七、线性变换习题课

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七、线性变换习题课七、线性变换习题课1．复习线性变换的概念例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==⼜故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，⽽，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利⽤运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利⽤线性变换与n阶⽅阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：，（k>0）证明: 由已知,对k=1结论成⽴,故考虑⽤数学归纳法.对k⽤归纳法.当k=1时结论成⽴. K=2时,由已知=AB=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A 结论成⽴.设当k时结论成⽴,即,也即.当k+1时,=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k所以结论对k+1也成⽴,从⽽对⼀切k1成⽴.例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从⽽存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.有了变换乘积,进⼀步可考虑可逆变换.3. 系统⼩结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明⼀些基本论证⽅法.A可逆10存在使=E.A是双射.A在基下的矩阵A可逆—有限维例4 设是线性空间V的⼀组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性⽆关.证明:证法⼀:“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性⽆关.“”线性⽆关,因dimV=n,故使得=A()令使=()易见,且,即⼜任给设=有()==故,从A可逆.证法⼆:利⽤双射“” A是双射,则0==A()得0=(0对应0)故,线性⽆关.“”由dimV=n,V的任⼀向量可由唯⼀表⽰,即V中任⼀向量有唯⼀(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利⽤矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆()A也是⼀组基=n线性⽆关例5设,W1,W2是V的⼦空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W1的⼀组基为, W2的⼀组基为,则为V的⼀组基.“” A可逆,故线性⽆关,1,2的秩为r,n-r,和分别为1和2的基,故.“”,有dimV=dim,=(),故为AV的⼀组基,即线性⽆关,A可逆.4.⼩结:线性变换矩阵的求法,进⼀步掌握矩阵的概念.为V的⼀组基,() =()A, ()=()X为另⼀组基,有()=()例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明: ⾸先由,是线性变换,是线性变换,故是线性变换.其次,只要求出,⽤表⽰,就可得A.=(1)=1-1=0,=-==所以, (,)=(,), 所求矩阵为.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). === =()=()所求矩阵为。

第七章线性变换7.8

A A A k er 的基为：r1,r2, ,n ,
r1 n
令k11 krr knn
(1)
A A (k11 krr knn ) ( )
A A A A k1 1 kr r kr 1 r1 kn n
k11 krr
1,2 , ,r线性无关，k1 k 2 kr 0
n
于是，1， ,r ,r1, ,n 是V的基
1
A
在
基1，
，n下
的
矩
阵
为:
1 0
0
例：已知A是n n矩阵，A2 A，求证：A可对角化
法二 : 利用判定矩阵可对角化的条件
由A2 A得 A的特征值只可能是1或0
1).若 1是特征值，而 0不是则A可逆，
A-1A2 A-1A，
求 A V 的基的方法：
1). 取V的一组基1、 2、、n
A 2).写出在基1、 2、、n下的矩阵A
3). 求A的列向量组的极大无关组 1 ,2 , ,r(A) 4). 以1, 2 , , r(A) , 为坐标的向量
就是 A V 的一组基 dimA V r(A)
(二).核(kernel)
kerA 的基对应着AX O的基础解系：
1 ,2 , , n-r(A)
4.求kerA 的基及维数的方法:
1).取定V的一组基
A 2).写出在该基下的矩阵A
3).求出AX O的基础解系：1 ,2 , , n-r(A)
A 4).以1 ,2 , , n-r(A) 为坐标的向量就是k er 的基 5).dimkerA nrs 下为的：矩A 阵为AO1(1)AO2
A 易见, W1 L(11 , ,1r1 ); ;Ws L( s1 , , srs ) 都是

高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3

1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

线性变换

第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授.一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七P330 1，2，3.§7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换.二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换.定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.三. 乘法运算(1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.(2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容).作业：P 330 习题七 4，5.§7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。

高教线性代数第七章线性变换课后习题答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

高等代数习题线性变换

所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ，所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ）得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0

0230第七章线性变换(习题二)解读

第七章习题课（一）一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法；2、线性变换A 的秩(A)r 、A 的零度(A)nul 的概念；3、线性变换A 的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；4、等式 1A A (0)V V -=⊕ 是否成立？5、若A 是线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，则 A ?V =。

