3任意三角形外接圆半径 内切圆半径的求法及通用公式

R 2R
R2 a2 4
R
α β
a
即有： a2 b2 c2 b a
2ab
2R 2R
R2 b2 4
R
R2 a2 4
R
即有： a 2 b 2 c 2 ab (4R 2 b 2 )(4R 2 a 2 )
ab
2R2
所以： ab 2R 2 ( a 2 b 2 c 2 ) (4R 2 b2 )(4R 2 a 2 ) ab
2ab
1 a2 b2 c2
2ab
4(ab)2 (a 2 b 2 c 2 )2 (a b c)(a b c)
即有: r a b c 4(ab)2 (a 2 b2 c 2 )2 4(ab)2 (a 2 b2 c 2 )2
2
(a b c)(a b c)
2(a b c)
即： r
(a b c)(a b c)(a c b)(b c a) 4S 2S
2(a b c)
2(a b c) a b c
y
y
c
R
b
所以，会有
z
x z a
x y
y z源自文库
b c
，解得
x
a
b 2
c
z
显然： r
x tan
，而 tan
sin 2 1 cos 2
1 (cos 2 )2 1 cos 2
而由余弦定理有： cos 2 a 2 b2 c 2 2ab
x
r
α
α
a
x
所以： tan
1 (a2 b2 c2 )2
sin A
2bc
所以：
R a
a
a
2 sin A 2 1 (cos A)2 2 1 (b2 c 2 a 2 )2
2bc
abc 4b 2c 2 (b 2 c 2 a 2 )2
二、任意三角形内切圆的半径
设三角形各边边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r，（如右图所示） 因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，
即有：(ab)2 4R 2 (a 2 b 2 c 2 ) 4R 4 ( a 2 b 2 c 2 )2 16R 4 4(a 2 b 2 )R 2 a 2b 2 ab
所以： c 2 R 2[4 ( a 2 b 2 c 2 )2 ] ，即： a 2b 2c 2 R 2[4a 2b 2 (a 2 b 2 c 2 )2 ] ab
所以： R
abc
(a b c)(a b c)(a c b)(b c a)
而三角形面积： 4S (a b c)(a b c)(a c b)(b c a) （海伦公式）
所以，有： R abc 4S
※ 另一求法，可用正弦定理，即： a 2R ，而 cos A b2 c 2 a 2
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为 a,b,c
外接圆半径为 R，（如右图所示）
则 cos( ) a 2 b2 c 2 cos cos sin sin
2ab
c
（余弦定理）
R
b
b 而 cos 2 b ， sin
R 2R
R2 b2 4
R
a cos 2 a ， sin