第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法

函数 f (x) (x 1), 使 un f (n),n 1,2,
则级数收敛 无穷积分 f ( x)dx 收敛. 1
例6
讨论级数
n2
1 n(ln n) p
的收敛性 (
p
0)
.
解: 当 p 1 时,
A 1 dx ln ln A ln ln 2 ( A )
2 x ln x
由积分判别法知,级数
若正项级数 un(un 0) 满足 n1 lim un1 l, 则 u n n
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
优点:不需要 参考级数!
1 1
, n1 n
n1 n2 .
例4
讨论下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
n1
n1
un vn (n 1,2,), 则
大敛小敛
(1) 若级数 vn收敛,则级数 un也收敛;
n1
n1
(2) 若级数 un发散,则级数 vn也发散.
n1
n1
小散大
散
例1
讨论
p
级数
n1
1 np
( p 0) 的敛散性.
解:当
p
1
时,
1 np
1,又
n n1
1 n
发散,故当 p
1 e
n!
(2)
;
n1 (2n 1)!!
1 2
(3)
1;
n1 2n(2n 1)
失效 1
(用比较法) n2
(4)
bn n1 n ,
( 0,b 0).
b
收 收 收 分情况
3. 检根法(Cauchy判别法)
定理 4 (Cauchy判别法)
若正项级数 un 满足 n1
lim n
n
un
l,
则
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
例5
讨论下列级数的收敛性:
(1) x n , x 0; n1 n
(2)
n1
n3n 5n
;
(3)
n1
x an
n
,
x 0,
an 0且 an a (n ).
4. 拉阿伯判别法(Raabe判别法)*
结论:p 级数
即 Sn有界, 则 p 级数收敛.
当p 1时,发散
Remark
推论:若存在常数 N ( 1) 及 c( 0) ,使
0 un cvn , 只要 n N ,
则当 vn收敛时, un也收敛;
n1
n1
当 un发散时, vn也发散.
n1
n1
比较判别法的不足:必须要有参考的级数.
A
A 2
1 x(ln x)
p
dx
(ln 2)1 p1
p
由积分判别法知,级数
n2
1 n(ln n)
p
收敛.
本节小结
❖ 比较判别法及其极限形式. ❖ 检比法.(D’Alembert) ❖ 检根法.(Cauchy) ❖ 积分判别法.
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
(了解即可)
定理 5* (Raabe)
若正项级数 un (un 0) 满足
n1
lim
n
n
un un1
1
R
( R可以是). 则
(1) 当R 1时级数收敛; (2) 当R 1时级数发散;
与前几种 相反!
(3) 当R 1时级数的敛散性不定.
5. 积分判别法
定义: 设函数 f (x)在a, 上有定义,且对任意A a, f (x)
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
dx
1 1
p
(ln
x)1 p
A 2
1 [(ln A)1 p (ln 2)1 p ] 1 p
则
lim
n1
n
( 1 ,L’hospital)
n2
解: (3)
lim
n
1
cos
n
1 n2
lim 1 x
cos
x
1 x2
t1 x
1 cos t
sin t 2
lim t 0
t2
lim
t0 2t
2
故级数
n1
1
cos
n
收敛.
2. 检比法(D’Alembert判别法)
定理 3 (D’Alembert判别法)
重要的参考级数:等比级数, p 级数.
例2
讨论下列级数的收敛性:
(1)
1
;
n1 n(n 1)
(2)
ln
n
;
n1 n
(3)
n1
n2 1 n3 2n .
定理 2 (比较判别法的极限形式)
设有两个正项级数 un与 vn ,且有
n1
n1
lim un h,
v n n
其中 h为有穷数或 .则有下述结论:
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
1
时
y
级数发散.
y
1 xp
(
p
1)
当
p
1时,
令
an
1 np
,
O
1234
x
则
1 np
n dx n1 x p .
ห้องสมุดไป่ตู้ Sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 1
dx xp
n dx n1 x p
y
y
1 xp
(
p
1)
1
n dx 1 xp
1
1 p
1
(1
1 n p1
)
O
1234
x
1 1 p1
当 p 1时,收敛
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1