高等数学化学专业-复习资料-课件-习题课四

(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出.
例如 , ex2 dx,
sin x dx, x
sinx2dx,
1 ln x
dx ,
dx , 1 x4
1x3dx,
1 k 2 s2 ix d n x(0 k 1 ),
15
例10. 求
dx
xx
x.
1e2e3e6
x
解: 令 t e 6 , 则 x6lnt, dx6t dt
1 2C 11 2C2 记作 C
得
x1dx1 2F1(xC )1 1 121 2 1 (2 1 2 1 2xx (x x 2 2 1C )12 x 2x )2 1 C 2 1 2 C ,C ,C ,, x x 1 1
12
例9. 设F(x)为 f (x) 的原函数, 且 F(0)1,当x0时
uv(n)uv(n1) uv(n1)dx u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) uv(n2)dx
u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) (1)n 1u(n 1)vdx
快速计算表格:
u(k)
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
tann 2xd(txa)nIn2
tan n1 x n 1
In2
注: In I0或 I 1
I0 xC, I1 lncoxsC
11
例8. 求 x1dx.
解:
设
x1, F(x)x1
1x,
x1 x1
则 F(x) 1 2x2xC 1, x1 x1 2x2C 2, x1
因 F(x)连续 , 利用 F (1 )F (1 )F (1 ),得
2
3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uvdx 比 uvdx 好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
3
多次分部积分的 规 律
uv(n1)dxuv(n)uv(n)dx
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
4
例1. 求
2x3x 9x 4x
dx
.
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1((3232))x2dx a dxx axlnadx
1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2 x
故
f(x)F(x) sin2 2x
x14sin4x1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
原式
6
dt (1t3t2t)t6
dt (t1)(t21)t
6 tt
313t2t13
dt
6lnt 3lnt13ln(t2 1)3arwk.baidu.com t tC an 2
x
x
x
x 3 ln 6 ( 1 ) e2 3 ln 3 ( 1 ) e3 arc 6 C tan
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例11. 求 3ccooxxs sssiinxnxdx.
章
不定积分的计算方法
一、求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
1
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
f (x)dx
f[(t) ](t)dt
第二类换元法 (代换: x(t))
注意常见的换元积分类型, 如掌握 P205～P206 公式(16) ~(24)的推导方法
exarcetxan x1 2ln(1e2x)C
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例6. 求 (x3x2)e2xdx.
解: 取 ux3x2, v(4) e2x
u (k ) x3x2 3x2 1 6x
60
v(4k)
e 2x
1 2
e
2
x
1 4
e
2x
1 8
e
2x
1 16
e
2x
原 式 e2x12(x3x2)
14(3x21)
816x
原式 t t2
3
1
1
t
3t 2
t 2 (t 2 3) (t 2 1)2
1
dt
t
2
t dt 1
12lnt21C1 2ln(xy)21C
8
例5. 求
arctanex ex
dx
.
解: 原 式 arctexad n e x
exarctaexn
ex
1
ex e2
x
dx
exarctaexn (11e2xe)2xe2xdx
有 f(x)F (x) si22 n x,F(x)0,求 f (x).
解: 由题设 F (x)f(x),则 F (x)F (x)si22 nx,
故
F(x)F(x)dxsin22xdx 1c2o4sxdx
即
F 2(x)x1 4si4x n C
F(0)1, CF2(0)1,又 F(x)0, 因此
F (x)x1 4si4x n1
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2cos2 x
2 dx
2
xdtan2x
tanx dx 2
xtanx C 2
分部积分
7
例4. 设 y(xy)2x,求积分
1 dx . x 3y
解: y(xy)2x
令 xyt,即 yxt
x
t
t
2
3
, 1
y
t
2
t, 1
而 dx t(2t(2t21)32)dt
解: 令 3 co x ssixn A (x c s o x ) i B n ( sx c s o x ) i n s
arctan32)(x C ln2ln3
5
例2. 求
lnx( 1x2)5 dx.
1x2
解:
原式 [ln x (1x2)5]1 2d[lnx (1x2)5]
2 lnx ( 1x2)523 C
3
分析:
(1 2x )dx
d[lnx (1x2)5]
2 1x2
x 1 x2
dx 1 x2
6
例3. 求 1xcsoinsxxdx.
1 16
6C
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 7 ) C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn(x)sienkax xdx cosax
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例7. 证明递推公式
Inta nx d n x tn a n 1 1 n x In 2(n 2 )
证: Inta n 2 n x (s 2 x e 1 )d c x