20-波动习题课2011

（B） A1/ A2 =2
（C） A1/ A2 =16
（D） A1/ A2 =1/4
[B]
分析：平面简谐波的强度
I
1 2
A2 2u
两相干平面简谐波的强度之比是I1/ I2 = 4， 即：
I1
1 2
A12
2u
4
I2
1 2
A22
2u
A12 A22
4
14
17 一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该
相位：(Bt Cx)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相距为d的两点的相差： Cd 24
35 一简谐波沿 BP 方向传播，它在B 点引起的振动方
程为 y1= A1cos 2πt ，另一简谐波沿 CP 方向传播，它在
C 点引起的振动方程为 y2 = A2cos(2πt＋π)。P点与B 点 相距 0.40m，与C 点相距 0.5m（如图）, 波速均为u =
[A]
分析：取平衡位置在 x 处的质元，其振动落后于P点，
落后的时间为：t
x
u
L
,
即x点在t 时刻的振动状态与 时的振动状态相同，即：
P点在
t
t
t
x u
L
y波 Acos[(t t） 0 ]
y
A cos [ (t
x
u
L） 0 ]
12
15 一平面简谐波以速度u 沿 x 轴正方向传播，在t =t′
0.20 m·s-1。则两波在P点的相差为
0。
分析：位相差
( 2
1 )
2
(r2
r1 )
( 2
1 )
2
uT
(r2
r1 )
( 2
1
)
u
(r2
r1
)
y2=A2cos(2πt＋π)●
●
C
r2 = 0.5m
P
r1 = 0.40m
B
●
y1=
A1cos
2πt
2
0.20
(0.5
0.4)
0
25
36 一面简谐波沿 x 轴正方向传播，波速u = 100m/s，
t=0时刻的波形曲线如图所示，波长λ＝ 0.8m ；振幅A
＝ 0.2m ；频率ν＝ 125Hz。
分析：由图知
2
1
2 (r2
r1 )
2k , A (2k 1) ,
A
A1 A2 A1 A2
当φ1=φ2 r2
r1
(2k k1)2
相长干涉 相消干
涉
5、驻波：掌握波节、波腹的位置，振幅 特点，半波损失等。
2
1、驻波的形成的条件 相干波, 振幅相等, 在同一直线上反向传播。
2、驻波方程（波函数）
o1o2= λ /2
λ =2× o1o2 = 2× 75.0×10-2
= 1 . 50m
u = vλ
o
= 224×1.50 = 336m·s -1
λ/2
A
o1
o2 o′
7
例： 如果入射波的方程式是：
y1
Acos 2(
t T
x
)
在x = 0 时发生反射后形成驻波 , 反射点为
波腹 , 设反射后波的强度不变，则反射波的
)
与
y
Acos 2 (t
x
)
A cos (t
x) u
比较，可得
A 0.02m;
100Hz;
2.5m;
u 250m s1 .
21
32 一横波的波动方程是 y = 2 sin2π(t /0.01- x/30 )，其中
x 和y 的单位是厘米，t 的单位是秒，此波的波长是
cm，波速是
m/s。
分析：t 时刻 A 点处媒 y
质质元的振动动能在增
大，而任意时刻：
oA
B
x
Wk W p
则A点处媒质质元的弹性势能也在增大，故（A）错；
同时A点处质元应向平衡位置移动， 则波沿 x 轴负方向 传播；且B处质元也移向平衡位置，其动能势能均增大；
波的能量密度:
w
W V
2 A2 sin2[(t
x u
又由图， t = t′时 x0
t
2
0
sin(t ) 0
0 0
即
Acos(t ) 0 Asin(t ) 0
t ＝－2
y a cos[
u
＝－2
(t t')
t
]13
b
2
16 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是
I1/ I2 = 4，则两列波的振幅之比是
（A） A1/ A2 =4
)]
随t
变16 。
19 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平 衡位置运动到最大位移处的过程中：
(A) 它的动能转换成势能。 (B) 它的势能转换成动能。 (C) 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大。 (D) 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐 渐减小。
分析：质元从平衡位置运动到最大位移处的过程
分析：将 y 0.03cos6 (t 0.01x)(SI)
0.03 cos 6
0.03 c os 2
((t1t310x010) x0
3)
与 y Acos
比较，可得
(t
x u
)
A cos 2
(Tt
x
)
A 0.03m;
T
1 3
s;
u 100 m s1;
100 3
m.