若A 在基12,,,n εεε的矩阵是A ，则A 的秩为？6、不变子空间（ A -子空间）的概念；7、线性变换A 的值域与核的概念。

二、新课讲解1、设A 是n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个非零向量。

证明：如果21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，那么1）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是A -子空间；2）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。

证明：1）因为21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，所以A kα可以由21,A ,A ,,A k αααα-线性表示。

因此21,A ,A ,,A k αααα-在A 下的象都在1V 中，故1V 是A -子空间。

2）如果A -子空间W 包含α，则W 包含α的象A α，A α的象2A α，…，2A k α-的象1A k α-，所以211(,A ,A ,,A )k W V L αααα-⊇=，即211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。

2、323 14P 设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 这组基下的矩阵为1021121312552212A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭2）求A 的值域与核；解：设A 在基1234,,,εεεε的矩阵为A ，先求1A (0)-。

高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。

nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。

5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。

7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。

第七章线性变换

第七章线性变换§7.1 线性映射=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的1．令（1）(ξ) =ξ+ α，α是R3的一个固定向量．（2）(ξ) = (2x1–x2 + x3，x2 + x3，–x3)（3）(ξ) =（x12，x22，x32）．（4）σ() =（cos x1，sin x2，0）．2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性V，都有() = a，这里a是F中一个映射的充要条件是：对于任意3．令M n (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A M n (F).对任意(F)，定义(X) = A X–X A．X Mn(i)证明：是M n (F)是自身的线性映射。

(ii)证明：对于任意X，Y M n (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) ．4．令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．5．设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。

6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．§7.2 线性变换的运算1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．2．在F[x]中，定义：f (x) f’(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有n–n = n n-13．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？L(V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，4．设但k() = 0．证明：，()，…，k-1() 线性无关．Ker()当且仅当2 = ；(1) Im()(2)(3)(i) 证明：是F n的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数．§7.3 线性变换和矩阵1．令Fn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，…，x n，(2) 1，x –c ，，…，，c F ．2．设F 上三维向量空间的线性变换关于基 {1，2，3}的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2= 31+42+3，3=1+22+23，的矩阵．设= 2 1 +2–3．求( )关于基1，2，3的坐标．3．设{1，2，…，n}是n 维向量空间V 的一个基．j= ，= ， j = 1，2，…，n ，并且1，2，…，n线性无关．又设是V 的一个线性变换，使得 (j) =，j = 1，2，…，n ，求关于基，，…，的矩阵．4．设A ，B 是n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似．5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．7．令M n (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A M n (F) ．对任意X M n (F)，定义(X) = A X–X A．由7.1习题3知是M n (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij|1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切a i–a j(1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。

