专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
中考培优竞赛专题经典讲义 最值问题之将军饮马问题
最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 ．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝ 由三角形面积公式得：12×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，∵C (12，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，即P A＋PC．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为 ．解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，则四边形MNE ′F ′为平行四边形，当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关于直线y ＝kx 的对称点．作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，∴OE ＝12OA ′＝2，A ′E ．∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是 ．3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为 ．4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为 ．5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为 ．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．B8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D故BE ＋ED4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝AH ＝∴cos ∠HAB ＝AH ABHAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝即PK＋QK的最小值为7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，∵CQ ＝12×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．10.解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQCQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MAMD⨯＝23，∴AF＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴ACⅡ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。
中考数学必学几何模型：将军饮马模型(几何最值)含答案解析
2
A A
P
C
B
D
P
C
B
A'
解答：
如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′C，连接 A′B 并延长交 CD 于点 P，则点 P
就是 PA PB 的值最大时的点， PA PB ＝A′B．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC 等于 4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°． ∵点 A、A′关于 CD 对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
A
M
l1
A′
N
l2
B
将 A 向下平移 d 个单位到 A，连接 A′B 交直线 l2 于 点 N，过点 N 作 MN⊥l1，连接 AM.点 M、N 即 为所求．
AM＋MN＋NB 的最小值为 A'B＋d.
例题：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正 半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF ＝2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标．
2．如图，点 C 的坐标为（3，y），当△ABC 的周长最短时，求 y 的值．
3
y A(0,3)
O
B(2,0)
x
解：解：（1）作 A 关于 x=3 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 x=3 与点 C．
∵点 A 与点 A′关于 x=3 对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点 B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
巧用“将军饮马”模型求解最值问题
解法探究２０２４年１月下半月㊀㊀㊀巧用 将军饮马 模型求解最值问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李传煜㊀㊀摘要:最值问题是初中数学常见的问题类型,其题型灵活多变,很多地区的中考试卷中有关动点最值的问题都涉及到 将军饮马 ,因此结合中考试题对最值问题加以探究,解读 将军饮马 基本模型,探究典型的考题类型．关键词:将军饮马;最值;线段和㊀㊀最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结合特定的数学模型进行解决．本文中以全国各地中考题为例,对如何构建 将军饮马 模型求解最值问题进行了探讨．１将军饮马 模型基本模型:两定点＋一动点．图１已知两定点A ,B 在直线l 同一侧,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 最小．解法:如图１,作点B 关于直线l 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ与定直线l 的交点P 即为所求的点,且P A ＋P B 的最小值就等于A B ᶄ的长,其基本原理是 两点之间线段最短 ．２模型应用２．１求线段和的最值图２例１㊀(２０２２年山东德州)如图２,正方形A B C D 的边长为６,点E 在B C 上,C E ＝２,M 是对角线B D 上的一个动点,求E M ＋C M 的最小值．分析:由题可知C ,E 是定点,B D 为定直线,M 是B D 上一动点,且定点C ,E 在BD 的同侧．根据以上分析,可以联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．此类问题常通过平移㊁翻折㊁旋转等方法转化为 两点之间线段最短 来求出最小值．本题定点C 比定点E 更容易找到其对称点,进而将同侧两定点转化为异侧两定点,求出E M ＋C M 的最小值．