三角形的分类讨论问题

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相似三角形分类讨论

相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。

例谈相似三角形分类讨论问题

想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。

分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。

分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。

关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。

”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时需要分类讨论。

分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。

笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。

，|)内/(•T)无零点。

当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。

当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。

综上可得，/U)有且仅有2个零点。

7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来求解也是一个有效的途径。

要分类讨论做归纳整理。

1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。

相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN△与四边形BCNM 重叠部分的面积为y，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴= （2）1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM内或BC边上时，1A MNy S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y xx =-+-，取163x =，8y=最大86>Q ∴当163x =时，y 最大，8y=最大2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）Q 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，M NC BEF AA 1得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM mm =-+-．又90COA PMA ∠=∠=Q °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m mm ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m mm -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216ly x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833DB D xx y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684ED E E yy x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG =，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC Q △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．·············································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t tt t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求（图（图（图出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA积都相等？若存在，求a 明理由．【答案】解：（1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t Q ≤，636a a ∴+≤，则636a a ∴<≤，≤，（4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等NM M∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3ta t t a∴-=-，把66a t a =+代入，解之得a =±，所以a =．所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．A B D EF C O M Nx y图7-2A DOBC21 MN图7-1ADBM N12图7-3ADOBC21 MNO.7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD 的值．【答案】解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ．又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°． ∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD ．延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，图4ADO B C21 MNEF A2E∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBOAC BE =．又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD =． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。

“分类讨论”在等腰三角形中的应用

“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ．说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形．例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。

与等腰三角形有关的分类讨论问题

与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.一：与角有关的分类讨论例1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________分析：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.二：与边有关的分类讨论例2、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.分析：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三：与高有关的分类讨论例3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.分析：因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.小结：此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，例4、美化环境，计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.分析：例5、在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2），试在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，求符合条件的点P 的坐标练习：1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数_____度. 归纳：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是3、练习如图，在网格图中找格点M ，使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴.baxAOA （－2，2）yxoPQPQPOCBA4、变式这样的点M 共有_________个5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是边BC 上一点，△EAD 是等腰直角三角形，∠EAD =90°，ED 与AC 相交于点F ，联结CE . （1）说明∠B ＝∠ACE 的理由；（2）若△CFE 是等腰三角形，请求出∠BAD 的度数.6、已知如图点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°，将点O 绕点A 按顺时针方向旋转60°到点P ，联结OP 、CP （1）求证：△AOP 是等边三角形（2）若△COP 是等腰三角形，求 ∠BOC 的度数。

专题02 直角三角形中分类讨论问题(老师版)

专题2直角三角形中分类讨论问题【典型例题】1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．【答案】（0，0），0），（﹣2，0）【解析】【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，22222∴+++=+，解得，m P0）；22(m m当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．【专题训练】1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，点D 、E 在边BC 所在的直线上，且AB =DB ，AC =EC ，则∠DAE 的度数为________．【答案】45°或135°【解析】【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC =，CD AB ⊥，5CD =，24AB =．E 是AB 边上的一个动点，点F 与点A 关于直线CE 对称，当AEF 为直角三角形时，AE 的长为________．【答案】7或17【解析】【分析】分当E 在线段AD 上时，当E 在线段BD 上时分别求解即可．【详解】解：当E 在线段AD 上时，连接CE ，作A 关于CE 的对称点F ，连接AF ，EF ，CF ，∵∠AEF =90°，∴∠AEC =∠FEC =360902︒-︒=135°，∴∠CED =45°，∴CD =ED =5，∴AE =AD -ED =12-5=7；当E 在线段BD 上时，连接CE ，作A 关于CE 的对称点F ，连接EF ，CF ，AF ，∵∠AEF =90°，∴∠CEF =∠CEA =45°，∴ED =CD =5，∴AE =AD +DE =17，故答案为：7或17．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．3．（2021·河南·郑州市第六十三中学三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．【答案】4或3【解析】【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=12AC=4，如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，设PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，综上所述：当△AA ′C 是直角三角形时，则线段CP 的长是4或3，故答案为：4或3．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．4．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．5．（2021·广东广州·八年级阶段练习）在ABC 中，若过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC 的关于点B 的二分割线．例如：如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，20C ∠=︒，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且20DBC ∠=︒，则直线BD 是ABC的关于点B 的二分割线．如图2，已知18C ∠=︒，ABC 同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线，则BAC ∠的度数为______．【答案】36︒或45︒或54︒【解析】【分析】根据关于点B 的二分割线的定义即可得到结论．【详解】解：如图2所示：36BAC ∠=︒，如图3所示：45BAC ∠=︒，如图所示：54BAC ∠=︒，故答案为：36︒或45︒或54︒．【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“△ABC 的关于点B 的二分割线”是解题的关键．。