线性代数习题集第七章

线性代数习题集第七章第七章欧⼏⾥得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个⾮零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（）⑴线性相关⑵线性⽆关⑶互相可以线性表⽰⑷两两夹⾓为零2. 给定两个向量1123a α?? ? ?= ?- ?-??，23241α-?? ? ?= ? ???，且内积12,1αα=-，则a 为（）⑴23- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意⼀组标准正交基的矩阵是（）⑴可逆变换⑵对称变换⑶正交变换⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（）⑴初等矩阵⑵正定矩阵⑶正交矩阵⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（）⑴正交矩阵⑵正定矩阵⑶对称矩阵⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（）⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换是正交变换⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意⼀组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）⑴正定矩阵⑵对称矩阵⑶正交矩阵⑷转置矩阵 8. 实上三⾓矩阵为正交矩阵时，必为对⾓矩阵，其对⾓线上的元素为（）⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（）⑴σ为对称变换⑵σ保持向量的长度不变⑶σ保持向量间的夹⾓不变⑷保持向量间的正交关系不变 10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的⾏向量组是（）⑴正交组⑵标准正交组⑶线性⽆关组⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（）⑴正实数⑵负实数⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵1121121121121-?? ?- ? ?-??是（）⑴正交矩阵⑵⾮正交矩阵⑶正定矩阵⑷实反对称矩阵13. 设1111A ??=，P 为⼆阶正交阵，且'0002P AP ??=，则P =（）⑴12121212??-⑵? -?⑶?-⑷12121212-??14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（）⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______. 2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成⽴的充要条件是_________. 3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλ?∈∈∈如果(),σ?λ?=且?________，则称λ为________，?为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任⼀向量都不能被其余向量线性表⽰，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为⾮奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因⽽它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的⼀个n 阶⽅阵T 满⾜' ',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的⼀个线性变换，若σ对⼀组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的⼀个n 阶⽅阵，如果________，则称A 是⼀个对称矩阵，如果________，则称A 是⼀个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的⾏列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的⼀个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是⼀个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对⾓形矩阵. 16. 设V 是⼀个n 维欧式空间，令()0n 表⽰V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________. 17. 设σ是欧式空间V 内的⼀个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασββ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的⼀个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为⼀个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的⼀个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0αβ≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体⼆维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某⼀组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意⼀组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换⼀定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11，在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹⾓.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4 R 的⼀组基.5. 求线性⽅程组123452111311101032112x x x x x ?? ?--?? ? ?= --的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -?? ?=-- ? ?-??，求正交矩阵T ，使'T AT 成对⾓形.7. 求下列矩阵123213336A ??= ? ???的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. ⽤正交变换化⼆次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. ⽤正交变换化⼆次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -??-= - -，求正交矩阵U ，使'U AU 成对⾓形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的⼀组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=?，求[]4R x 的⼀组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求⼀个正交变换，把⼆次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知⼆次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所⽤的正交变换矩阵. *15. 设n 阶⽅阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且⽅阵B 与A 相似. 求B E +，这⾥E 为n 阶单位矩阵.*16. 设⼆次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X U Y =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵. 试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -??--= -. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵；⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ??=. 求2R 的⼀个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ??=. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的⼀个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀个标准正交基. *20. 设M 是欧式空间3R 的⼆维⼦空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的⼀个标准正交基，⼦空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的⼦空间M 是齐次线性⽅程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=??+-=??++-=?的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性⽅程组.*23. 已知'100030007Q AQ ?? ?= ? ，其中0Q ??- =- ??，302032225A ?? ?=- ? ?-??.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1?=是属于特征值6的⼀个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成⽴：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个⾮零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性⽆关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,m ααα是欧式空间V内的⼀个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mαααααααααααααα??= ? ? ?. 证明：当且仅当0?≠时，12,,,m ααα线性⽆关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,??彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是⾮奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为⾮奇异⽅阵. 证明：1A -也是反对称⽅阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的⼀个⾮零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的⼦空间.22. 证明：第⼆类正交变换⼀定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵.24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--. 25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的⼀个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的⼀个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成⽴：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在nR ⼀个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的⾏向量构成欧式空间nR 的⼀个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的⼀个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n x αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性⽅程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次⽅程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的⾏列式⼤于1.。

线性空间与线性变换习题

则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
a b = a+b, °a = a, (R, a, bR+)
问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的) 线性空间.
解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.
例如,
(8) (k+l)°a = ak+l = ak al ak+al = ak al = k°a l °a .

(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

第七章线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ，因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定，从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ，从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)，同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质：设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