图３解析:如图３,由正方形的性质,可知点A ,C 关于直线B D 对称．连接AM ,根据对称性可知AM ＝C M ．所以(E M ＋C M )m i n ＝(AM ＋E M )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ,M ,E 三点共线时,AM ＋E M 取最小值,即为线段A E 的长．因为B E ＝４,A B ＝６,所以A E ＝A B ２＋B E ２＝６２＋４２＝２１３．所以E M ＋C M 的最小值为２１３．２．２求几何图形周长的最值图４例２㊀(２０２３年四川宜宾)如图４,在平面直角坐标系x O y 中,等腰直角三角形A B C 的直角顶点C (３,０),顶点A ,B (６,m )恰好落在反比例函数y ＝kx第一象限的图象上．(１)分别求反比例函数的表达式和直线A B 所对应的一次函数的表达式．(２)在x 轴上是否存在一点P ,使әA B P 的周长最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由．分析:此处只分析第(２)问,要求әA B P 周长的最小值,即求线段A P ＋B P ＋A B 的最小值．由于A ,B 为定点,P 为x 轴上一动点,且定点A ,B 在x 轴的同侧,因此可联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．由题意可知A B 的长为定值,因此只需要求A P ＋B P 的最小值即可．４７２０２４年１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀解析:(２)由(１)可知,反比例函数的解析式为y ＝６x．图５如图５,过点A 和点B 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点D ,E ．因为A C ＝B C ,øA D C ＝øC E B ,øD A C ＝øE C B ,ìîíïïïï所以әA D C ɸәC E B ．所以C E ＝A D ．又O E ＝６,O C ＝３,所以C E ＝A D ＝３．所以y A ＝６x A ＝３,即x A ＝２,则A (２,３)．因为y B ＝６６＝１,所以B (６,１)．所以A B ＝(６－２)２＋(１－３)２＝２５．作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄP ．所以(A P ＋B P )m i n ＝(A ᶄP ＋B P )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ᶄ,P ,B 三点共线时,A ᶄP ＋B P 取最小值,即为线段A ᶄB 的长．由题意得A ᶄ(２,－３),所以A ᶄB ＝(６－２)２＋(１＋３)２＝４２．所以әA B P 周长的最小值为４２＋２５．２．３求抛物线背景下的线段最值及点的坐标图６例３㊀(２０２２年天津)如图６,已知抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c(a ,b ,c 是常数,a ＞０)的顶点为P ,与x 轴相交于点A (－１,０)和点B ．(１)若b ＝－２,c ＝－３,①求点P 的坐标;②直线x ＝m (m 是常数,１＜m ＜３)与抛物线相交于点M ,与B P 相交于点G ,当M G 取得最大值时,求点M ,G 的坐标．(２)若３b ＝２c ,直线x ＝２与抛物线相交于点N ,E 是x 轴的正半轴上的动点,F 是y 轴的负半轴上的动点,当P F ＋F E ＋E N 的最小值为５时,求点E ,F的坐标．分析:此处只分析第(２)小问,由于P ,N 为抛物线上的定点,E 为x 轴上的动点,F 是y 轴上的动点,E F 为定长,根据以上分析可联想到 两定点＋两动点 的 将军饮马 模型．由题意可知E F 为定值,因此只需要求P F ＋E N 的最小值,再通过题意求出直线E F 的方程,进而求出点E ,F 的坐标．解析:(２)由抛物线与x 轴交于A (－１,０),可知a －b ＋c ＝０,又３b ＝２c ,则b ＝－２a ,c ＝－３a ,所以抛物线的解析式为y ＝a x ２－２a x －３a (a ＞０)．所以由抛物线y ＝a (x －１)２－４a ,得P (１,－４a )．图７如图７,作点P 关于y 轴的对称点P ᶄ,连接P ᶄF ．根据对称性,可知P ᶄF ＝P F ．作点N 关于x 轴的对称点N ᶄ,连接N ᶄE ．根据对称性,得N ᶄE ＝N E ．所以(P F ＋F E ＋E N )m i n ＝(P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE )m i n ．根据两点之间线段最短,当P ᶄ,F ,E ,N ᶄ四点共线时,P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE 取最小值,即为线段P ᶄN ᶄ的长．将x ＝２代入抛物线解析式,可得y N ＝－３a ,则点N 坐标为(２,－３a ),所以N ᶄ(２,３a )．又点P ᶄ坐标为(－１,－４a ),所以P ᶄN ᶄ＝(２＋１)２＋(７a )２＝５．解得所以a ２＝１６４９,即a ＝４７,或a ＝－４７(舍)．所以P ᶄ(－１,－１６７),N ᶄ(２,１２７)．设直线P ᶄN ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ．将点P ᶄ,N ᶄ的坐标代入,可得－１６７＝－k ＋b ,１２７＝２k ＋b ．ìîíïïïï解得k ＝４３,b ＝－２０２１．所以直线P ᶄN ᶄ:y ＝４３x －２０２１．分别令x ,y ＝０,可得E (５７,０),F (０,－２０２１)．解决 将军饮马 问题,究其本质就是利用 两点之间线段最短 或 垂线段最短 的基本原理,用几何变换将若干原本彼此分离的线段组合到一起,即 化折为直 [１],进而解决问题．参考文献:[１]丁力．初中数学几何最值问题探究 以 将军饮马 问题模型的解题策略为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):７９Ｇ８０．Z５７。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
∴ OD AD 3，即 A(3,3)
把点 A(3,3) 代入的 y k 得， k 9 x
∴反比例函数的解析式为： y 9 ． x
答：反比例函数的解析式为： y 9 ． x
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ，
∵∠B 90 ， AB BD ， BE AD
∴ AE ED 1 AD 3 ，
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在
中，
，
是
的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的
长度等于
最小值的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，AD 是
的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于
点 P，此时
最小，为 EC 的长，故选 B.