与三角形有关的分类讨论问题

２００９年第７期
１７
为坐标原点，边形四ＯＢ是矩形，Ａ、ＡＣ点
中，腰梯形ＡＢ的等ＯＣ
四个顶点为Ａ２２）（，，０（，，（，，００）Ｂ８０）
点Ｃ的坐标分别为
Ａ（００，０４）点１，）Ｃ（，，
我们将问题分为三类情况来解决：是当６一
Ｉ冬Ｉ１
因为为ＢＣ中点，以，所
ＢＥ：：２１，ＤＥ：２１—１５：６．
为斜边时，二是当８为斜边时，三是当未知的
第三边为斜边时．解：分类解答如下：
又因ＡＤ上Ｂ，Ｆ上Ｂ则Ａ／Ｅ从ＣＥＣ，Ｄ／Ｆ，而有ＡＦ＝
边，ＯＢ △ Ｂ △ ＡＭＯ，四边形ＡＢ则ＯＣ为等腰梯形，Ｏ由Ａ上Ａ知ＯＢ，Ｃ上Ｂ．点、Ｃ则点ｃ重合，Ｍ（，）故６２．（）当／ＯＢ＝／ＭＢ时，ＯＢ ∽ ２ＡＯＡＡ
在 △ ＡＣ内（图ｉａ）Ｂ如（）．
Ａ
况，然后采用分类思想加以解决，在解题中才
不会出现漏解的情况．面我们就以上四种下类型例析如下．
一
、
直角三角形的斜边不确定
Ｂ
｜
例１已知直角三角形两边分别为６和
８求此三角形的面积．，分析：由直角三角形的斜边的不确定性，
不确定而进行的分类；是由于三角形的形二

等腰三角形的分类讨论

在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由。
1100或800
类型三：三角形的形状不明时需分类讨论
例：已知等腰△ABC 腰AB上的高CE 与另一腰AC
的夹角为30°，则其顶角的度数为 _6_0_°_或__1__2_0_°_
A E
B 图1
复习与回顾
1、等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）； ②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.
2、等腰三角形判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （等角对等边）.
等腰三角形分类讨论问题
平顶山市实验中学孙艳霞
类型一：底和腰不明时需分类讨论
例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为___1_7__.
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，已知点A的坐标为（2,2），点P在x轴上， △APO为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为__（_2__2_，_0）___（__-__2__2_，0_）___（_4_，_0）___（__2_，0_）
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B 是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的
个数为（ B ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
方法总结确定的边可能是等腰三角形的腰，也可能是
等腰三角形的底边，解决此类问题通常用圆规能做到不重不漏.
课堂小结
类型一：底和腰不明时需分类讨论类型二：顶角与底角不明时需分类讨论类型三：三角形的形状不明时需分类讨论类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
C