[B]
10
12 一平面余弦波在 t = 0 时刻的波形曲线如图所示，则
y
Wk , Wp
B
o
A
x
[D]
17
20 S1 和 S2 是波长均为的两个相干波的波源，相距3λ/4 ，S1 的位相比S2 超前 π/2，若两波单独传播时, 在过 S1 和 S2 的直线上各点的强度相同，不随距离变化, 且两波的强 度都是I0 ，则在S1、S2 连线上S1外侧和 S2 外侧各点，合 成波的强度分别是:
时（ （ （波ABC）））形yyy曲线aaa如cccooo图sss[[所[2ub示ub(ubt(，t(t则t't)坐't)')标2原2]2]点] ooa的y 振动方程u为
:
[
D]
x
（D） y
a cos[
u b
(t
t')
2
]
b
分析：o点的振动为 y Acos(t )
φ= ？
由图知，其A=a，λ=2b, T= λ/u= 2b/u， ω= πu/ b ，
（B）振幅不同，位相相同。
（C）振幅相同，位相不同。
（D）振幅不同，位相不同。
[ B]
例： 一驻波的表达式为
y = 2Acos(2πx/λ) cos(2πvt)，两个相邻波腹
之间的距离是
λ。/2
6
例： 图中o、o′是内径均匀的玻璃管。A 是能 在管内滑动的底板，在管的一端 o 附近放一频 率为224Hz的持续振动的音叉，使底板A从o逐 渐向o′移动，当底板移到o1时管中气柱首次发 生共鸣，当移动到o2时再次发生共鸣， o1与o2 间的距离为75.0cm，则声速是 336m·s -。1
IP 4A2 4I0
同理，对于S2外侧某点Q
r1
● 3λ/4 ● r2 ●
S1
S2
Q
Q
(2
1)
2
(r2
r1 )
2
2
(
3
4
)
AQ A2 A2 2A2 cos 0
IQ 0
正确答案为：(D)
19
二、填空题
30. 一平面简谐波的波动方程为 y = 0.25cos(125 t -0.37x)
方程式y2=
A cos
2(
t T
x
)
;在x =2λ/3处质点
合振动的振幅等于 A 。
8
解：入射波在x = 0 处引起的振动： u 入射波
y入0
Acos 2
t T
ox
x
反射点为波腹，意思是：入射波和反射波在反射
点x =0处引起的振动同相位，即反射波在x = 0处
引起的振动方程亦为：y反0
A cos
(A) 4I0, 4I0 ； (B) 0， 0； (C) 0 , 4I0 ； (D) 4I0, 0。
●
r1
分析：设S1、 S2的振动方程为 P
r2
● 3λ/4
S1
●
S2
y10=Acos(ωt＋ φ1) ； y20=Acos(ωt＋ φ2) ，
在yS11外 侧Ac某os点(Pt引起1的分2振r动1 )
时刻能量为最大值的媒质质元的位置是:
[B]
（A） o′，b，d，f ； （B）a，c，e，g ；
（C）o′ ，d ；
分析：
y（D）b，f 。
o′
d
平面简谐波的能量
a
o
W Wk W p
ce
gx
V2 A2
sin 2
( t
x
b )
f
u
质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同时
其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位移
o点的振动初位相φ为：
(A)0; (B) π/2 ; (C)π; (D)3π/2 (或-π/2 ).