2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】 解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、 P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
最值模型之将军饮马模型(解析版)
最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。
例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。
考点07 动点求最值模型-将军饮马(解析版)
考点07 动点求最值模型---------将军饮马1．如图，60AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠内的定点且3OP =，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则PMN ∆周长的最小值是( )A ．32BC ．6D ．解：作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N则MP=MC ，NP=ND ，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，∠PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC ，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∠此时∠PMN 周长最小，作OH∠CD 于H ，则CH=DH ，∠∠OCH=30°， ∠OH=12OC=32，2，∠CD=2CH=故选：D ．2．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为 ；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，，∠E 是AB 的中点，∠BE=12， ∠90C ∠=︒，2AC BC ==，∠∠A′BC=∠ABC=45°，∠∠A′BA=90°，∠PA+PE 的最小值．；（2）如图3，作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N∠AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∠∠C′AC 为等边三角形，∠∠AC′N=30°，∠AN=12C′A=1，∠CM+MN的最小值为3．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：请利用上述模型解决下列问题；（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值．【详解】（1）作点A关于直线BC的对称点1A，连接1A E，交BC于P，如图所示，点P即为所求；（2）作点P关于直线OA的对称点F，作点这P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，如图：根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为FG，由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∠∠AOP+∠POB=∠AOB=30︒，OP= 5，⨯︒=︒，OF=OG=5，∠∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=23060∠∠FOG为边长为5的等边三角形，FG=，5答：ΔPMN的周长的最小值为5．4．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，∠ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA＋PE的最小值为；（2(0≤x≤3)的最小值．（3）几何拓展：如图3，∠ABC 中，AC ＝2，∠A ＝30°，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使BM ＋MN 的值最小，最小值是 ；【详解】（1）如图，P A ＋PE 的最小值为A’E 的长度作EF∠AC ，∠E 是AB 的中点∠EF=112BC = ,'3A F = ∠'2231A E =+= 10.(2)构造图形如图所示，其中：AB ＝3，AC ＝1，DB ＝3，AP ＝x ，CA ∠AB 于A ，DB ∠AB 于B ．∠PC ＋PD 21x +2(3)9x -+∠所求的最小值就是求PC ＋PD 的最小值．作点C关于AB的对称点C'，过C' 作C' E垂直DB的延长线于E．则C' E＝AB＝3，DE＝3＋1＝4，C' D5∠所求代数式的最小值是5．(3)作点B关于AC的对称点B′，过B′作B′N∠AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．理由：如图1，在AC上任取一点M1（不与点M重合），在AB上任取一点N1，连接B′M1、BM1、M1N1、B′N1．∠点B′与点B关于AC对称，∠BM1=B′M1，∠BM1+M1N1=B′M1+M1N1＞B′N1．又∠B′N1＞B′N，BM+MN=B′N，∠BM1+M1N1＞BM+MN．计算：如图2∠点B′与点B关于AC对称，∠AB′=AB，又∠∠BAC=30°，∠∠B′AB=60°，∠∠B′AB是等边三角形．∠B′B=AB=2，∠B′BN=60°．又∠B′N∠AB，．∠BM+MN5．（1）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是．（2）应用：∠如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使∠PCD的周长最小，请画出草图，并求出∠PCD周长的最小值；∠如图3，点A（4，2），点B（1，6）在第一象限，在x轴、y轴上是否存在点D、点C，使得四边形ABCD的周长最小？若存在，请画出草图，并求其最小周长；若不存在，请说明理由．解：（1）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（2）∠分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则∠PCD的周长最小，连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，∠MON=2∠AOB=60°，∠∠MON为等边三角形，∠MN=12，∠∠PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；∠点A关于x轴的对称点F的坐标为（4，﹣2），点B关于y轴的对称点E的坐标为（﹣1，6），连接EF交x轴、y轴于点D、点C，则四边形ABCD的周长最小，根据轴对称的性质可知，BC=BE，DA=DF，∠BC+CD=AD=EC+CD+DF=EF==，AB==5，∠四边形ABCD 的周长的最小值为+5． 6．如图要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：∠作点B 关于直线l 的对称点B '；∠连接AB '交直线l 于点P ，则点P 即为所求．请你参考小明的做法解决下列问题：如图（3），在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，请你在BC 边上确定一点P ，使PDE △的周长最小．解：如图所示：PDE △的周长DE DP EP =++ DE 为ABC 的中位线12DE BC ∴=，DE 为定值 要使PDE △的周长最小则DP EP +的和最小根据小明的做法，过点D 作关于BC 的对称点F ，连接EF 与线段BC 交于P 点，则此时DP EP +的和最小，此时PDE △的周长最小．。
特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。
1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
最值系列之将军饮马 - 解析