关于等腰三角形的分类讨论

关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。

很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。

第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。

设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。

第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。

第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。

所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。

等腰三角形动点问题分类讨论题型

等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。

比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。

像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。

比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。

假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。

想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。

要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。

在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。

像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。

三角形的分类讨论

三角形的分类讨论三角形是由三条边连接而成的多边形，根据其边长和角度特征的不同，可以将三角形分为不同的类型。

本文将对三角形的分类进行详细讨论，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等。

一、等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个内角均为60度。

在一个等边三角形中，任意一条边都可作为底边，而高的长度相等。

等边三角形具有对称性，是最简单的三角形类型之一。

在几何学中，我们用一个小框框来表示等边三角形。

二、等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。

在等腰三角形中，顶角是两底角的夹角平分线。

等腰三角形具有一条对称轴，对称轴上的点到两边的距离相等。

图形上，我们常常用两个小斜杠来表示等腰三角形。

三、直角三角形直角三角形有一个角度为90度的直角。

直角三角形的两条边叫做直角边，另一条边叫做斜边。

根据勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。

在几何学中，我们用一个小方框来表示直角三角形。

四、钝角三角形钝角三角形是指其内角有一个角度大于90度。

在钝角三角形中，最长边对应的角是一钝角，而最短边对应的角是锐角。

除了最长边和最短边，还存在一条中等长度的边。

图形上，我们常常使用一个小弯曲线来表示钝角三角形。

五、锐角三角形锐角三角形的三个角都小于90度。

在锐角三角形中，最长边对应的角是一锐角，而最短边对应的角是一锐角。

除了最长边和最短边，还存在一条中等长度的边。

和钝角三角形相比，锐角三角形的角度更小。

图形上，我们通常使用一个小尖角来表示锐角三角形。

通过上述分类讨论，我们可以清楚地了解不同类型的三角形的特点和辨识方法。

掌握这些概念对于解决几何问题和计算三角函数等数学问题都具有重要的意义。

在实际生活和工作中，我们也可以通过这些分类方法来分析和描述各种形状的三角形，为解决实际问题提供有力的工具。

总结起来，三角形的分类涵盖了等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这五个基本类型。

与三角形有关的分类讨论多解题

与三角形有关的分类讨论多解题1．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．2．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．3．△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD＝65°，∠DBC＝45°，则∠ABC ＝°．4．已知在△ABC中，∠A＝30°，BD是△ABC的高，∠BCD＝80°，则∠ACB ＝°．5．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．6．在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为．7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．8．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，△ABC的外角∠ACG 的平分线与BD的延长线交于点F．在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠BAC的度数是．9．已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是．10．已知△ABC的高AD与AB、AC的夹角分别是60°和20°，则∠BAC的度数是．11．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝25°，则∠BAC的度数是12．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为65°，则∠BAC＝．13．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝cm．14．在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE为高，直线BD、CE交于点H，则∠BHC ＝．15．AD是△ABC的高，∠B＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝．16．在△ABC中，点H是直线BC上一点，连接AH，若∠BAH＝56°，∠CAH＝27°，则∠BAC＝度．17．在△ABC中，∠A＝47°，高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、C重合，则∠BOC＝．18．△ABC中，∠B＝35°，∠A＝85°，点D在线段AB上，点F在射线BC上，连接DF与射线AC相交于点E，且∠ADE＝65°，M是EF中点，则∠BCM ＝．19．已知点A（2，0）、B（2，4），以点A、B、P（点P不与点O重合）为顶点的三角形与△ABO全等，则符合要求的点P坐标可以是．20．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．21．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝．22．已知等边三角形ABC的边长为4，线段AD∥BC，且AD＝BC，直线BD与直线AC交于点E，则△ABE的面积为．23．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝．24．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．25．等边△ABC，AB＝8，点D在直线AB上，若CD＝13，则AD的长为．26．已知△ABC中，AB＝AC，过点B的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ABC ＝°．27．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为．28．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为．29．如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是．30．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于．31．已知△ABC中，AB边的垂直平分线交BC边于点D，AC边的垂直平分线交BC边于点E，若AD＝5，AE＝7，DE＝3，则BC＝．32．△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，P是射线AD上一点，且∠ABD＝2∠PBD，则AP：PD的值是．33．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD∥BC，BD＝BC，∠DBC＝．34．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC＝10，DE＝4，则AD+AE＝．35．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为．36．已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB＝50°，这个三角形的顶角的度数是．37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC中点，E为边AB 上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为．38．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为．39．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．40．在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝30°，D为BC边上一点，点F是射线BA上一点，DF与射线CA相交于点E，点G是EF的中点，若∠DEC＝∠C，则∠CAG ＝．41．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝．42．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．43．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为．44．已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．。