7.3线性变换的应用

w = L( z )
O
x
解：首先，这种变换一方面把 Imz > 0 首先，内某一点 a 映射成 w=0，一方面把，一方面把Imz = 0 映射成 |w|=1。由于线性变换把关于实轴Imz=0的对称由于线性变换把关于实轴的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函的对称点，点映射成为关于圆的对称点数不仅把z=a映射成映射成w=0，而且把 a 映射数不仅把映射成，而且把z= 因此这种变换的形状是：成 w = ∞ 。因此这种变换的形状是：
1 不难看出，关于圆关于圆|z|=1的对称点是不难看出，与a关于圆的对称点是 1 a 这种函数还应当把 z = 映射成 w = ∞
因此这种函数的形状是：因此这种函数的形状是：
a
，
z−a z−a w=k , = k1 z −1/ a 1 − az
其中k、是一个复常数. 其中、k1 是一个复常数
1.当z为实数时，w也是实数. dw = ad−bc > 0. 2.当z为实数时， dz (cz+d) 1 (w − w) = 1 ( az+b − az+b) = ad−bc ⋅ Imz Imw = 2i 2i cz+d cz+d |cz+d| Imz > 0 ⇔ Imw > 0, Imz < 0 ⇔ Imw < 0
分式线性变换的保对称点性图解
γ
z1
δ
z2
Γ= L(γ )
∆= L(δ )
w2 = Lz2) (
w1 = L(z1)
→
w = L( z )
分式线性变换的保对称点性图解
γ
z1
δ
∆= L(δ )

线性变换习题答案

第七章线性变换3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：-=A B BA =E ．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取()[]f x P x ∈，则有()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，于是-=A B BA =E ．4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明：1,1k kk k k --=>A B BAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，因此结论成立．假设当k s =时结论成立，即1sss s --=A B BAA．那么，当1k s =+时，有11()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+AB BAA AB BA A B BA A A A A ，即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立．『特别提醒』由0=AE 可知，结论对1k =也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1-A 作用左右两边，得到11()()--===ααββAA AA ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．6．设12,,,n L εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当12,,,n L εεεA A A 线性无关．证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0L A A A εεε，即1122()n n k k k +++=0L A εεε．而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0L εεε，又由于12,,,n L εεε是线性无关的，因此120n k k k ====L ．从而12,,,n L εεεA A A 线性无关．反之，若12,,,n L εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =L ．显然()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =L ．再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．证法2 设A 在基12,,,n L εεε下的矩阵为A ，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==L L L A A A A εεεεεεεεεA ．由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n L εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n L εεε到12,,,n L εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠；3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解 1）由于3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．故A 在基321,,εεε下的矩阵为3332311232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 2）由于11112123131112123131a a a a a k a k =++=++A εεεεεεε，2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，31312323331312323331a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε．故A 在基123,,k εεε下的矩阵为111213221222331323311a ka a a a a k k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为100110001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A 是线性空间V 上的线性变换，如果1k -≠0A ξ，但k =0A ξ，求证：1,,,k -L A Aξξξ（0k >）线性无关．证明由于k=0A ξ，故对于任意的非负整数i ，都有()k ii k +==0AA A ξξ．当0k >时，设112k n x x x -+++=0L A Aξξξ，用1k -A作用于上式，得11k x -=0Aξ，但1k -≠0Aξ，因此10x =．于是12k n x x -++=0L A Aξξ，再用2k -A作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ====L ．从而1,,,k -L A Aξξξ线性无关．16．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλO21 相似，其中n i i i ,,,21Λ是1,2,,n L 的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,,n L εεε是V 的一组基．另外，记12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A ，12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB ．于是，在基12,,,n L εεε下，矩阵A 对应V 的一个线性变换A，即12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n nn λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L L L O εεεεεεεεεA A ．从而i i i λ=εεA ，1,2,,i n =L ．又因为12,,,n i i i K εεε也是V 的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i ii i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K OεεεεεεεεεB A ．故A 与B 相似．证法２设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A 与 12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB ．对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ，而1(,)(,)i j i j -P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλL 变成12,,,n i i i λλλL ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s L Q Q Q ，使得1112112s s ---=L L Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =L Q Q Q Q ，则有1-=Q AQ B ，即A 与B 相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似．证明由于A 可逆，故A1-存在．于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量．已知A 在一组基下的矩阵为：1）3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； 4）563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；5）001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．解 1）设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于A 的特征多项式为234|514(7)(2)52λλλλλλλ---==--=-+--E A ，故A 的特征值为17λ=，22λ=-．当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为1212440,550.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11．从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为112k k =+ξεε，其中k 为任意非零常数．当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为1212540,540.x x x x --=⎧⎨--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54，从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为 21245l l =-ξεε，其中l 为任意非零常数．4）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为56311(2)(11121λλλλλλλ---=-=---+--+E A ，故A 的特征值为12λ=，21λ=，31λ=当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为1231231233630,20,230.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值2的全部特征向量为111122k k =-+ξεε其中1k 为任意非零常数．当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪++-=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213，故A的属于特征值122122233(2k k k =-+ξεεε其中2k 为任意非零常数．当31λ=3()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213，故A的属于特征值133132333(2k k k =-+ξεεε其中3k 为任意非零常数．5）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为20110(1)(1)1λλλλλλ--=-=-+-E A ，故A 的特征值为11λ=（二重），21λ=-．当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为13130,0.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 求得其基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε其中12,k k 为任意不全为零的常数．当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为132130,20,0.x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1-的全部特征向量为213l l +ξ=-εε，其中l 为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：12+εε不是A 的特征向量；2）证明：如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数乘变换．证明 1）反证法．假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量，即121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε．而由题设可知111222,λλ==A A εεεε，且12λλ≠，故12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε．比较两个等式，得到1122()()λλλλ-+-=0εε．再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是A 的特征向量．2）设12,,,n L εεε是V 的一组基，则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλL ，即i i i λ=A εε，1,2,,i n =L ．根据1）即知12n λλλλ====L ．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是A 的特征向量，这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有λ=A αα，即A 是数乘变换．25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,A B 是V 上的线性变换，且=A B BA ．证明： 1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间； 2）,A B 至少有一个公共的特征向量．证明 1）设0V λ∈α，则0λ=A αα，于是，由题设知00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα，因此0V λ∈B α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是B 的不变子空间．2）由1）可知0V λ是B 的不变子空间，若记00|V λ=B B ，则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得00μ==B B βββ，即β是B 的特征向量，从而β是A 和B 的公共特征向量．因此，,A B 存在公共的特征向量．。