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
中考专题系列之最值——将军饮马
中考专题系列之最值——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
最值模型之将军遛马模型与将军过桥(造桥)模型(解析版)
最值模型之将军遛马模型与将军过桥(造桥)模型将军遛马模型和将军过桥(造桥)模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥(造桥)模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥(造桥)，不管是横向还是纵向的线段长度(定长)，只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥(造桥)再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量(通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起)。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线m同侧：图1图2(1)如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
(2)如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B',连接B'E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
1(2023·黑龙江·九年级校考期中)问题背景(1)如图(1)，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为1km和3km，A，B之间的水平距离为3km．现需把A厂的产品先运送到公路上然后再转送到B厂，则最短路线的长是km．问题探究(2)如图(2)，△ACB和△DEF是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，∠ACB=∠DEF= 90°，点A，D重合，点B，F重合，将△ACB沿直线AB平移，得到△A C B ，连接A E，C E．试探究在平移过程中，A E+C E是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图(3)，A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是2km和4km，A，B的水平距离是13km．游客在景点A游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行5km到达码头乙，再乘坐大巴到达景点B．请问码头甲，乙建在何处才能使从A到B的旅游路线最短，并求出最短路线的长．【答案】(1)5km(2)存在，最小值为25(3)最短路线长为15km【分析】(1)根据最短路径的作法，找出最短路径A B，再利用矩形的性质，求出BE和A E的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径；(2)根据平移的性质可知四边形CQEC 和AQEA 均为平行四边形，再利用最短路径作法得出A1C即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；(3)根据题意画图可知四边形AA N M 为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：(1)如图(1)，点Q是公路l上的一点，假设先把产品运送到点Q处，再转送到B厂，作点A关于l的对称点A ，连接AQ，A Q，连接A B交l于点P，则AQ=A Q，∴AQ+BQ=A Q+BQ≥A B，∴当点Q与点P重合时，AQ+BQ取得最小值，为A B的长．连接AA ，交l于点C，过点B作BD⊥l于点D，过点A 作A E⊥BD，垂足为点E，则∠A EB=∠CDE=∠DCA =∠CA E=90°，∴四边形CDEA 是矩形，∴CA=CA =DE=1km，A E=CD=3km，又∵BD=3km，∴BE=BD+DE=4km，∴A B=A E2+BE2=5km即最短路线的长是5km．故答案为：5km．(2)存在．理由如下，如图(2)，过点E作直线n∥AB，作点A关于直线n的对称点A1，连接A1C，AA1，A1C交直线n于点p，过点C作CQ∥EC 交直线n于点Q，连接CC ，QA1，QA，则AQ= QA1．由平移知CC ∥AB，∴CC ∥QE．又CQ∥EC ，∴四边形CQEC 是平行四边形，∴CC =QE，CQ=EC 由平移知CC =AA ，∴AA =QE又n∥AB，∴四边形AQEA 是平行四边形，∴AQ=A E∴A E+C E=AQ+CQ=QA1+CQ≥A1C ∴当点Q与点P重合时，A E+C E最小，最小值为A1C的长．过点C作CG⊥A1A交A1A的延长线于点G，则△ACG为等腰直角三角形．∵AC=AE=2，∴CG=2，A1G=32，∴A1C=CG2+A1G2=(2)2+(32)2=25∴A E+C E的最小值为25．故答案为：存在，最小值为25．(3)如图(3)，设码头乙为点N ，码头甲为点M ，连接A N ，A N ，过点A作AA ∥m，且AA =5km，作点A 关于m的对称点A ，连接A B交m于点N．连接A N，则A N=A N．∴AA N M 是平行四边形，∴AM =A N ，∴AM +M N +BN =A N +M N +BN =A N +M N +BN ≥5+A B∴点N ，N重合时，旅游路线最短．过点A 作直线l∥m，过点B作BC⊥l于点C，则∠BCA =90°，A C=13-5=8km，BC=4+2=6km，∴A B=A C2+BC2=10km，∴A B+5=15km．故答案为：最短路线长为15km．【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．2(2022·四川内江·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【答案】10【分析】延长BC到G，使CG=EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE=FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．【详解】解：延长BC到G，使CG=EF，连接FG，∵EF∥CG，EF=CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE=FG，∴AF+CE=AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG=AB2+BG2=62+(4+4)2=10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．3(2022·四川自贡·中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB 上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为．【答案】32【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+ CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4 -1=3，∴HG =DH2+DG 2=32+32=32，即GE+CF的最小值为32．故答案为：32【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．4(2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习)如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的周长为2π，MN=1，则△AMN周长的最小值是．【答案】5+1/1+5【分析】过点C作CA ∥BD，令CA =MN=1；可推出四边形MCA N为平行四边形，有A N=CM；根据C△AMN=AM+MN+AN=A N+AN+1≥AA +1可知当AA ⊥CA 时，△AMN周长有最小值.