全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题含答案

全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题含答案一、腰或底边不确定时需讨论1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是()A．11 cm B．13 cmC．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10二、顶角或底角不确定时需讨论3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．三、三角形形状不确定时需讨论6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．答案：1. C2. A3. D4. 80°或20°5. 70°或100°或40°6. D7. 63°或27°8. 两种情况考虑：当∠ABC 为锐角时，如图1所示，∵AD ⊥DB ，BE ⊥AC ，∴∠MDB ＝∠AEM ＝90°，∵∠AME ＝∠BMD ，∴∠CAD ＝∠MBD ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠M ＝∠C ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135° .∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°9. C10. 当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或111. 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9。

初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题

等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ，设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。

专题14 直角三角形中的分类讨论模型(解析版)

专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。

1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。

2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt ABC △方法：两线一圆具体图解：①当︒=∠90BAC 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）②当︒=∠90ABC 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。

③当︒=∠90ACB 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。

例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=2x ，则2x =28；②最长边不是8时，82+62=2x ，则2x =100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在ABC 中，9040BAC C ∠=︒∠=︒，，AH 、BD 分别是ABC 的高和角平分线，点E 为BC 边上一点，当BDE 为直角三角形时，则CDE ∠=︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∵BD 平分ABC ∠∴1DBC ABC ∠=∠=∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒②当90BDE ∠=︒时，如图2，∴902565BED ∠=︒-︒=︒，∵BED ∠=∠综上，CDE ∠的度数为50︒或25︒．故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，题的关键．A．1个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：其中的一条腰．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）外部作等腰直角ABC，或(37)，【答案】(74)∵BAC AOB AEC ∠=∠=∠∵AB AC =，∴AOB △≌△同法可得，当AB BC ='，当AB 是等腰直角三角形的斜边时，综上所述，满足条件的点．【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED ∠'=︒时，先求出时，作AH BC ⊥，证明出ADH 【详解】解：当90B ED ∠'=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，BE ∴=由折叠得BD B D ='，AB AB '=在Rt B DE ' 中，224)8(x -+=当90B DE ∠'=︒时，如图，作AH 90B DE ∠'=︒ ，ADB ADB ∴∠=∠6DH AH ∴==，BD BH DH ∴=-【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，5(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接．．写出AD 的长．【答案】(1)BDF V 是等边三角形；见解析(2)40A ∠=︒；(3)AD 的长是3或6【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD 的长度．【详解】（1）解：BDF V 是等边三角形，理由如下：∵60B DE BC ∠=︒，∥，∴60ADE B ∠=∠=︒，由折叠可得60FDE ADE ∠=∠=︒，∴60BDF ∠=︒，∴60DFB B BDF ∠=∠=∠=︒，∴BDF V 是等边三角形；（2）解：由折叠可得A DFE ∠=∠，∵60FDE ADE ∠=∠=︒，∴120ADC ∠=︒，∵CF EF =，∴FEC FCE ∠=∠，设FEC FCE x ∠=∠=，则2A DFE FEC FCE x ∠=∠=∠+∠=，在ADC △中，180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，即2120180x x ++︒=︒，解得20x =︒，∴240A x ∠==︒；（3）解：AD 的长是3或6，理由如下：当90BFD ∠=︒时，点F 在ABC 内（如图所示）∵60BDF ∠=︒，∴30DBF ∠=︒，∴2BD DF=由折叠得DF AD =，∴2BD AD =，∴39AD =，∴3AD =；当90DBF ∠=︒时，点F 在ABC 外，同理可得2AD DF BD ==，∴6AD =．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线1l 经过点()5,6，交x 轴于点()30A -,，直线2:3l y x=交直线1l 于点B ．(1)求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)在x 轴上是否存在点C ，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．39=+；()1,3(2)9(3)()1,0 y x②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中C 的位置：设【答案】（1）见解析；（2）①721y x =--；②()4,2Q 或2022,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得D E ∠=∠，ACD EBC ∠=∠，然后根据（2）①：过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，由（1三角形的性质求出C 的坐标，再利用待定系数法求2l 的解析式即可；②可得：(AAS)AMQ QNP ≌，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．∵45BAC ∠=︒，∴ABC ∵14:43l y x =+，令y =令0x =，则4y =，∴∴437OD =+=．∴C 将点(3,0)A -，(4,7C -当90AQP ∠=︒时，由（1）同理可证：∴QN AM =，即86(2m m -=--【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练A．