直线的点斜式方程导学案
3.2.1直线的点斜式方程(导学案)
3.2.1直线的点斜式方程1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
1、重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
2、难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
1．直线倾斜角的概念2. 如何求直线的斜率问题1.在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？问题2.（1）若直线l 经过点),(000y x P ，),(111y x P （21x x ），请在平面直角坐标系中画出直线并写出直线的斜率k 。
（2）若直线l 图像如上所画且直线l 经过定点),(000y x P ，异于0P 的动点),(y x P ，且直线的斜率为k ，请写出k 与y x y x 、、、00之间的关系式（该关系式为方程（1）。
问题3.（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？问题4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题5.（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？ （3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？问题7.已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
问题8.观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？例1：直线l 经过点()2,3-p ，且倾斜角为045=α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .变式1：写出下列直线的点斜式方程（1）经过点）（2,3-，斜率为2. （2）经过点）（2,3-，倾斜角为030.（3）经过点）（2,3-，倾斜角为0120.变式2：求满足下列条件的直线方程.（1）经过点）（2,3-，倾斜角为00. （2）经过点）（2,3-，倾斜角为090.题型二：已知直线的方程求直线的斜率和倾斜角例2：请填空（1） 已知直线的点斜式方程式12-=-x y ，那么直线的斜率是_____ ，倾斜角是_____.（2） 已知直线的点斜式方程式)1(32+=+x y ，那么直线的斜率是_________，倾斜角是________.题型三：求斜截式方程例3：把下列直线的点斜式方程化为直线的斜截式方程（1）)3(21-=+x y （2）)3(331-=+x y （3）)3(31--=+x y （4）01=+y总结：1．已知直线的方程式12--=+x y ，则（ ）A .直线经过点)2,1(--，斜率为1-；B .直线经过点)1,2(-，斜率为1-；C .直线经过点)1,2(--，斜率为1；D .直线经过点)2,1(-，斜率为-1；2．斜率为43-，在y 轴上的截距是3的直线方程是（ ） )4(43.+-=x y A )4(43.--=x y B )3(43.+-=x y C )3(43.--=x y D 3．斜率与直线032=-y x 的斜率相等，且过点)3,4(-的直线方程为___________________.4.在y 轴上的截距为6，且与y 轴相交成045角的直线方程是___________________.5.求倾斜角是直线13+-=x y 倾斜角的41，且分别满足下列条件的直线方程。
3.2.1直线点斜式方程导学案
3.2.1直线的点斜式方程导学案一、温故知新：1.斜率定义：k=3.若k 1=k 2，则4.若k 1k 2=-1，则5.问题引入：问题1：已知一点可以确定几条直线？问题2：已知直线的倾斜角（斜率）可以确定几条直线？问题3：已知一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定几条直线？探索：已知直线l 经过点P 0(x 0,y 0)，且斜率为k ，设点P(x,y)是直线l 上不同于点P 0的任意一点，能否用给定的条件找出x ，y 应满足的关系？二、直线的点斜式方程我们把方程y-y 0=k(x-x 0)叫做直线的点斜式方程.思考1：经过点P 0(x 0,y 0)任意一条直线的方程都可以写成点斜式吗？思考2：经过点P 0(x 0,y 0)且倾斜角为00,900的直线方程分别是什么？思考3：x 轴、y 轴所在的直线方程分别是什么？三、直线点斜式方程的应用练习：求满足下列条件的直线方程（1）已知直线经过点P(2,3)，斜率为2（2）已知直线经过点P(2,3)，倾斜角为1350（3）已知直线经过点P(2,3)，与x 轴平行（4）已知直线经过点P(2,3)，与x 轴垂直 11222.A(,)(,),x y B x y k =已知，求斜率00(2,3)=1,45.p l l l α-例：直线经过点且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线四、直线的斜截式方程思考1：若已知直线l的斜率为k，且过点p(0,b)，则直线l的方程是什么？概念：我们把方程叫做直线的斜截式，其中b是直线在y轴上的 .思考:2：观察方程y=kx+b有什么特点？练习：说出下列直线在y轴上的截距（1）y=-x+1 （2）y=x-4 （3）y=3x （4）y=-3 五、直线斜截式方程的应用例2：求斜率是5，在y轴上截距是3的直线方程.变式：斜率是5,与y轴交点是(0,-3)的直线方程?六、应用斜截式研究直线平行与垂直练习：判断下列直线是否平行或垂直1211(1):3,:222l y x l y x=+=-1253(2):,:35l y x l y x==-111222123::l y k x b l y k x bl l=+=+例：已知直线，试讨论分别在什么条件下，与平行？垂直？七、课堂小结1.本节课我们学了什么？直线方程的两种形式：（1）点斜式：（2）斜截式：2.两种形式直线方程的使用范围：八、课堂检测1.无论m为何值，直线y+1=m(x-2)恒过一定点，则该定点坐标为：2.直线2x+y+5=0在y轴上的截距是：3.过点p(1,2)且与直线y=2x+1平行的直线方程是：4.直线y=x+1绕其上一点p(3,4)逆时针旋转900后得到直线l,则直线l的点斜式方程为：5.已知直线l经过A(-1,2),B(3,6)两点,则l的点斜式方程为：作业：P100习题3.2 A组1.（1）（2）（3）， 5共点直线系平行直线系直线y=kx+2是过定点（0,2）直线y=2x+b是斜率为2的一组平行直线的直线束。
直线方程点斜式学案
直线的点斜式方程学案【先学自研】一、预习提纲：预习课本9592P P -，并思考以下问题：1． 在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线？2． 如何推导直线的点斜式方程？3．直线的点斜式方程是直线方程的特殊形式，其特殊性是什么？4．直线的斜截式方程与点斜式方程的关系如何，怎样推导?二、知识梳理：1．若直线l 经过点()000,y x P ，且斜率为k ，则直线l 的方程为 ，这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫直线的 方程。
当直线l 的倾斜角为 90时，直线的斜率 ，这时的直线l 与y 轴平行或重合，其方程为 ；当直线l 的倾斜角为0时，其方程为 。
直线的点斜式方程是直线方程的特殊形式，其特殊性在于 。
2．若直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为()b P ,0，则直线l 的方程为 ，其中b 叫做直线l 在y 轴上的截距（纵截距）。
这个方程是由直线的斜率和它在在y 轴上的截距确定的，所以叫直线的 方程。
直线的斜截式方程是直线点斜式方程的特殊形式，其特殊性在于 。
