三角形的分类讨论问题

三角形的分类讨论问题

一、等腰三角形中的分类讨论问题

①腰长和底边长不能确定（最后的结果需要验证，要确保三条边能构成三角形）； ②顶角或底角不能确定；

③由高及腰上中垂线，中线等引发的分类讨论；

④几何图形中由于位置不明确而需分类讨论的问题。

二、直角三角形中的分类讨论问题

①斜边和直角边未确定

②直角顶点的位置没有确定

③几何图形中由于位置不明确而需分类讨论的问题。

三、全等三角形中的分类讨论

关于全等三角形的分类讨论，往往两个三角形中的一条或两条甚至三条边的长度是在变化的，根据全等三角形的定义，要分类讨论对应边或对应角。

例题1.已知矩形ABCD ，AB=10，BC=4,E 为AB 的中点，F 为CD 上一点，若△EFB 为等腰三角形，求DF 的长。

例题2.如图①，已知直线4+2=x y 与x 轴、y 轴分别是交于点A ，C ，以OA ，OC 为边在第一象限内作长方形OABC.

（1）求点A ，C 的坐标

（2）将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②）

（3）在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外）使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

习题练习

1.等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，这个等腰三角形的周长为____________________。

2.已知等腰三角形的一个外角等于1500

，这个等腰三角形的顶角为_________________。

3.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数____________。

4.在△ABC 中，AB=AC ，AB 边上的与AC 所在中垂线的直线相交所得的锐角为400，∠B=_______。

5.等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，腰长为___________。

E F C D B A

6.直角三角形的两边长为3和4，第三条边长为___________。

7.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_________________。

8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为__________.

9.在平面直角坐标系中，直线1l 的解析式为3+3=

x y ，与x 轴、y 轴交于点A 和点B ，若有一在y 轴上动点P ，使△ABP 为等腰三角形，求点P 的坐标。

10.有一块直角三角形的花坛，量得两条直角边长分别为6m ，8m ，现在要将花坛扩建成等腰三角形且扩充部分是以花坛8m 长为直角边为一边的直角三角形，求扩建后等腰三角形的周长。

10.．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

A Q C D

B P