2【答案】D【分析】由条件可求得t<<两种情况，根据当610三角形的性质求解即可得．△【详解】解：在Rt ABC【答案】90︒或34︒【分析】分当90A ∠=︒时，当【详解】解：当90A ∠=︒时，满足【答案】2483-或【分析】由等边三角形的性质可得角三角形的性质可求【答案】125或247或325①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12②当46t <≤时，312BP t =-，①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =②当46t <≤时，312BP t =-，在【答案】3-【分析】分两种情况：即可求得EF；当EF．【答案】103或53【分析】分BMN ∠=【详解】解：由题意得，当90BMN ∠=︒时，【答案】30︒或45︒【分析】分两种情况：当点E在∆外时，由折叠可得：AE在ACB【详解】解：分两种情况：如图，由折叠可得：AE AC =，C ∠= AD 平分CAE ∠，45CAD ∴∠=︒，故答案为30︒或45︒．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角【答案】4，6或73【分析】由题意分AD =BD 【详解】解：如图，当AD ∵Rt △ABC 中，∠C =90°∵AB =BD ，∴CD BD BC =-如图，当AB =AD 时，∵AB =BD ，∠C =90°，∴综上可得CD 的长为4，【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键12．（2023春·江苏·八年级期末）在为线段AB 上的动点，当【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠时，通过三角形内角和求出∠【详解】∵80C ∠=︒，∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBE如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画一共可作出6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．5类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC 边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．24＝5，PB′2，是矩形，2，1，17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，60ABC ∠=︒，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，ABP △形状在发生变化，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当ABP △是直角三角形时，t 的值为______；（2）当ABP △是钝角三角形时，t 满足的条件是__________．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）(1)点M，N运动几秒后，AMN如存在，请求出此时∆？到直角三角形AM N【答案】(1)12秒(2)存在，，AMN ANM ∴∠=∠，∴∠AB BC AC == ，ΔACB ∴AMC ANB Ð=ÐQ ，C ∠=CM BN ∴=，1236t ∴-=2BN t = ，AM t =，AN ∴如图，若90ANM ∠=︒，由2AN AM =，则2(12当点N 在AC 上运动时，点当点N 在BC 上运动时，如图，当点由ABC ∆时等边三角形知如图，当点M 位于BC 中点处时，由ABC ∆时等边三角形知AM 综上，当3t =或245或15或【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．(1)在图2的ABC 中，20C ∠=︒，110ABC ∠=︒．请在图2中画出ABCDBC ∠的度数；(2)已知20C ∠=︒，在图3中画出两种不同于图1、图2的ABC ，所画ABC 同时满足：①∠C 为最小角；②存在关于点B 的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画ABC 中各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质．23．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB=OC ，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若△ABD 的面积为27．（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为y （y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若∴EF=-m+4，∴-m+4=3 2③当∠PFE=90°时，如图∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°∴∠PFR=180°-∠FPE-∠∵点R与点E的纵坐标相同，∴∴PR=FR=-m+4=-107+4=18。

相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34x h ∴=（2）1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤）②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 MNA当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大 86>Q ∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）Q 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=Q °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC Q △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即（图3）（图1）（图2）241644333S t t =-++．····························· 当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-, ∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a【答案】解：（1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC△∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，，(1)3t a QM a-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+，3t Q ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， N（4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66at a=+代入，解之得23a =±，所以23a =．所以，存在a ，当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等． 5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．A BDEFC OMNxy精选文档图7-2A D O BC 2 1MN 图7-1ADB M N12图7-3AD O BC21MN O .7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ．又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°． ∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ．延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AO BOAC BE =．又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。

特殊三角形中的分类讨论模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读(全国通用)(解析版)