思考：（1）截距是距离吗？（2）类比直线l 在y 轴上的截距定义， 叫做直线l 在x 轴上的截距（横截距）（3）直线25y x =-的横截距 纵截距 ；直线3=x 的横截距 纵截距 ；直线2-=y 的横截距 纵截距 ；直线2y x =-的横截距 纵截距三、基础练习1．经过点()1,3-，斜率为2的直线的点斜式方程为 ； 经过点()2,4--，倾斜角为 120的直线的点斜式方程为 ； 斜率为23，与y 轴的交点为()2,0-P 的直线的斜截式方程为 ；斜率为-2，在y 轴上的距离为4的直线的斜截式方程为 ；2． 已知直线的点斜式方程为()132+=+x y ，则该直线的斜率为 ，倾斜角为 ；已知直线的斜截式方程为633--=x y ，则该直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ；已知直线的点斜式方程为()32y k x +=-（k R ∈），则直线恒过的定点为 ．3．（课本94P 例2）已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，试得出：（1）21//l l 的条件是 （2）21l l ⊥的条件是(3)已知两直线2-=x y 和1)2(++=x a y 互相垂直，则实数a =(4)已知两直线a x y 2+-=和()222+-=x a y 互相平行，则实数a =4．分别求满足下列条件的直线方程：（1）．求经过点()1,1，且与直线72+=x y 平行的直线方程；（2）．求经过点()2,0-，且与直线72+-=x y 垂直的直线方程；5．若0,0><b k ，则直线b kx y +=必不通过第 象限6．已知直线a ax y -+=1只能通过第一、二、三象限，则a 的取值范围是7．无论a 取什么实数，直线a ax y -+=1恒过定点【点拨讲解】例1． 已知直线l:5530ax y a ---=(1)．求证：不论a 为何值直线l 恒过第一象限(2)．为使直线l 不经过二象限，求a 的取值范围？例2． 已知直线l:120kx y k -++=(1)．求出直线l 所过的定点坐标(2)．若直线l 交x 负半轴于A ，交y 正半轴于B ，AOB ∆的面积为S,试求S 的最小值,并求出此时直线l 的方程【训练内化】1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） x y O x y O x y O xyOA B C D3.如果直线l 通过点(－1,－3), 并且与x 轴垂直，那么l 的方程是（ ）（A ）y ＋3=0 （B ）y －3=0 （C ）x ＋1=0 （D ）x －1=04．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．已知直线l 过点P(－2,1),且倾斜角α满足sin α＋cos α=－51,则l 的方程是( )(A)3x ＋4y ＋2=0 (B)3x －4y －2=0(C)3x －4y ＋2=0或3x ＋4y ＋2=0 (D)3x ＋4y －10=06．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13 B ．3- C ．13D ．3 7．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)8.经过点 (2, －1), 倾斜角是直线4x －3y ＋4=0 的倾斜角的一半的直线方程是9.与直线250x y +-=平行，且在两坐标轴上的截距之和为32的直线l 的方程是 10．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ．11.过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．12.过点)1,4(P 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A 、B ，当A OB ∆（O 为原点）的面积S 最小时，求直线l 的方程，并求出S 的最小值。
高中数学《直线的点斜式方程》导学案
3.2.1直线的点斜式方程课前自主预习知识点一直角坐标系内确定一条直线的几何要素(1)直线上的□1一点和直线的□2倾斜角(斜率)可以确定一条直线．(2)直线上□3两点也可以确定一条直线．知识点二直线的点斜式方程(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为□1y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为□2y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为□3x＝x0.知识点三直线的斜截式方程(1)斜率为k，且与y轴交于(0，b)点的直线方程为□1y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．(2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是□2直线的斜率，b的几何意义是□3直线在y轴上的截距．1.关于点斜式的几点说明(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．( )(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P 95，T 1)过点P (－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________．(2)已知直线l ：y ＝2－3x ，直线l 的斜率是________，在y 轴上的截距为________．(3)(教材改编，P 95，T 1)斜率为2，过点A (0,3)的直线的斜截式方程为______________________．答案(1)y－2＝3(x＋1)(2)－32(3)y＝2x＋33.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案C课堂互动探究探究1求直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．解(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)．拓展提升直线的点斜式方程的适用范围已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.【跟踪训练1】 写出下列直线的点斜式方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－(x ＋2).探究2 求直线的斜截式方程例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k ＝tan150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2.(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k ＝tan60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.拓展提升直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.【跟踪训练2】 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；(3)已知直线方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．解 利用直线的斜截式方程求解．(1)易知k ＝－1，b ＝－2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y ＝－x －2.(2)由于直线斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化为斜截式为y ＝－43x ＋4.(3)直线方程2x ＋y －1＝0，可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k ＝－2，截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1).探究3 平行与垂直问题例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解 (1)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝2a －1，直线l 2的斜率k 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[条件探究] 在本例(1)中将l 1改为y ＝－ax ＋2a ，又如何求a 值？