必修4第三章---三角恒等变换单元教学设计

必修4第三章三角恒等变换单元教学设计案例 3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力．情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．（二）教学重点，难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．、（三）学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体（四）教学过程思考并讨论：（投影） 1） 问题解决的思路与方法 2）体现了α与β的任意性吗3）探究 cos()的公式—由学生回答上述问题，教师点评：结论如下1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之处.。

回归到余弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。

2）α与β有任意性，有Z k k OQ OP ∈+±=-,2,πβα 说一该公式具有一般性。

3）把公式C α-β中的β换成-β，则有板书：cos ［α-（-β）］=cos α·cos （-β）＋sin α·sin（-β）＝cos α·cos β-sin α·sin β，/cos15的值从知识、方案例３.1(２)（一）教学目标１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．２．#３．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．４．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．（二）教学重点，难点重点是公式的结构特点，会用公式求值．难点是公式的逆向和变形运用．（三）教学方法教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．（四）教学过程`)απ，．数值．（２）（３）再求三角函数值的正负．（４）代入时，从左至右依次代入．（５）注意cos2,2ππαβ得αβπ+，再进一步参11cos()14αβ+=-．确定sin()αβ+的值．思考题：1．已知cos()=31求 (sin +sin )2+(cos +cos )2的值。

2．sin sin =21，cos cos =21， (0, 2π),(0, 2π), ^求cos()的值§3.1.2 两角和与差的正弦一、教学目标1、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在联系。

-2、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的过程。

从这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质。

3、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

体会学科间的联系。

二、教学重点、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。

2. 教学难点：利用两角和的正弦公式变sin cos a b αα+为一个角的三角函数的形式。

三、教学方法研讨式教学，讲授式教学 四、教学过程：#（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ ①里加外加，里减外减&()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ②,,,αβαβ顺序不变简单应用：（视学生情况，2可酌情删减）1、求00sin 75,sin15）2、（口答）课本138页练习A 1——4题 （二）例题讲解 例题安排：例1与例2是三角与向量的综合问题，其过程是一次旋转变换。

例1是例2的一个特例，在编排上体现了由特殊到一般的认识规律，例2求证的结论是一组旋转变换公式。

由此，在安排上，例1作为重点讲解，而例2则留给学生自己课下解决。

培养学生举一反三，由特殊到一般的学习能力。

例3与例4也是由特殊到一般的关系。

先讲例3降低了难度，为例4打好了基础，这样例4便也可由同学仿照例3研讨得出。

》例5 体现了数学学科与物理学科的联系，增强了学生的学习兴趣，可留作思考作业课下完成。

例1、已知向量(3,4)OP =，逆时针旋转045到'OP 的位置。

求点'(',')P x y =的坐标 解题分析：问题1、P 点坐标知道吗问题2、OP 旋转到'OP ，什么变了，什么没变问题3、通过前面的学习，你能利用三角函数的知识解决这个问题吗 解：设xOP α∠= 由(3,4)OP =可知(3,4)P所以235OP ==，而'5OP OP ==又因为34cos ,sin 55αα==同理()()00''cos 45,sin 4555x y αα=+=+所以()()000'5cos 455cos cos 45sin sin 453242552522x ααα=+=-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=-同理()()000'5sin 455sin cos 45cos sin 454232552522y ααα=+=+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭=所以'()22P -例2（学生课下仿照例1研讨完成）已知点(,)P x y ，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点()'','P x y 。

求证：'cos sin 'sin cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩[证明：设xOP α∠=，OP r =则cos ,sin x y rr αα==同理 ()()''cos ,sin x y rrαθαθ=+=+ 从而()()'cos cos cos sin sin cos sin x r r x y αθαθαθθθ=+=-=- ()()'sin sin cos cos sin sin cos y r r x y αθαθαθθθ=+=+=+即 'cos sin 'sin cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩例3x x -解题分析：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦不相象，但我们能否发现规律呢【x x-))()1cos cos sin30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫⎪⎪⎝⎭==-=-思考：是怎么得到的发现=我们是构造一个角使它的正、余弦分别等于12和例4、（教师引导学生仿照例3研讨完成）求函数sin cos y a x b x =+的最大值、最小值和周期，其中,a b 是不同时为零的实数。

解：由例3 知 sin cos y a xb x =+可写为y x x ⎫=⎪⎭，'其中cosθθ==则，原式)()cos sin sin cos x x x θθθ=+=+所以函数sincos y a x b x =+2π注：此题结论可作为公式记住，可方便解题。

例5、（学生课下完成）已知三个电流瞬时值的函数式分别是()()00123,2sin 45,4sin 45I t I t I t ωωω==-=+，求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相。

解: 123II I I =++…()()()())()0000002sin 454sin 452sin cos 45cos sin 454sin cos 45cos sin 45sin cos cos sin t t t t t t t t t t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωθωθωθ=+-++=+-++=⎫=⎪⎭=+=+其中01arctan 142'4θ=≈所以()0142'I t ω=+0142' （三）小结：本节我们学习了两角和与差正弦公式及其应用，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（四）作业：课本141页 习题3 —1 A 第2——4题3.1.3两角和与差的正切）一、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。

2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。

及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。

3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。

教学难点：公式的逆向和变形应用。

-三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式S+,S, C+ ,C()sin +sin cos +cos sin αβαβαβ= ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢、2、两角和与差正切公式的推导及理解 T +,T⑴tan(+)公式的推导（让学生回答） ∵cos (+)0tan(+)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos cos 0时分子分母同时除以cos cos得：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-以代得：()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+|⑵思考讨论：①公式是如何推导出来的有什么限制条件 ②公式有何特点如何记忆 ③公式有何用处有何变形⑶注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。