三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：()2350m n −+−=，30m −≥，()250n −≥，30m ∴−=，50n −=，解得：3m =，5n =，当3m =作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：33511++=，当5n =作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：35513++=，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，分类求解．例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm ，且一边长是4cm ，则它的腰长为（）A ．4cmB ．7cmC ．4cm 或7cmD ．全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．【详解】解：当4cm 为腰长时，则底边长为182410−⨯=cm ，∵4410+<，不符合题意；∴4cm 为底边长，∴等腰三角形的腰长为：()11847cm 2⨯−=；故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80︒，则它顶角的度数是（）A ．80︒B ．80︒或20︒C ．80︒或30︒D ．20︒【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180︒，进行分类讨论即可【详解】解：①当底角为80︒时，顶角18080220=︒−︒⨯=︒，②当顶角为80︒时，顶角度数80=︒，综上：顶角度数为80︒或20︒；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180︒，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100︒，则它的底角为（）A ．55︒B ．80︒C ．55︒或80︒D ．以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一个外角等于100︒，则等腰三角形的一个内角为80︒，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵等腰三角形的一个外角等于100︒，∴等腰三角形的一个内角为80︒，①当80︒为顶角时，其他两角都为50︒、50︒，②当80︒为底角时，其他两角为80︒、20︒，所以等腰三角形的底角可以是50︒，也可以是80︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70︒，则等腰三角形的顶角度数为．【答案】20︒或160︒【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，∴180907020A =︒−︒−︒=︒，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时9070160BAC D ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，综上，等腰三角形的顶角的度数为20︒或160︒．故答案为：20︒或160︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行5⨯列的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有5个点，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例6．（2023·北京·八年级期中）Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为____．【答案】4或【分析】根据题意分类讨论，①90CAD ∠=︒，②90ACD ∠=︒，③90ADC ∠=︒，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当90CAD ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △是等腰直角三角形，2AC AD AB ∴===,180BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，224BD AB AD ∴=+=+=；②如图，当90ACD ∠=︒时，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △，ABC 是等腰直角三角形，2CD AC AB ∴===，18045DCE ACD ACB ∠=︒−∠−∠=︒，又DE BC ⊥，∴DEC 是等腰直角三角形，DE CE ∴=，在Rt DEC △中，22222DC CE DE DE =+=，∴2DE DC ==在Rt ABC 中，BC 在Rt BDE 中，BD =③如图，当90ADC ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，ACD △，ABC 是等腰直角三角形， 2CD AD AC ∴===在Rt ABC 中，BC ==Rt BDC 中，BD =综上所述，BD 的长为：4或4或．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．如图1，Rt △ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2的△ABC 中，∠ABC ＝110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD ，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．且ABP 为等腰三角形，则点【答案】(2,0)或(2,0)−或(64+或(6−【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP ；②AB=AP ；③AP=BP 三种情况求解即可．【详解】∵ABP 为等腰三角形，①当AB BP =时，如图①，∵AB ==∴BP =∵(6,0)B ，∴(6P +或(6P −；②当AB AP =时，如图② 作AC BP ⊥于C 点，则(2,0)C ，∵AB AP =，∴BC CP =，∵624BC =−=，∴4CP =，∴(2,0)P −．③当AP BP =时，如图③，作AP BP ⊥，∴4AP BP ==，∴(2,0)P ．综上所述：点P 的坐标为(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−，故答案为：(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．八年级校考期中）如图，ABC 中，A 【答案】(1)16(2)6或2(3)4或2或95或3【分析】（1）设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，利用勾股定理求出3cm AC =，在Rt ACP 中，依据222AC PC AP +=，列方程求解即可得到t 的值．（2）如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，依据222AD PD AP +=，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==．