解 由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－a ，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－a ，2a ≠2，解得a ＝－2. ∴当a ＝－2时，直线l 1与l 2平行．拓展提升 (1)两条直线平行和垂直的判定已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，①若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.②若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b 1≠b 2这个条件．【跟踪训练3】 已知直线l 过点A (2，－3)．(1)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′平行，求其方程；(2)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′垂直，求其方程． 解 (1)由斜率公式得直线l ′的斜率k ′＝2－4－3－(－4)＝－2， ∵l 与l ′平行，∴直线l 的斜率k ＝－2.由直线的点斜式方程知y ＋3＝－2(x －2)，∴直线方程为2x ＋y －1＝0.(2)∵直线l ′的斜率为k ′＝－2，l 与其垂直，∴直线l 的斜率k ＝12.由直线的点斜式方程知l ：y ＋3＝12(x －2)，∴直线方程为x－2y－8＝0.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．课堂达标自测1.已知直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C.x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案D解析 由已知，可得直线l 的斜率k ＝tan45°＝1，又直线l 过点P (－1,2)，所以直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.2.直线y ＝k (x ＋2)＋3必过一定点，该定点为( )A.(3,2) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3)答案 D解析 直线方程可化为y －3＝k (x ＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线斜率为k ，且过点(－2,3).3.倾斜角为120°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．答案 y ＝－3x －3解析 ∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k ＝tan120°＝－3，又b ＝－3，∴它的斜截式方程为y ＝－3x －3.4.过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________．答案 y －2＝23(x ＋3)解析 所求直线与y －1＝23(x ＋5)平行，∴它的斜率为23，又过(－3,2)，∴它的点斜式方程为y －2＝23(x ＋3).5.已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距(直线与x轴交点的横坐标)为－2；(3)在y轴上截距为3.解直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°.故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程，得y－0＝33(x＋2)．∴y＝33x＋23 3.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的定点，倾斜角分别为()A.(4,3)，60° B．(－3，－4)，30°C.(4,3)，30° D．(－4，－3)，60°答案A解析由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为3，所以倾斜角为60°.2.已知ab >0，bc >0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限答案 B解析 把直线ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab >0，bc >0，∴－a b <0，cb >0. 故直线通过第一、二、四象限. 3.下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，k ＝y －2x ＋1表示的直线不过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)过点(－1,2)，∴①不对．②，③均正确；④中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，∴④错．故选B.4.经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线是( )A.x ＝－1 B ．y ＝1C.y －1＝2(x ＋1) D ．y －1＝22(x ＋1)答案 C解析 ∵y ＝22x －2的斜率为22，∴所求直线的斜率为2，又过(－1,1)，∴其直线方程为y －1＝2(x ＋1).5.在同一直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 1>k 2，b 1<b 2)的图象可能是( )答案 A解析 在选项B 、C 中，b 1>b 2，不合题意；在选项D 中，k 1<k 2，D 错，故选A.二、填空题6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝________.答案 －1解析 因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1.又两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1.7.若点A (－1,3)在直线l 上的射影为N (1，－1)，则直线l 的点斜式方程为________．答案 y ＋1＝12(x －1)解析 由题意可知直线AN ⊥l ，且直线l 过点N (1，－1)，又k AN ＝3－(－1)－1－1＝－2，所以直线l 的斜率为12，故直线l 的点斜式方程为y ＋1＝12(x －1).8.直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程为________．答案 y ＝－32x 或y ＝x －5解析 设直线方程为y －(－3)＝a (x －2)，显然a ≠0，令y ＝0，得x ＝3a ＋2；令x ＝0，得y ＝－2a －3.所以3a ＋2＋(－2a －3)＝0，解得a ＝1或a ＝－32.故所求直线方程为y ＋3＝x －2或y ＋3＝－32(x －2)，即y ＝x －5或y ＝－32x .三、解答题9.已知点A (1,2)和直线l ：y ＝－34x ＋54，求： (1)过点A 与直线l 平行的直线l 1的方程； (2)过点A 与直线l 垂直的直线l 2的方程． 解 (1)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ∥l 1，∴直线l 1的斜率k 1＝k ＝－34. ∴直线l 1的方程为y －2＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －11＝0.(2)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ⊥l 2，∴k 2·k ＝－1，∴k 2＝43.∴直线l 2的方程为y －2＝43(x －1)， 即4x －3y ＋2＝0.B 级：能力提升练10.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解 (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k的取值范围是－15≤k≤1.。
直线的点斜式方程 学案 导学案 课件
直线的点斜式方程
问题引航
2.直线的斜截式方程的形式是什么？适用范围是什么？截距的定义是什么？ 自主探究
互动探究 例1． 一条直线经过点P 1（-2，3），且倾斜角045α=，求这条直线L 的点斜式方程，
并画出直线L.
