本构关系

f = 3I 2 −σ s = 0 ∂f 3 1 3 1 = (2σ x −σ y −σ z ) = [3σ x − (σ x + σ y + σ z )] ∂σ x 2 3I 2 2 2 3I 2 2 (σ x + σ y + σ z ) 3 3 3 = s11 σ x − = 3 2 3I 2 2 2 3I 2
{dσ} = ([Dep]){ ε} d
其中
1 + 2a ' 1 − a ' 1 + 2a ' 1 − a ' 1 − a ' 1 + 2a ' 3 E 0 0 a' [ Dep (ε )]T = 2 3(1 − 2ν ) 3 0 a' 0 0 0 2 3 0 0 0 0 a' 0 2 {dε } = {dε11dε 22dε 33 2dε12 2dε 23 2dε 31}T 2(1 − 2ν )dφ (ε ) a= 3Edε
2
1 2 1 2 1 2
}
加载和卸载准则 分清是加载还是卸载，加载用塑性 本构关系，卸载用弹性本构关系，在简单情况下是好 分的，但复杂应力状态不好确定。
∂f ∂{σ } 表示的是屈服面的外法线
∂f ∂{σ }
d {σ}表示的是载荷的方向
第一节
非线性弹性本构方程
应力应变的物理关系: 应力应变的物理关系成非线性的关系，但材料 是完全弹性的，应力与应变互为单值函数，与 加载历史无关，非线性弹性本构方程可以看成 是线性弹性本构方程的推广，也可看成是弹塑 性本构方程的特例。
1 全量形式的本构方程 根据塑性力学形变理论，应力偏量与应变偏量的关系为
成为
∂f ∂f A= ∂{σ } [c] ∂{σ }
T
上述推导是对正则（光滑）屈服面进行的，由几个 光滑屈服面组成时，可类似进行。 对于理想塑性材料，A＝0
第三节
Mises屈服条件
Mises模型本构矩阵
f = 3I 2 − σ s = 0
其中
1 I 2= [(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 2 2 2 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx )] 1 2 2 2 2 2 2 I 2= ( s11 + s22 + s33 ) + s12 + s23 + s31 2
[ Dep (ε )]T
dφ (ε ) dσ = dε dε
称为切线非线性弹性矩阵或切线弹塑性矩阵
是该图象上的切线。
上述矩阵因此也不是一个常数矩阵，而是随应力 水平（等效应力）和等效应变变化。该函数关系也可 以由简单拉伸曲线得到。 增量形式的本构方程并不改变与加载历史的无关性。
第二节 弹塑性本构方程 基于形变理论的非线性弹性本构方程只适用于简单加 载情况，没有普遍的意义。 在弹塑性问题中，应力全量和应变全量之间的关系 与加载历史有关，而不是单值函数。 这里讨论基于流动理论的弹塑性本构方程，这种本 构方程只能取增量的形式，但如果某瞬时之前的全部加 载历史已知时，可利用这种增量本构方程，逐步得到应 力全量和应变全量之间的关系。
若令
{δ } = {111000}T {ε } = {ε11ε 22ε 33ε12ε 23ε 31} E σ= ε 1 − 2ν
T
由于
{s} = {σ } − σ {δ } {e} = {ε } − ε {δ } σ = φ (ε ) 1 σ = (σ x + σ y + σ z ) 3 1 ε = (ε x + ε y + ε z ) 3
或
在三维主应力空间中，为一个圆柱面。
等向强化材料的弹塑性矩阵的推导，先求A
∂f T ∂f A=− {σ } ∂W p ∂{σ }
f = 3I 2 − σ s (W p ) = 0
dσ s (W p ) dε p dσ s (W p ) ∂f =− =− ∂W p dW p dW p dε p
由σs~εp曲线的几何意义可知
3 a 2 0 0 3 a 2 0
3 a 2
[ Dep (ε )]
称为割线非线性弹性矩阵或割线弹塑性矩阵
φ (ε ) σ = ε ε
是该图象上的割线。
上述矩阵因此不是一个常数矩阵，而是随应力水 平（等效应力和等效应变变化。该函数关系可以由简 单拉伸曲线得到。 1 增量形式的本构方程 也可以写为增量的形式，类似的推导可以得到
第三章
材料非线性本构关系
本章介绍小变形条件下的非线性本构关系， 并以矩阵形式表示，Fra Baidu bibliotek非材料线性有限元作准 备。 第一节 第二节 第三节 第四节 非线性弹性本构方程 弹塑性本构方程 Mises模型本构矩阵 Drucker-Prager本构矩阵
ANSYS： 双线性随动强化（Bilinear Kinematic BKIN） 双线性等向强化（Bilinear Isotropic BISO） 多线性随动强化（Multilinear Kinematic MKIN） 多线性等向强化（Multilinear Isotropic MISO） D-P(Druck-Prager）模型 Flac： 莫尔－库仑模型
{
= 0 加载 < 0 卸载 弹性状态 < 0 加载 = 0 中性加载 > 0 卸载
f ({σ }, {ε p }, k ) < 0
f ({σ }) = 0 ∂f df = ∂{σ } {dσ } =
T
{
3 加载时的本构关系 通常采用关联流动法则， 即于屈服条件相关的本构关系。 关联流动法则 根据Drucker公设，塑性应变的方向与屈服面的 法线相同
弹塑性问题要弄清以下三个问题：
1 2