（3）分四种情况：当P 在AB 上且AP CP =时，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，当P 在AB 上且AC PC =时，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】（1）解：如图，设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，90ACB ∠=︒，5cm AB =，4cm BC =，3cm AC ∴，在Rt ACP 中，由勾股定理得222AC PC AP +=，()22234x x ∴+−=，解得258x =，258BP ∴=，2556582216AB BP t ++∴===；（2）解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，BP 平分ABC ∠，90C ∠=︒，PD AB ⊥PD PC ∴=，DBP CBP ∠=∠，在BCP 与BDP △中，BDP BCP DBP CBP BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS BDP BCP ∴≌4cm BC BD ∴==，541cm AD ∴=−=，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD PD AP +=，()22213y y ∴+=−，解得43y =，43CP \=，454313226AB BC CP t ++++∴===，当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==．综上所述，点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，t 的值为316或52．（3）解：分四种情况：①如图，当P 在AB 上且AP CP =时，∴A ACP ∠=∠，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴==． ②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==． ③如图，当P 在AB 上且AC PC =时，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅，∴12cm 5AC BC CD AB ⋅==，在Rt ACD △中，由勾股定理得9cm 5AD =，182cm 5AP AD ∴==，925AP t ∴==． ④如图，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，则431cm BP =−=，6322AB BP t +∴===．综上所述，当t 的值为54或32或95或3时，ACP △为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过()26A−，的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C OB OC =，，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若ABD △的面积为27(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A B 、重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =−+−，，(2)()33242y m m =+−<<，(3)存在，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）据直线AB 交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB OC =，设直线AB 解析式为y x n =−+，把A 的坐标代入求得n 的值，从而求得B 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD 的值，求出OD 的值，从而求出D 点的坐标；（2）直接根据待定系数法求出AD 的解析式，先根据B A 、的坐标求出直线AB 的解析式，将P 点的横坐标代入直线AB 的解析式，求出P 的纵坐标，将P 的纵坐标代入直线AD 的解析式就可以求出E 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF !为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P E F 、、为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中m 的值，就可以求出F 点的坐标．【详解】（1）解：OB OC =，∴设直线AB 的解析式为y x n =−+，∵直线AB 经过()26A −，，26n ∴+=，4n ∴=，∴直线AB 的解析式为4y x =−+，()40B ∴，，4OB ∴=，ABD 的面积为()2726A −，，，16272ABD S BD =⨯⨯=，9BD ∴=，5OD ∴=，()50D ∴−，，∴直线AB 的解析式为()450y x D =−+−，，（2）解：设直线AD 的解析式为y ax b =+，()26A −，，()50D −，∴2650a b a b −+=⎧⎨−+=⎩，解得210a b =⎧⎨=⎩．∴直线AD 的解析式为210y x =+；∵点P 在AB 上，且横坐标为m ，()4P m m ∴−+，，PE x ∥轴，∴E 的纵坐标为4m −+，代入210y x =+得，4=210m x −++，解得62m x −−=，6,42m E m −−⎛⎫∴−+ ⎪⎝⎭， PE ∴的长63322m m y m −−=−=+；即332y m =+，()24m −<<；（3）解：在x 轴上存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形，①当90FPE ∠=︒时，如图①，有PF PE =，4PF m =−+，332PE m =+，3432m m ∴−+=+，解得25m =，此时2,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当90PEF ∠=︒时，如图②，有EP EF =，EF 的长等于点E 的纵坐标，4EF m ∴=−+，3432m m ∴−+=+，解得：25m =， ∴点E 的横坐标为61625m x −−==−，∴16,05F ⎛⎫− ⎪⎝⎭；③当90PFE ∠=︒时，如图③，有FP FE =，FPE FEP ∴∠=∠．180FPE EFP FEP ∠+∠+∠=︒，45FPE FEP ∴∠=∠=︒．作FR PE ⊥，点R 为垂足，18045PFR FPE PRF ∴∠=︒−∠−∠=︒，=PFR RPF ∴∠∠，=FR PR ∴．同理=FR ER ，12FR PE ∴=．∵点R 与点E 的纵坐标相同，4FR m ∴=−+，∴134322m m ⎛⎫−+=+ ⎪⎝⎭，解得：107m =， 10184477PR FR m ∴==−+=−+=，∴点F 的横坐标为10188777−=−，8,07F ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭．综上，在x 轴上存在点F 使PEF !为等腰直角三角形，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。