例2.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,试讨论：（1）12l l 的条件是什么？（2）12l l ⊥的条件是什么？
当堂检测
1．方程()331--=+x y 表示过点______、斜率是______、倾斜角是______、在y 轴上的截距是______的直线。
2．已知直线的点斜式方程是y ＋2=(x ＋1)，那么此直线经过定点_______，直线的斜率是______，倾斜角是_______.
3.已知直线的点斜式方程是y －2=x －1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____， 此直线必过定点______
4．经过点（-3，2）且与2x+3y-1=0平行的直线方程是
5.直线方程可表示成点斜式方程的条件是（ ）
（A ）直线的斜率存在 （B ）直线的斜率不存在
（C ）直线不过原点 （D ）不同于上述答案
6.已知直线经过点(6,4),斜率为43-,求直线的点斜式和斜截式.
知识拓展
1. 已知直线l 的方程为112
y x =-+,求过点(2,3)且垂直于l 的直线方程
2.求直线y=4x+8与坐标轴所围成的三角形的面积。
3.2.1 直线的点斜式方程(导学案)
3．2.1 直线的点斜式方程学习目标1．了解由斜率公式推导出直线方程的点斜式并掌握由点斜式推导出直线的斜截式方程；2．初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题．学法指导通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探讨得出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想．一复习问题1已知两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，如何求直线AB的斜率？问题2在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？二新课问题探究点一直线的点斜式方程问题1求直线的方程指的是求什么？问题2直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上的任意一点，(1)怎样建立x，y与k，x0，y0之间的关系？（2）过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足(1)中的方程吗？为什么？(3)坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线上吗？为什么？小结上述(2)，(3)两条都成立，所以方程①就是过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线的方程．方程①由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．问题3如何求x轴所在的直线方程？问题4由x轴的方程你能猜出y轴所在的直线方程吗？问题5如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？问题6如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程？例1直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.小结 1.求直线的点斜式方程：2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．问题探究点二直线的斜截式方程问题1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？小结我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k 与它在y轴上的截距b确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．问题2直线y＝kx＋b在x轴上的截距是什么？它是直线与x轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？问题3观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？问题4你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？例2已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？(2)l1⊥l2的条件是什么？小结已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.跟踪训练2已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，求直线l的方程．三本课小结1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.直线的斜截式方程y＝kx ＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形.。
高中数学《直线方程的点斜式》导学案
1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线直线过点直线的特点方程形式(x0，y0)垂直于x轴x＝x0垂直于y轴y＝y03．(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的□03纵坐标．(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P(x，y)是直线上除P0外任意一点，那么y－y0x－x0＝k，∴y－y0＝k(x－x0)，点P0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x轴或y轴的直线方程是怎样的？提示：x＝2，y＝1.(3)经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－bx＝k，即y＝kx＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为y＝kx＋b.2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)提示：D由点斜式得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1提示：C∵直线方程y＋2＝－x－1，可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是()提示：B解法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x＝－bk＝1，所以直线与x轴的交点为(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程，可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k>0，b>0，则k＋b>0，不符合要求；选项B中，k>0，b<0，图形可能符合要求；选项C中，k<0，b＝0，则k＋b<0，不符合要求；选项D中，k<0，b<0，则k＋b<0，不符合要求.例1根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．[解](1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[变式训练2]写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan60°＝3，所求直线的方程为y＝3x＋5.(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.例3求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．[证明] 证法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围． 解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程．[错解] 由A(－1,2)，B(m,3)，得直线AB的斜率k＝1m＋1，利用点斜式，得直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．[错因分析] 没有讨论直线AB的斜率是否存在(m的取值)，而直接认为直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．[正解]当m＝－1时，由A(－1,2)，B(－1,3)，得直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，由A(－1,2)，B(m,3)，得直线AB的斜率k＝1m＋1，利用点斜式，得直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1x－x1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y －b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．120°，2－3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.时间：25分钟1．直线方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案D解析直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．2．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为() A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2答案D解析因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点斜式方程为y －(－2)＝0×(x－3)，即y＝－2.3．下列三个说法：①任何一条直线在y轴上都有截距；②直线在y轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线．其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．③答案D解析因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．4．已知直线l的方程为y＝2015x－2016，则直线l在y轴上的截距为() A．2015 B．－2015 C．2016 D．－2016答案D解析因为b为直线y＝kx＋b在y轴上的截距，所以直线l：y＝2015x－2016在y轴上的截距为－2016.5．斜率为2，在y轴上的截距为3的直线经过的象限有()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限答案A解析直线的斜截式方程为y＝2x＋3，所以直线经过第一、二、三象限．6．直线y＝ax－1a的图像可能是()答案B解析当a>0时，－1a<0，直线过一、三、四象限．当a<0时，－1a>0，直线过一、二、四象限，可得B正确．7．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点()A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)答案C解析将直线方程化为y－1＝k(x－3)可得过定点(3,1)．8．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．答案52解析由已知得直线方程y＋1＝tan45°(x－4)，即y＝x－5.当x＝0时，y＝－5；当y＝0时，x＝5.∴被坐标轴所截得的线段长＝52＋52＝5 2.9．若直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b＝________.答案±6数学•必修2[S]解析令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－b2，∴所求的面积S＝12|b|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b2＝14b2＝9.∴b＝±6.10．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：(1)AB所在直线的方程；(2)AC边和BC边所在直线的方程．解根据已知条件，画出示意图如图．(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以k AC＝tan45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以k BC＝tan135°＝－1，又点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.。
直线的点斜式方程教案导学案
直线的点斜式方程教案
【学习目标】
1.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程
2.直线平行、垂直的判断
3.恒过定点问题
一、引入新知
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
注：过点P 0且斜率不存在的直线为x ＝x 0.
