宁夏银川市2021届高三数学第三次月考试题理.doc
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3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图
是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称
统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 ( 为坐标原点)的周
长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个；
②函数 可以是某个圆的“优美函数”；
A． B．
C． D．
6．设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线方程为
A． B． C． D．
7．设向量 ， ，则下列结论中正确的是
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 方向上的投影为
8．已知正项数列 满足： ， ，则使 成立的 的最大值为
A．3B．4C．24D．25
9．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
宁夏银川市2021届高三数学第三次月考试题 理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
18．（本题满分12分）
在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角 为钝角， ．
（1）求 的值；（2）求边 的长．
19．（本题满分12分）
已知数列 满足
（1）证明数列 为等比数列，求出 的通项公式；
（2）数列 的前项和为Tn，求证：对任意 .
③正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形．
其中正确的是
A．①④B．①③④C．②③D．①③
4．已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
12．若函数 ，则满足 恒成立的实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是_________.
14．在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 交
于 .若 ，则 ________.
15．已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ， ，则数列 的公比为.
∴ ，其中 ， ，其周期为 ．
已知 ， 时， 单调递增，
解得 ．
∴ 的单调递增区间为 ， ， ．
（2）∵ ，且 为锐角，
∴ ，∴ ，∴ ．
又∵ ， 为锐角，∴ ．
∴ ，
其中 ，∴ ．
21.解：（1）依题意，知 的定义域为 ，
当 时， ，
，令 ，解得 .
当 时， ，此时 单调递增；
答案
D
C
D
A
B
A
C
C
C
C
D
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15.316．
三、解答题：
17．（1）依题意，函数 的图象过点 和 .
所以 ，故 .
（2）不等式 可化为 .
即 对一切的 恒成立.
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 .
18．（1）因为角 为钝角， ，所以 ，……2分
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
10．已知函数 的部分图象如图所示，
wk.baidu.com，则下列判断正确的是
A．函数 的最小正周期为4
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象
11．已知函数 在定义域上的值不全为零，若函数 的图象关于 对称，函数 的图象关于直线 对称，则下列式子中错误的是
又 ，所以 ，
且 ， ………………………4分
所以 …………6分
． ………………………8分
（2）因为 ，且 ，所以 ，……………………10分
又 ，……………12分
则 ，
所以 ．
19.（1）由 有
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2） ，
，
=
=
20．解：（1）依题意
，
∵ 的最大值为3，∴ ，∴ ，
22．[选修4－4 ：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，射线 与曲线 交于点 ，点 满足 ，设倾斜角为 的直线 经过点 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的参数方程；
（2）直线 与曲线 交于 、 两点，当 为何值时， 最大？求出此最大值．
20．（本题满分12分）
已知函数 ，在R上的最大值为3．
（1）求 的值及函数 的周期与单调递增区间；
（2）若锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，求 的取值范围．
21．（本题满分12分）
设函数 .
（1）当 时，求 的最大值；
（2）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数m的值.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
1．已知集合 ，则 的子集个数为
A．2B．3C．4D．8
2．下列命题中错误的是
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题
B．命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题
C．命题“若x2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0，则x≠0且x≠1”
D．命题p： x>0，sinx>2x-1，则 p为 x>0，sinx≤2x-1
16．在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则当角 取最大值时， 的周长为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分)
17．（本题满分12分）
已知函数 的图像过点 ，且函数图像又关于原点对称.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）当m≥－1时，函数 的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．
银川一中2021届高三第三次月考数学(理科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称
统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 ( 为坐标原点)的周
长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个；
②函数 可以是某个圆的“优美函数”；
A． B．
C． D．
6．设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线方程为
A． B． C． D．
7．设向量 ， ，则下列结论中正确的是
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 方向上的投影为
8．已知正项数列 满足： ， ，则使 成立的 的最大值为
A．3B．4C．24D．25
9．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
宁夏银川市2021届高三数学第三次月考试题 理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
18．（本题满分12分）
在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角 为钝角， ．
（1）求 的值；（2）求边 的长．
19．（本题满分12分）
已知数列 满足
（1）证明数列 为等比数列，求出 的通项公式；
（2）数列 的前项和为Tn，求证：对任意 .
③正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形．
其中正确的是
A．①④B．①③④C．②③D．①③
4．已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
12．若函数 ，则满足 恒成立的实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是_________.
14．在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 交
于 .若 ，则 ________.
15．已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ， ，则数列 的公比为.
∴ ，其中 ， ，其周期为 ．
已知 ， 时， 单调递增，
解得 ．
∴ 的单调递增区间为 ， ， ．
（2）∵ ，且 为锐角，
∴ ，∴ ，∴ ．
又∵ ， 为锐角，∴ ．
∴ ，
其中 ，∴ ．
21.解：（1）依题意，知 的定义域为 ，
当 时， ，
，令 ，解得 .
当 时， ，此时 单调递增；
答案
D
C
D
A
B
A
C
C
C
C
D
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15.316．
三、解答题：
17．（1）依题意，函数 的图象过点 和 .
所以 ，故 .
（2）不等式 可化为 .
即 对一切的 恒成立.
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 .
18．（1）因为角 为钝角， ，所以 ，……2分
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
10．已知函数 的部分图象如图所示，
wk.baidu.com，则下列判断正确的是
A．函数 的最小正周期为4
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象
11．已知函数 在定义域上的值不全为零，若函数 的图象关于 对称，函数 的图象关于直线 对称，则下列式子中错误的是
又 ，所以 ，
且 ， ………………………4分
所以 …………6分
． ………………………8分
（2）因为 ，且 ，所以 ，……………………10分
又 ，……………12分
则 ，
所以 ．
19.（1）由 有
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2） ，
，
=
=
20．解：（1）依题意
，
∵ 的最大值为3，∴ ，∴ ，
22．[选修4－4 ：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，射线 与曲线 交于点 ，点 满足 ，设倾斜角为 的直线 经过点 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的参数方程；
（2）直线 与曲线 交于 、 两点，当 为何值时， 最大？求出此最大值．
20．（本题满分12分）
已知函数 ，在R上的最大值为3．
（1）求 的值及函数 的周期与单调递增区间；
（2）若锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，求 的取值范围．
21．（本题满分12分）
设函数 .
（1）当 时，求 的最大值；
（2）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数m的值.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
1．已知集合 ，则 的子集个数为
A．2B．3C．4D．8
2．下列命题中错误的是
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题
B．命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题
C．命题“若x2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0，则x≠0且x≠1”
D．命题p： x>0，sinx>2x-1，则 p为 x>0，sinx≤2x-1
16．在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则当角 取最大值时， 的周长为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分)
17．（本题满分12分）
已知函数 的图像过点 ，且函数图像又关于原点对称.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）当m≥－1时，函数 的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．
银川一中2021届高三第三次月考数学(理科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）
题号
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