第七章线性空间与线性变换

第七章线性空间与线性变换第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。

本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1线性空间的定义与性质首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。

在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素与，在V中有唯一的元素与它们对应，称为与的和；且该加法运算满足：(1)(交换律)(2)(结合律)()()(3)(零元素)存在元素0，对V中任一元素，都有0(1.1)(4)(负元素)对V中每一个元素，存在的负元素，使0在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运算，即对于V中任一元素与P中任一数k，在V中有唯一的元素k与它们对应，称为k与的数乘；该数乘运算满足：(5)(向量加法分配律)k()kk(6)(数量加法分配律)(kl)kl(7)(结合律)k(l)(kl)(1.2)(8)(单位元)1某某以上规律中,,是V中的任意元素，k,l是P中的任意数。

则称V为数域P上的线性空间；满足上述规律的加法和数乘运算统称为线性运算。

线性空间V的元素也可以称为向量，此时它的含义要比第三章中的向量含义更广泛。

下面列举一些线性空间的例子。

例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实数的数乘构成实线性空间，称为n维向量空间，记为R。

例2设Rmnn为所有mn阶实矩阵构成的集合，对于矩阵的加法运算及任意实数与矩阵的数乘运算，构成实数域上的线性空间，称为矩阵空间。

124例3设R[某]n表示实数域R上次数小于n的某多项式集合，在通常意义的多项式加法和实数与多项式乘法的运算下，构成一个实数域R上的线性空间。

例4设Amn为实矩阵，记N(A)某A某0,某Rn(1.3)则N(A)构成实数域R上的线性空间，称为齐次线性方程组A某0的解空间，也称为矩阵A的核或零空间。

经济数学线性代数第二版课后练习题含答案

经济数学线性代数第二版课后练习题含答案1. 课后练习题简介本文为《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案的汇总。