2.直线l 的截距
(1)直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的__________．
(2)直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ,0)的____________．注：截距不是距离，可为正数、负数或零
3.直线平行、垂直的判断
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，
(1)l 1∥l 2__________________；(2)l 1⊥l 2__________________．
4.恒过定点问题
直线l :y －y 0＝k （x-x 0），不论k 取何值l
都过哪个定点二、思 1.课本60页例1、例2
点斜式
斜截式已知条件点P (x 0，y 0)和斜率k 斜率k 和直线在y 轴上的截距b
图示
方程形式
y －y 0＝适用条件斜率存在斜率存在
三、课堂小测
2.
4.(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2
－2)x ＋2平行？
(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？
(3)直线l
：y＝(a2－2)x＋2恒过哪个定点？
2
5.。
321直线的点斜式方程导学案
§ 3.2.1《直线的点斜式方程》导学案1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； .重点：理解掌握直线的点斜式方程和斜截式方程及其应用. .2．直线的斜率及其计算公式：3. 确定一条直线的几何要素：二、新课导学：※ 学习探究问题1：在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是直线与y 轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式方程表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题例1： 直线l 经过点)3,2(0-P ，且倾斜角045=α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .小结：随堂练习：1.写出下列直线的点斜式方程：（1） 经过点A （3，－1）（2） 经过点B （，2），倾斜角是30°（3） 经过点C （0，3），倾斜角是0°（4） 经过点D （－4，－2），倾斜角是120°2.填空：(1)已知直线的点斜式方程是12-=-x y ,那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 ;(2) 已知直线的点斜式方程是)1(32+=+x y ,那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 ;例2:直线l 的倾斜角o 60=α，且 l 在 y 轴上的截距为3，求直线l 的斜截式方程。
2.2.1直线的点斜式方程导学案高二上学期数学人教A版选择性
2.2.1直线的点斜式方程导学案（一）知识准备1.已知倾斜角为α，则斜率k= .2.已知直线上两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）且（x1≠x2）,则斜率k=角度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度tanα（二）提出问题问题 1 在平面直角坐标系中：（1）过点P0 (1 , 2) 的直线有多少条？（2）斜率为1的直线有多少条？(1 , 2) 且斜率为1的直线有多少条？（3）过点P问题2 已知直线l的倾斜角为60°，且经过定点P(1，2)，如何用方程来表示直线l？（三）点斜式方程一般地，若直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，在l上任取一个不同于P0的点P (x，y)，则由斜率公式k=y2−y1。
x2−x1即yy0=k（xx0）此方程叫做直线的点斜式方程。
其中P0(x0，y0)为直线上的点，k为直线的斜率（四）趁热打铁1. 已知点和斜率写点斜式方程（1）经过点Q（7，1），且斜率为5的直线的点斜式方程是_____________.的直线的点斜式方程是_____________.（2）经过点Q（2，8），且斜率为132.已知直线的点斜式方程求斜率（1）已知直线的方程是y1=5(x+7)，则该直线的斜率k是（）A.5B.2C.1D.5（2）已知直线的方程是y+3=x5，则该直线的斜率k是（）A.3B.5C.不存在D.13.已知直线的点斜式方程求直线上点（1）已知直线的方程是y1=9(x+3)，则该直线所经过的一个点是_______.2（2）已知直线的方程是y=4(x3)，则该直线的斜率k=_____,它所经过的一个点是_______.（五）例题讲解例1 求经过点P0(2，1)，倾斜角为60° 的直线的点斜式方程。
练习1求经过点P0(0，3)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程。
高中数学二 3.2.1 直线的点斜式方程 导学案
3.2.1 直线的点斜式方程学习目标：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系． 重点：直线的点斜式、斜截式方程难点：直线的斜截式方程与一次函数的关系.学习过程一、知识链接复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ,则 ;如果12ll ⊥，则 . 2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 。
3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标。
4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率？(预习教材P 92~ P 95，找出疑惑之处）二、自主学习1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？2：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ,则方程 为直线的点斜式方程.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？3:⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 。
⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .4：已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程。
5.直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线 叫做直线的斜截式方程. 注意:截距b 就是函数图象与y 轴交点的 .6：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论。
典型例题【例1】（1）x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 ．（2）经过点00(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 ．（3）经过点00(,)P x y 且平行于y 轴(即垂直于x 轴）的直线方程是 ．（4）直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程．【例2】直线l过点)3,2(0-P，且倾斜角045=α，求直线l的点斜式方程,并画出直线l．【例3】写出满足下列条件的直线的点斜式方程:(1）过点(1,2)P-,倾斜角是30;（2）过点(1,0)M，斜率为【例4】写出满足下列条件的直线的斜截式方程：（1)斜率为，在y轴上的截距为1-；（2）斜率为0，在y轴上的截距为6；(3）过点(4,2)A-,倾斜角是120 ;【例5】已知直线,:,:222111b x k y l b x k y l+=+=，讨论（1)21//l l （2)21l l⊥的条件反馈练习1．直线l :2()y x b b R +=+∈一定经过 （ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限2．一条直线经过点(2,A -，并且它的斜率等于直线y x =的斜率的2倍,则这条直线 的方程是 （ )A ．252-=x y B ．y = C ．2y =- D ．y =3．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =-的两倍,则直线l 的方程为 ( )A.42(3)y x -=- B 。
直线的点斜式方程(优秀经典导学案)
3.2.1直线的点斜式方程一、课时目标1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)二、自主学习1、知识点（一）1．定义：如图3－2－1所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．图3－2－12．说明：如图3－2－2所示为过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线，它的方程没有点斜式，其方程为x－x0＝0或．图3－2－22、知识点（二）图3－2－3（1）定义：如图3－2－3所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．（2）说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的．倾斜角是的直线没有斜截式方程．（3）求直线的点斜式方程的步骤：（4）求直线的斜截式方程的步骤：确定直线的斜率k↓确定直线在y轴上的截距b↓代入y＝kx＋b即得直线的斜截式方程（5）由于直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，因此，求直线方程时，往往选择点斜式方程．利用点斜式求方程的关键是求直线的斜率．在利用斜率与倾斜角的关系求斜率时，要注意倾斜角的定义及其取值范围．三、课堂练习1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋32．过点(1，0)且与直线y＝12x－1平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________．4．当a为何值时，(1)两直线y＝a x－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？。
