所以,拒绝条件为
2
2
(n
1)
λ1
λ2
X
2
或
2
2 1
T0
33.15300.9033 21.21
37
t 1 2 ( n 1 ) t 1 0 . 2 0 5 ( 3 7 1 ) 2 .0 3 , T 0 2 .0 3
说明样本支持原假设,故要接受原假设.
2. 方差σ2的检验
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
(1) σ2的检验（ μ未知）
(n
1)
2
否定域 接受域 否定域
例：在正常的生产条件下, 某产品的测试指标
总体X~N(μ0,σ02),其中σ0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产 品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且X~N(μ,σ2). 从新产 品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,…,x10,计算得到 样本标准差S=0.33. 试在检验水平α=0.05的情况下检验: 方 差σ2有没有显著变化?
P(|Z|>z1-α/2)=α
Z检验 α/2
φ(x)
α/2
- z1-α/2
z1-α/2
X
否定域 接受域 否定域
双侧统计检验
例:用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量
服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?
基本检验H0: μ=μ0=23; 备择检验H1: μ≠ μ0= 23;
若H0成立,则 ZX0 ~N(0,1) / n
若取α=0.05,则 P{|Z|>z1-α/2}=a, 即: P{|Z|>1.96}=0.05, 在假设成立的条件下,|Z|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的, 将样本观测值代入Z得 ZX233.06, |Z|>1.96,
2
(n
1)
λ1
λ2
X
2
或
2
2 1
(n
1)
2
否定域 接受域 否定域
总体期望μ未知时，σ2的单侧假设检验
1) 提出原假设和备择假设: H0: σ2 ≤σ02; H1: σ2 >σ02
2)
选择统计量
2
(n
1)S
02
2
则在H0下
(n1)S2
02
(n1)S2
2
~2(n1)
对给定的α,有 {(n 1 2 )S 21 2 (n 1 )} {(n 1 2 )S 21 2 (n 1 )} 0
|T|>
t
1
(n
1)
2
否定域
接受域
t1/2(n1) X 否定域
类似可得: σ2未知,期望的单侧统计检验
统计检验 H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0的拒绝条件为
Tt1(n1)
统计检验 H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0的拒绝条件为
Tt1(n1)
2. 方差σ2的检验
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
2) 对统计量:
Z X 0 / n
在H0下有
X0 X, / n / n
对给定的α有
{ X/n0z1}{X/nz1}
所以
P ( X/n 0z1 )P ( X / nz1 )
3) 故 拒绝条件为Z> z1-α,其中, (z1)1.
③ H0:μ≥μ0(已知); H1:μ<μ0
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
小概率事件在一次实验2中/ 发n生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.
(2) σ2未知,μ的检验 1) 提出原假设和备择假设:
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
(T检验）
2) 选择检验统计量：
T
X 0
S/ n
|H0成立~t(n1)
α/2
f(x)
α/2
3) 对给定α,拒绝条件为 |T|> t1-α/2(n-1)
解 建立假设 H0:2020.223,H1:2 02
新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有
显2 著变(n化 10 2.)S2(1 0 0.1 2)02.33231.5 8312
2 (n
2
2 1
(n
2
1) 1)
2.7 19.023
2.7<18.53<19.023,接受 H0:2020.223
即 P (n 1 2 )S 21 2 (n 1 ) P (n 1 2 )S 21 2 (n 1 )
0
3) 所以,拒绝条件为 2 12(n1)
P(21 2 (n1)) 单侧假设检验
2) 选择统计量: Z X 0 / n
3) 对给定α, 否定域为Z<- z1-α, 其中
பைடு நூலகம்(z1)1.
(2) σ2未知,μ的检验
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
(T检验）
2) 选择检验统计量：
T
X S/
0
n
|H0成立~t(n1)
α/2
f(x)
α/2
3) 对给定α,拒绝条件为
(1) σ2的检验（ μ未知）
(2检验)
1) 2)
3)
提给选出定择α原检,取假验设统和计 12备量择: 122假2(2n设( n :1)H1 )02:σ(2nα=/2σ102)0S2;2fH|(Hx10成 :) σ立2
≠ σ02
~2(n1)
α/2
有P(λ1< <2 λ2)=1-α
所以,拒绝条件为
2
否定域
接受域
t1/2(n1) X 否定域
例：从电话公司每月长途电话的帐单中, 随机抽取37张, 计 算平均费用为33.15元, 标准差为21.21元. 假定费用服从正 态分布 N(,2 ) , 2未知, 要检验假设
H0 :30, H1:30
解:取检验统计量 T X ~t(n1)
S/ n 依样本计算检验统计量的值为
P( Z>z1-α)≤α
(z1)1
φ(x)
α
接受域
z1-α
X
否定域
单侧（右侧）统计检验
原假设的确定一般应遵循以下原则 要把等号放在原假设里.
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0,
(2检验)
1) 2)
3)
提给选出定择α原检,取假验设统和计 12备量 择: 122假2(2n设( n :1H)102):σ(2nα=/2σ102)0S2;2fH|(Hx10成 :) σ立2
≠ σ02
~2(n1)
α/2
有P(λ1< <2 λ2)=1-α
所以,拒绝条件为
2
2
(n
1)
λ1
λ2
X
2
或
2
2 1
T0
33.15300.9033 21.21
37
t 1 2 ( n 1 ) t 1 0 . 2 0 5 ( 3 7 1 ) 2 .0 3 , T 0 2 .0 3
说明样本支持原假设,故要接受原假设.
2. 方差σ2的检验
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
(1) σ2的检验（ μ未知）
(n
1)
2
否定域 接受域 否定域
例：在正常的生产条件下, 某产品的测试指标
总体X~N(μ0,σ02),其中σ0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产 品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且X~N(μ,σ2). 从新产 品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,…,x10,计算得到 样本标准差S=0.33. 试在检验水平α=0.05的情况下检验: 方 差σ2有没有显著变化?
P(|Z|>z1-α/2)=α
Z检验 α/2
φ(x)
α/2
- z1-α/2
z1-α/2
X
否定域 接受域 否定域
双侧统计检验
例:用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量
服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?