【详解】解：过点C作CA ∥BD，令CA =MN=1∵⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1∴BD=AC=2∵CA ∥BD且CA =MN=1∴四边形MCA N为平行四边形∴A N=CM由正方形的对称性可得：CM=AM∴A N=AM∴C△AMN=AM+MN+AN=A N+AN+1≥AA +1故：当AA ⊥CA 时，△AMN周长有最小值此时：AA =AC2+CA 2=5∴△AMN周长的最小值是5+1故答案为：5+1【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当AA ⊥CA 时，△AMN周长有最小值是解题关键．5(2023秋·河南南阳·九年级校联考期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中将ΔABD沿射线BD平移，得到ΔEGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．【答案】45【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC +GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+ GC的最小值．【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=42+82=45，即EC+GC的最小值为45，故答案为：45．【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．6(2023·贵州黔东南·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6，4，将△ABC沿射线CA的方向平移得到△GFE，分别连接DE，FD，AF，则DF+DE的最小值为．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长DB到M，使得BM=DB，连接BF，证明DF=FM，AF=DE，得DF+DE=AF+FM≥AM，当点A、F、M三点共线时，DF+DE=AF+FM=AM的值最小，由勾股定理求得AM便可．【详解】解：如图所示，连接BD与AC交于点O，延长DB到M，使得BM=DB，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,OA=12AC=3,OB=OD=12BD=2，∴OM=2+4=6，由平移性质知，BF∥AC，∴BF⊥DM，AF=DE，∴FM=FD，∴DF+DE=AF+DF=AF+FM≥AM，当点A、F、M三点共线时，DF+DE=AF+FM=AM的值最小，∴DF+DE的最小值为：AM=AO2+OM2=32+62=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．模型2.将军过桥(造桥)模型【核心思路】去除定量，组合变量(通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起)。
中考数学必学几何模型：将军饮马模型(几何最值)含答案解析
2
A A
P
C
B
D
P
C
B
A'
解答：
如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′C，连接 A′B 并延长交 CD 于点 P，则点 P
就是 PA PB 的值最大时的点， PA PB ＝A′B．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC 等于 4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°． ∵点 A、A′关于 CD 对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
A
P
O
B
解答
如图，作点 P 分别关于 OA 、 OB 的对称点 E 、 F ，连接 EF ，分别交 OA 、
5
OB 于点 Q 、 R ，连接 OE 、 OF 、 PE 、 PF . EQ OP ， FR RP ． △ PQR 的周长的最小值为 EF 的长. 由对称性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR， ∠EOF=2∠AOB=60°． △ EOF 是正三角形． EF OE OP 10 ． 即△ PQR 周长最小值为 10.
结论
P
O
B
C P
O
D
△PCD 周长的最小值为 P′P″ B
点 P 在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，
P''
OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小． 分别作点 P 关于 OA、OB 的
4
对称点 P′、P″，连接 P′P″， 交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D 即为所求．
A
A
C
P
P
O
D
B PD＋CD 的最小值为 P′C
特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型解读与提分精练解读与提分精练(原卷版)初中数学
专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
(1)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）........................................................................................1模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）........................................................................................5模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）............................................................................................9模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型.. (13) (21)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）条件：A ，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP +BP 的最小值。
模型（1）点A 、B 在直线m 两侧：模型（2）点A 、B 在直线同侧：m ABmAB模型（1）点A 、B 在直线m 两侧： 模型（2）点A 、B 在直线同侧：图（1） 图（2）模型（1）：如图（1），连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点A 关于定直线m 的对称点A’,连结A’B ,根据对称得到：PA =PA’，故AP +BP=A’P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A’B 的长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题64 将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【模型抽象】
如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？
这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB
当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）
A
B 将军军营河。