屈服条件: 什么时候进入塑性状态 加载和卸载准则 分清是加载还是卸载，加载 用塑性本构关系，卸载用弹性本构关系，在 简单情况下是好分的，但复杂应力状态不好 确定。 加载时的本构关系 通常采用关联流动法则， 即于屈服条件相关的本构关系。
3
1
屈服条件: 什么时候进入塑性状态
∂f 3 3 = 2τ xy= 2s12 ∂τ xy 2 3I 2 2 3I 2
合并可记为
∂f 3 3 T = {s11 s22 s33 2s12 2s23 2s31} = {s}' ∂{σ } 2 3I 2 2 3I 2 {s}'= {s11 s22 s33 2s12 2s23 2s31}T
理想塑性材料
f ({σ }) = 0
屈服面的大小、形状和位置保持不变。 强化材料在加载过程中，屈服面的大小、形状和位置发 生变化。设k为反映加载历史的强化参数
f ({σ }, {ε p }, k ) = 0
一般简化为等向强化和随动强化。
等向强化，加载面均匀扩大
f ({σ }, k ) = 0
k一般取塑性功
对于等向强化材料
T
∂f = {0} ∂{ε p }
∂f ∂k = ∂f {σ }T ∂k ∂{ε p } ∂W p
T
于是
∂f T ∂f ∂k T ∂f + A = − ∂{ε p } ∂k ∂{ε p } ∂{σ }
∂f {dε p } = dλ ∂{σ }
由
dλ ≥ 0
{dε } = {dε e } + {dε p } {dσ } = [ D]{dε e } {dσ } = [ D]({dε } − {dε p }
得
由强化材料的加载条件 df = 0
∂f ∂{σ }
∂f ∂{σ }
2σ { s} = { e} 3ε
其中
{s} = {s11s22 s33 s12 s23 s31}
2σ { s} = { e} 3ε
T
{e} = {e11e22 e33e12 e23e31}
T
2 2 2 2 σ = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) 2 2 2 2 2 ε= (ε x − ε y ) 2 + (ε y − ε z ) 2 + (ε z − ε x ) 2 + 6(ε xy + ε yz + ε zx ) 3
代入 整理后得到 或
2σ { s} = { e} 3ε
{σ} = ([D] −[Dp ]){ } ε {σ} = ([Dep]){ } ε
其中
1 + 2a 1 − a 1 + 2a 1 − a 1 − a 1 + 2a E 0 0 [ Dep (ε )] = 3(1 − 2ν ) 0 0 0 0 0 0 {ε } = {ε11ε 22ε 33 2ε12 2ε 23 2ε 31}T 2(1 − 2ν )φ (ε ) a= 3Eε
成为
∂f T ∂f A=− {σ } ∂W p ∂{σ }
对于随动强化材料
∂f =0 ∂k ∂f ∂f = −[c] ∂{ε p } ∂{σ }
于是
∂f T ∂f ∂k T ∂f + A = − ∂{ε p } ∂k ∂{ε p } ∂{σ }
1 =− σ s (W p ) dW p
于是
dε p
dσ s (W p ) dε p
= H'
∂f H' =− ∂W p σ s (W p )
由材料单向拉伸实验曲线可知
1 dε dε e dε p 1 1 = = + = + ET dσ dσ dσ E H '
可得
ET E H '= E − ET
f = 3I 2 − σ s = 0 1 I 2= [(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 2 2 2 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx )]
∂f df = ∂{σ } {dσ }
表示了载荷的指向，为正时，指向外侧，为加载， 反之为卸载，沿切线为中性加载。
T
dσ
理想塑性材料
f ({σ }) < 0
f ({σ }) = 0
强化材料
弹性状态
T
∂f df = ∂{σ } {dσ } =
将 代入上式，得
∂f {dε p } = dλ ∂{σ }
T
dλ ≥ 0
1 ∂f dλ = ∂{σ } [ D]{dε } B
∂f ∂f 其中 B = ∂{σ } [ D] ∂{σ } + A ∂f T ∂f ∂k T ∂f + A = − ∂{ε p } ∂k ∂{ε p } ∂{σ }
将求得的dλ代入dεp，再将dεp代入
T
{dσ } = [ D]({dε } − {dε p }
中，得到
{dσ} = ([Dep]){ ε} d
其中
[Dep] = [D] −[Dp ]
1 ∂f ∂f [ D p ] = [ D] ∂{σ } [ D] B ∂{σ }
k = W p = {σ }T d{ε p }
或等效塑性应变
∫
k = ε p = d{ε p }
随动强化，加载面大小和形状不变，在应力空间中的位置 随塑性应变而变化
∫
f ({σ }, {ε p }) = 0
一般设平动张量是塑性应变的线性函数
f ({σ } − [c]{ε p }) = 0 [c] = c{1 1 1
T
T
∂f T ∂f ∂k T {dε p } = 0 + {dσ } + ∂{ε p } ∂k ∂{ε p }
T T ∂f T ∂f ∂f ∂k [ D]{dε } − ∂{σ } [ D] − ∂{ε } − ∂k ∂{ε } {dε p } = 0 p p