3.2.1直线的点斜式方程导学案
§3.2.1直线的点斜式方程导学案教师寄语：每一个成功者都有一个开始。
勇于开始，才能找到成功的路。
学习目标理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.学习重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.学习难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.预习内容：复习回顾1.确定一条直线的几何要素？ 。
2.若直线l 的倾斜角为)90(0≠αα，则直线的斜率____=k 。
3.已知直线上两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠则直线21P P的斜率为__________。
4.两条直线平行与垂直的判定：对于两条不重合的直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，有____//21⇔l l ，____21⇔⊥l l 。
探究1：设点),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？新知1：直线的点斜式方程：已知直线l 上一点),(000y x P 与这条直线的斜率k ，设),(y x P 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，00x x y y k --= 即：_________________⑴，方程⑴是由直线上______及其______确定，所以把此方程叫做直线l 的点斜式方程，简称_________。
思考1：①x 轴所在直线的方程是__________，y 轴所在直线的方程是____________。
②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是__________。
③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是__________。
④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？ 。
探究2：已知直线l 的斜率为k ，且l 与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
2.1.2.1直线的点斜式方程-导学案
直线的点斜式方程(导学案)学习目标：知识目标：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 能力目标：能正确和灵活利用直线的点斜式、斜截式式解决问题；情感目标：体会数学的逻辑美. 培养学生的自主学习与探究意识，并体会数形结合的思想方法。
教学重点（难点）：直线的点斜式、斜截式两种形式的灵活运用 学法指导：自主探究、合作交流 一、预习案使用说明：1. 用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
相关知识:1、简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。
2．已知直线1l 、2l 都有斜率，如果21//l l ，则__________________；如果21l l ⊥，则___________ 3．若三点)1,3(A ，),2(k B -，)11,8(C 在同一直线上，则k 的值为___________4．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为)1,0(A 、)0,1(B 、)2,3(C ，则第四顶点D 的坐标________． 教材助读1.直线方程形式之点斜式已知直线经过点，且斜率为，则方程 为直线的点斜式方程问题1：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？⑴ x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 ⑵经过点 且平行于x 轴（即垂直于 y 轴）的直线方程是 ⑶经过点 且平行于y 轴（即垂直于 x 轴）的直线方程是2.直线方程形式之斜截式 问题2：已知直线的斜率为，且与 y 轴的交点为，求直线的方程已知直线 与 y 轴交点的纵坐标叫做直线在y 轴上的截距 , 斜率为，则方程 叫做直线的斜截式方程预习自测⒈在平面直角坐标系中，斜率为1的直线可以作多少条？⒉在平面直角坐标系中，过点M （3，2）的直线可以作多少条？⒊在平面直角坐标系中，过点M （3，2）、斜率为1的直线可以作多少条？4． 求经过点，且与直线平行的直线方程，并画出直线5. 直线l 经过)3,2(0-P ，且倾斜角︒=45α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l二、探究案基础知识探究⒈ 在平面直角坐标系中，经过已知点P 0（x 0，y 0）、斜率为k 的直线可以作多少条？如果有且只有一条，那么它的方程能够确定。
3.2.1直线的点斜式方程导学案
3.2.1直线的点斜式方程导学案问题一1. 若直线 经过点A(-1,3),斜率为-2,点P 在直线上运动,则点P 的坐标(x,y)满足怎样的关系式？即：（1）直线 上每一点的坐标(x,y)都满足：（2）坐标满足此方程的每一点都在直线 上问题2：若直线 经过点 ,斜率为k, 则此直线 的方程是（1）过点 ,斜率为k 的直线 上每个点的坐标都满足方程 ；（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点 ,斜率为k 的直线 上. 例一:1.已知直线经过点p （-2，3） ,斜率为２，求这条直线的方程.2.已知直线经过点p （-2，3） ，求（1）倾斜角为0 时的直线方程： ；（2）倾斜角为 45时的直线方程： ；（3）倾斜角为 90时的直线方程：问题3：已知直线 的斜率为k ，与y 轴的交点是点P （0，b)，求直线 的方程.例二：写出下列直线的斜率和在y 轴上的截距：23)3(3)2(231-==-=y x x y x y ）（例三： 求过点A （1，2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。
1.写出下列直线的点斜式方程 （1）经过点A （3，-1），斜率是 （2）经过点B ，倾斜角是30° （3）经过点C （0，3），倾斜角是0°（4）经过点D （4，-2），倾斜角是120° 2.填空题： (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线的斜率为 ____,倾斜角为_____________. (2)已知直线的点斜式方程是 那么，直 线的斜率为___________,倾斜角为_______. 3.写出斜率为 ,在y 轴上的截距是-2的直线方程. 3）一直线过点 （-1，3），其倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍，求直线 的方程.练习：判断下列各直线是否平行或垂直11:32l y x =+?l (2) ?l )1(::,: 32121222111的条件是什么的条件是什么试讨论已知直线例⊥+=+=l l b x k y l b x k y l x y 33=21:22l y x =-15:3l y x =23:5l y x =-。
3.2.1直线的点斜式方程导学案
§3.2.1直线的点斜式方程导学案班次 姓名【学习目标】1、掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例。
2、学会根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨的结果求出直线方程，掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围。
【课前导学】预习教材第92-95页，找出疑惑之处，完成新知学习（1）直线的倾斜角α与斜率k 的关系是 __________（2）过点),(11y x A 、),(22y x B 的直线的斜率k ＝_______(3)简述在直角坐标系中确定一条直线的几何要素.【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示问题1：直线l 过点)1,2(P ，且斜率为3，点),(y x P 是l 上不同于)1,2(P 任意的一点，则x 、y 满足怎样的关系式？变式：直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ，点),(y x P 为直线l 上不同于),(000y x P 的任意一点，则x 、y 满足的关系式是_____________讨论：（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合点斜式方程？（2）适合点斜式方程的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？（3）直线的点斜式方程能不能表示直角坐标系中的所有直线？若不能，请说明理由. 填空：（教材95页练习第二小题）（1）已知直线的点斜式方程是12-=-x y ，那么此直线的斜率是_____，倾斜角是_____。