分析：o点的振动为
yc
y Acos(t )
其振动的初始条件为
o
即
t = 0时，
x0 0
0 0
Acos 0
Asin 0
2
sin 0
x t = 0 时刻
＝－
2
也可以用旋转矢量法 确定初相，画画看！
y1
A cos (t
2
2
r2 )
位相差：
P
2
1
( 2
2
r2 ) (1
2
r1 )
( 2
1)
2
(r2
r1 )
( 2
1
)
2
r2
r1
3
4
18
P
2
2
3
4
2
● r1
P
r2
● 3λ/4
S1
●
S2
A合 A12 A12 2A1 A2 cos
AP A2 A2 2A2 cos(2 ) 2A
（SI），其圆频率ω＝
，波速u＝
，
波长λ＝
。
分析：由 y 0.25cos(125t 0.37x)
0.25 cos 125(t
x 338
)
与
0.25
cos
2
(
t 0.05
x 17
)
y Acos(t kx)
A cos (t
x u
)
A cos 2 (Tt
x
)
比较，可得 125s 1; u 338m s 1;
5、半波损失: 波疏 波密，反射，位相突变
4
例：如图所示，为一面右传播的简谐波在 t 时刻 的波形图，BC为波密介质的反射面，波由P点反 射，则反射波在t时刻的波形图为
y
B
o
P
x
C
分析：BC为波密介质的反射面
则因反射将产生半波损失。
[B]
5
例：在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动
（A）振幅相同，位相相同。
[D]
11
14 如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点
的振动方程为y=Acos(ωt＋ φ0)
y
则波动方程为
u
（A）y=Acos{ω[t-(x-l)/u]+ φ0} o （B）y=Acos{ω[t-(x/u)]+ φ0}
L
xP x
x
（C）y=Acos ω(t-x/u)
（D）y=Acos{ω[t+(x-l)/u]+ φ0}
2
t T
反射波的方程式
y2
A cos(2
t T
2
x
)
合振动(驻波)方程：y
2
A
cos
2
x
cos
2
T
t
x =2λ/3,
A合
2 Acos
2x
2Acos 2
(2
/ 3)
2 A cos
4
3
A
9
习题集（振动和波）
一、选择题
11 机械波波动y = 0.03 cos 6π( t + 0.01 x ) (SI) , 则 （A）其振幅为3m； （B）其周期为1/3； （C）其波速为10m/s； （D）波沿x轴正向传播。
沿x正向传播的行波：y1
Acos 2π( t
x)
沿x负向传播的行波：y2
Acos 2π(
t
x)
驻波方程 y 2Acos 2π x cos 2π t
3
3、 波腹（节）的位置
波腹 波节
x k 2k
2
4
x (2k 1)
4
k 0,1,2, k 0,1,2,
4、相邻波腹（节）间距 x 2
分析：由 y 0.02cos 2 ( t x )
0.01 30
0.02
cos
200
(t
x 3000
)
与
y
A
cos
2
(
t T
x
)
A cos (t
x u
)
比较，可得
30cm; u 3000cm s1 30m s1 .
22
33 一平面简谐波的表达式为
y = Acosω(t-x/u)＝A cos (ωt-ωx/u)， 其中 x/u 表示 波从坐标原点传至 x 处所需的时间 ， ωx/u 表示 x 处质点比原点处质点落后的相位 ，
时，动能、势能均为零。
能量为最大值的媒质质元的位置是: a，c，e，g
15
18 图示为一平面简谐机械波在 t 时刻的波形曲线，若
此时A点处媒质质元的振动动能在增大，则 （A）A点处质元的弹性势能在减小。
[B]
（B）波沿 x 轴负方向传播。
（C）B点处质元的振动动能在减小。
（D）各点的波的能量密度都不随时间变化。
y 表示 t 时刻 x 处质点的位移 。
23
34 已知平面简谐波的方程是 y =Acos (B t - Cx)，式中
的A、B、C为正常数，此波的波长为
，
波速是
，在波传播方向上相距为d的两点
的振动相差是
。
分析：
y
A cos
2
(
2
t /
B
x
2 /
C
)
与
y
A
cos
2
(
t T
x
)
比较，可得
T 2 / B 2 / C u / T B / C
第八章习题课
1、平面简谐行波的波动方程
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
u
T
1 T
2 uT u
2、波动能量的特点及波的强度：
Ek Ep
I wu A2
3、惠更斯原理
1
4、波的干涉 现象、条件、公式。
A A12 A22 2A1 A2 cos
17.0m; T 0.05s. 20
31 一横波的波动方程是y =0.02 sin2π(100t -0.4x)(SI)，
则振幅是
，波长是
，频率是
，
波的传播速度是
。
分析：由 y 0.02cos 2 (100t 0.4x)
0.02
cos
2
(100
t
x 2.5
)
0.02
cos
200
(t
x 250