该练习题共包含28个章节，每章包含6-10个小节，共计371道习题。

这些习题均与经济学和管理学相关，旨在帮助读者更好地掌握线性代数的相关知识并初步了解其在经济和管理领域的应用。

2. 练习题目录以下是本文所包含的练习题目录：•第一章矩阵和线性方程组–1.1 线性方程组及其解法–1.2 向量–1.3 矩阵–1.4 矩阵运算与初等矩阵–1.5 矩阵的秩–1.6 线性方程组的求解•第二章行列式–2.1 行列式的定义及其性质–2.2 并排法与简化的行列式求值法–2.3 行列式按行（列）展开的定义–2.4 行列式的初等变换及其意义–2.5 行列式的应用•第三章向量空间–3.1 向量空间的定义及其基本性质–3.2 向量空间的子空间–3.3 向量的线性相关性和张成–3.4 线性变换及其矩阵–3.5 线性空间的同构•第四章特征值和特征向量–4.1 特征值和特征向量的定义–4.2 特征值和特征向量的计算–4.3 特征值和特征向量的性质与应用•第五章矩阵的分解–5.1 矩阵的LU分解–5.2 矩阵分解及其应用•第六章二次型–6.1 二次型的基本定义和性质–6.2 定性讨论–6.3 将二次型化为标准型–6.4 规范形和正定性–6.5 二次型的矩阵表示及其变换•第七章一些应用–7.1 直线拟合–7.2 最小二乘法及其应用–7.3 矩阵的特征值和特征向量在统计中的应用–7.4 矩阵分析的应用3. 练习题答案练习题的答案分别附在每道习题的后面，供读者参考和自测。

答案做得详细、完整，方便读者直观地了解每道题的解法和思路。

所有的答案均由资深教师和相关专业人员校对和审核，保证了答案的正确性和可靠性。

4. 总结本文为经济数学和线性代数的学习提供了一份有用的工具，简明清晰地给出了《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案。

最新第七章线性变换练习题参考答案整理

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换在这组基下的矩阵是33112233(),,ij Aa xxxV 则在基321,,下的矩阵B ＝1,T AT 而可逆矩阵T ＝0010101满足1,B TAT 在基123,,下的坐标为123x A x x . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间nP 的线性变换:(),n A P ,则1(0)＝|0,nAP，1dim(0)＝n r ，dim()nP ＝r .3．复矩阵()ij n n Aa 的全体特征值的和等于1nii i a ，而全体特征值的积等于||A .4．设是n 维线性空间V 的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P 同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()nf f f .7．设2231A，则向量11是A 的属于特征值 4的特征向量．8．若1001011A与1010101k Bk相似，则k = -1/2 ．9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23f ，则||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A 2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A ),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为10203321.二、判断题1．设是线性空间V 的一个线性变换，12,,,sV 线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （错）2．设为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n ，有1()(0).VV （错）未必有1()(0).VV 3．在线性空间2R 中定义变换：(,)(1,)x y x y ，则是2R 的一个线性变换.（错）零向量的像是（1,0）4．若为n 维线性空间V 的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝.（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W 是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W 为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A ．（正确）7．已知1PBP A，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（正确）1P APB ，P 的列向量为A 的特征向量.8．为V 上线性变换，n,,,21为V 的基，则)(,),(),(21n线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则})(|{)(1是V 的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T A T 成对角形.133313331A解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331EA.矩阵A 的特征值为12,37,2.当17时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'.当2,32时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'.矩阵A有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵11111011T有1722T AT2．在线性空间n P 中定义变换：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x （1）证明：是nP 的线性变换.（2）求()nP 与1(0).（1）证明：112222(,,,)(0,,,)nn n n x y x y x y x y x y 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x .所以是n P 的线性变换.（2）2()(0,,,)|,2,,.n n iP x x x P i n .111(0)(,0,,0)|.x x P 3．设aA33242111与bB00020002相似．（1）求b a,的值；（2）求可逆矩阵，使B APP 1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a ba 所以5,6ab.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335EA 特征值为1,232,6.当1,22时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'.当16时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'.因此可取矩阵011102113P，有B AP P 1.4．令nn P 表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ，对任意的nn PX，定义()''X A XAB XB .证明是nn P上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X YP k P ，有()'()'()''''()(),XY A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YBX Y ()'()'()('')()kX A kX A B kX Bk A XAB XB k X .因此是n n P 上的一个线性变换.。

七、线性变换习题课