（2）已知直线的点斜式方是),1(32+=+x y 那么此直线的斜率是_____，倾斜角是_____。
例1（教材93页）、直线l 经过点)3,2(0-P ，且倾斜角o 45=α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l 。
写出下列直线的点斜式方程：（见教材95页练习的第一小题）（1）经过点A(3,-1),斜率是2；（2）经过点B （2-，2），倾斜角是o 30；（3）经过点C （0，3），倾斜角是o 0；（4）经过点D(-4，-2），倾斜角是.120o问题2：已知直线l 的斜率为k ，l 且与x 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
高中数学《直线的点斜式方程》导学案
第三章直线与方程3.2.1 直线的点斜式方程一、学习目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.【重点、难点】重点：直线的点斜式方程。
难点：直线的点斜式方程的应用。
二、学习过程（一）设计问题,创设情境问题1:已知直线l过点P0(1,2),且斜率为2.(1)试判断点A(3,6)和点B是否在直线l上?并思考直线l上除点P0外的所有点的坐标都满足的条件是什么?直线l外所有点的坐标都满足什么条件呢?(2)你能用直线l上任意一点P的坐标表达上面的条件吗?请尝试一下.（二）信息交流、揭示规律问题2:方程y-2=2(x-1)中的未知数x,y的含义是什么?方程y-2=2(x-1)的所有解与直线l上所有的点有什么关系?问题3:方程=2是直线l的方程吗?为什么?（三）运用规律、解决问题问题4:上面我们得到的规律能否推广到一般情形呢?请求出过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程.变式训练:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),求出它的方程.问题5:上面的方程由什么确定?我们可以给这个方程起个名字吗?任意一条直线的方程都能写成点斜式吗?为什么?问题6:观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?截距和距离一样吗?它和我们学过的一次函数一样吗?【典型例题】【例1】根据下列条件,求出相应直线的方程,并画出直线的草图.(1)P0(-1,1),k=-2;(2)P0(0,2),k=0;(3)过点P0(2,0),倾斜角为90°.【例2】已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么?(2)l1⊥l2的条件是什么? 【变式拓展】1、已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),求出它的方程.2、判断下列各对直线是否平行或垂直:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2) l1:y=x,l2:y=-x.三、总结反思们已经学习了直线的点斜式方程，记住它的使用条件。
21.直线的点斜式方程导学案(解析版)
2.1.1直线的点斜式方程导学案【学习目标】1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题【自主学习】知识点一直线的点斜式方程y－y＝k(x－x)知识点二直线的斜截式方程y＝kx＋b【合作探究】探究一直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．归纳总结：(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．【练习1】(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．【答案】 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．探究二 直线的斜截式方程【例2】(1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_______． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程． (1)【答案】 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. (2)解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2， 由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2， 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.归纳总结：(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．【练习2】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.探究三 平行与垂直的应用【例3】(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2， ∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．归纳总结：设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2∥k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2∥两条直线重合；(3)l 1∥l 2∥k 1·k 2＝－1.【练习3】已知直线l ：y ＝(a 2－2)x ＋2a ＋9与直线y ＝－12x ＋1垂直，且与直线y ＝3x ＋5在y 轴上的截距相同，求a 的值．解 由题意知：(a 2－2)×(－12)＝－1，解得a ＝±2.经检验知a ＝－2符合题意．课后作业A组基础题一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为()A．y－2＝－33(x＋4)B．y－(－2)＝－33(x－4)C．y－(－2)＝33(x－4)D．y－2＝33(x＋4)【答案】B解析由题意知k＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－33(x－4)．2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2斜率的2倍的直线方程是()A．y＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)【答案】C解析由方程知已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．3．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )【答案】 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距正负相反．4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【答案】 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.5．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B解析 ①中方程：k ＝y －2x ＋1中x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)【答案】 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5 D ．y ＝2x ＋3【答案】 C解析 ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2，∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C. 二、填空题8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．【答案】 [32，＋∞)解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________． 【答案】 y ＝34x －3解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12， |b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3，∴所求直线方程为y ＝34x ±3. 三、解答题12．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)， 即y ＝35x ＋3. 13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的方程为y ＝32x －35.B组能力提升一、选择题1．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)【答案】D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，∥k AO＝3，k AB＝－3，由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．]2．(多选题)下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3(x－2)D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3.【答案】ABC[A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∥(k，b)在第二象限，正确．B 中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．]二、填空题3．将直线y＝x＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．【答案】y＝3x解析由y＝x＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .4．若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－2,1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡151-，[由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0， 解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.] 5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．【答案】y ＝－23x ＋13[由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ， 则b ＋32b ＝56， 解得b ＝13， 故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.] 三、解答题6．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463. 7．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．[解]∥直线y＝3(x－1)的斜率为3，∥其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l与直线y＝3(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x＝1或y＝33(x－1).。
直线的点斜式方程 学案 导学案 课件
直线的点斜式方程学习目标1． 记住直线的点斜式方程、直线方程的斜截式是点斜式的特例。
2． 能根据已知条件求直线方程3． 点斜式，斜截式方程的适用范围。
重点难点1.探讨确定一条直线的条件并求出直线方程2.点斜式、斜截式方程的特征及适用范围情感态度与价值观由斜截式是点斜式的特例，培养学生思维的严谨性和相互合作意识，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
学习过程一．知识链接1.确定一条直线的条件有二．自主学习1.直线的点斜式方程形式是适用条件是（1）x 轴所在直线的方程是（2）y 轴所在直线的方程是2.如果直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b ,则直线l 的方程为 这就是直线的 ，简称 ，其中b 称为直线在y 轴上的 .3.已知直线111:b x k y l +=，直线222:b x k y l +=，21//l l 的条件是 ,21l l ⊥的条件是三．合作探究1.直线l 经过点P (-2,3),且倾斜角为045,求直线l 的点斜式方程，并画出直线l2.直线1l 过点)1,2(-P ,斜率为33-，把1l 绕P 点按顺时针方向旋转030得到2l ， 则（1）1l 的点斜式方程为________________________,（2）2l 的点斜式方程为__________________________四．课堂展示1.已知直线l 的斜率为43，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 求直线l 的方程.2.已知直线l 的斜率为23，在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1， 求直线l 的方程.（每日一题）过点)4,5(--作一直线l ，使它与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程本节课我最大的收获是： .我存在的疑惑有：。
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§ 3.2.1直线的点斜式方程
【学习目标】
理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确求直
线方程；
【学习过程】
一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完
后和本组同学讨论）
1．经过两点)),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中（斜率公式为
=k .
2．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，
则 .
3．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .
4．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐
标
5．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?
二、新课导学：
探究一：设点),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同于0P 的任
意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？
（请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.）
1、直线的点斜式方程：已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率
k ，
设(,)p x y 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，0
0y y k x x -=- 即：
⑴ . 点斜式方程是由直线上 及其 确定。
（自学课本P92－P93，小组讨论：）
（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）
（2）适合方程（1）的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？
（3）方程⑴能不能表示过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程？
思考：
①x 轴所在直线的方程是______ ____; y 轴所在直线的方程是
____________ __；
②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是
______________；
③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是
______________；
④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？若不能，请说明
哪类直线不能.
探究二：已知直线l 的斜率为k ，l 且与x 轴的交点为),0(b ，求直线l 的
方程。
请写出你的求解过程.
2、直线的斜截式方程：直线l 与y 轴交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在
y 轴上的 ,方程b kx y +=是由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程。
思考：①截距是距离吗？
②能否用斜截式表示平面内的所有直线？若不能，请说明哪类直线不
能.
③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什
么结论？
④直线b kx y +=中k 的几何意义是 ，b 的几何意义
是 .
三、合作探究
例1：一条直线经过点)3,2(1-P ，倾斜角为o 45，求这条直线的点斜式方程，并在坐标系中画出相应直线的图形.
学法指导：要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件：直线上的已知点和直线的斜率来解题.
变式：
⑴直线过点)3,2(1-P ，且平行于x 轴的直线方程 ； ⑵直线过点)3,2(1-P ，且平行于y 轴的直线方程 ； ⑶直线过点)3,2(1-P ，且过原点的直线方程 . 例2：见课本P94例2
学法指导：本题从两条直线平行和垂直的判定条件方面考虑即可。
自学课本后，合上书，看能不能写出来。
四、交流展示
1. 自主完成课本P95练习1、2，写在课本上即可.
2.完自主成课本P95练习3、4，写在课本空白处即可.
3. 求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.
五、达标检测
1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（ ）.
A
20y ++-= B 360y +++=
C ．
40x +-= D ．40x ++=
2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）.
A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-
B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1
C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-
D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-
3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）.
A ．(0,0)
B ．（3，1）
C ．(1,3)
D ．(1,3)--
4.求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.。