第九章 概率统计计算Mathematica

解: In[1]:= <<Statistics`DescriptiveStatistics` *调用统计软件包 调用统计软件包 In[2]：=dat={3.2, 5.1, 1, 4, 2}； ： ； In[3]:=Mean[dat] Out[3]:=3.06 In[4]:=Median[dat] Out[4]:=3.2 In[5]:= Variance[dat] Out[5]:= 2.608 In[6]:= StandardDeviation[dat] Out[6]:= 1.61493 In[7]:=dat1=Table[Random[],{20}] Out[7]:= {0.93234, 0.439331, 0.407442, 0.469035, 0.741679, 0.884562, 0.111029, 0.696056, 0.0591917, 0.622276, 0.825287, 0.540449, 0.594691, 0.597846, 0.490196, 0.463414, 0.404672, 0.19069, 0.105273, 0.942455} In[8]:=Mean[dat1] Out[8]:= 0.525896 In[9]:=Median[dat1] Out[9]:= 0.515323 In[10]:= Variance[dat1] Out[10]:= 0.0724088 In[11]:= StandardDeviation[dat1] Out[11]:= 0.269089
HypergeometricDistribution[n, nsucc, ntot]
StandardDeviation[distribution] 计算离散分布 计算离散分布distribution的标准差 的标准差
例2： 设随机变量ξ服从参数为0.8的泊松分布 ： （1）求随机变量ξ的均值、中值、方差、标准差和分布律。 ξ （2）求随机变量 ξ ≥ 4的概率 解: 泊松分布是离散分布,故需调用处理离散概率问题的软件包,执行 命令为 In[1]:= <<Statistics`DiscreteDistributions` *调用统计软件包 调用统计软件包 In[2]：=s=PoissonDistribution[0.8] Out[2]:= PoissonDistribution[0.8] In[3]:= {Mean[s], Variance[s], StandardDeviation[s] } Out[3]:= {0.8, 0.8, 0.894427} In[4]:= PDF[s, k] Exp[-1*0.8] 0.8 k Out[4]:=If[!Negative[k], If[IntegerQ[k], -------------------- , 0 ], 0] k! 因为概率P(ξ In[5]:= 1-CDF[s,3] *因为概率 ξ ≥ 4)=1- P(ξ < 4) 因为概率 ξ Out[5]:= 0.00907986
需调用Statistics`DiscreteDistributions`软件包 软件包 需调用 才能使用的概率分布和函数: 才能使用的概率分布和函数
BernoulliDistribution[p] BinomialDistribution[n, p] GeometricDistribution[p] 表示均值为p的离散伯努力分布 表示均值为 的离散伯努力分布 表示参数为n,p的二项分布 表示参数为 的二项分布b(n,p) 的二项分布 表示参数为p的几何分布 表示参数为 的几何分布 表示参数为n, 表示参数为 nsucc, ntot 的超几何分布 PoissonDistribution[mu] PDF[distribution, k] CDF[distribution, x] P{ξ<x} ξ Mean[distribution] Variance[distribution] Random[distribution] 表示参数为mu的F泊松分布 的 泊松分布 表示参数为 离散分布distribution的分布律 ξ=k} 的分布律P{ξ 离散分布 的分布律 概率分布为distribution且随机变量小于值 的概率 且随机变量小于值x的概率 概率分布为 且随机变量小于值 计算离散分布distribution的均值 的均值 计算离散分布 计算离散分布distribution的方差 的方差 计算离散分布 产生具有概率分布为 distribution一个伪随机数 一个伪随机数
例3：设随机变量ξ服从正态分布N(0,32), ： （１）求出对应的分布密度函数,并画出对应的分 布密度函数图形 （２）求随机变量ξ<2的概率 解:Mathematica命令为: In[1]:= <<Statistics`ContinuousDistributions` In[2]:= dis=NormalDistribution[0,3] Out[2]:= NormalDistribution[0, 3] In[3]: =PDF[dis,x] 1 Out[3]= ------------------x2 /18 3E Sqrt[2 Pi] In[4]:= Plot[PDF[dis,x], {x,-10,10}, PlotRange>All ] Out[4]:=-GraphicsIn[5]:= CDF[dis,2] *求随机变量ξ<2的 求随机变量ξ 的 求随机变量
9.2 Mathematica概率统计软件包中最常用的命令 概率统计软件包中最常用的命令 为了使用的方便,下面写出一些概率统计软件包中 最常用的内容及其调用文件名
需调用Statistics`DescriptiveStatistics`软件包才能使 软件包才能使 需调用 用的函数: 用的函数 Mean[data] 计算样本数据data的均值 Median[data] 计算样本数据data的中值 Variance[data] 计算样本数据data的方差
例5：假设投掷一个均匀硬币只能出现正面和反面两种情况, 用Mathematica 命令来验证投掷出现正面的概率为0.5。 解：设X表示投掷一个均匀硬币出现正面和反面的随机变量，它只取两个值0 和1, 采用具有概率分布均值为0.5的离散伯努力分布 BernoulliDistribution[0.5] 产生的伪随机数 Random[BernoulliDistribution[0.5]] 来模拟实际投掷一个均匀硬币 的情况，规定出现随机数是1表示投掷硬币出现正面;0 表示投掷硬币出 现反面。命令中分别用产生的100个伪随机数、500个伪随机数和1000 个伪随机数出现数1的频率来验证投掷出现正面的概率为0.5的结论，命 令为：
第九章 概率统计计算
北京交通大学
9.1 概率统计软件包
Mathematica可以处理概率统计方面的计算 有关的命 可以处理概率统计方面的计算,有关的命 可以处理概率统计方面的计算 令都在Mathematica自带的统计软件包中 这些软件包 自带的统计软件包中, 令都在 自带的统计软件包中 存放在Mathematica系统自己带有程序包 存放在 系统自己带有程序包,存放在 存放在 系统自己带有程序包 C:\wnmath22\Packges\Statisti目录中 用户可以在 目录中,用户可以在 目录中 Mathematica的工作窗口键入 的工作窗口键入Ctrl+ O,调出 调出Open窗口 窗口, 的工作窗口键入 调出 窗口 将该窗口左下脚的文件类型选为Packages (*.m), 并用 将该窗口左下脚的文件类型选为 鼠标双击文件夹packages打开其中的子文件夹 然后任 打开其中的子文件夹,然后任 鼠标双击文件夹 打开其中的子文件夹 意双击Statisti文件夹 就可以在窗口左上部分看到很多 文件夹, 意双击 文件夹 为扩展名的Mathematica所有自带的概率统计软 以.m为扩展名的 为扩展名的 所有自带的概率统计软 件包文件: 见图 见图) 件包文件 (见图
In[1]:= <<Statistics`DiscreteDistributions` *调用统计软件包 调用统计软件包 In[2]：= sy[n_]:=Module[{face,s}, *定义模拟函数 定义模拟函数 s=BernoulliDistribution[0.5]; For[face=0;i=1, i<=n, i=i+1, If[Random[s]==1, face=face+1] ]; N[face/n] ] In[3] = { sy[100], sy[500], sy[1000] } Out[3]={ 0.53, 0.514, 0.472 }
StandardDeviation[data] 计算样本数据data的标准差
注意: 注意 data是由离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数据组成的表 是由离散数据组成的表
例1： 1) 已知样本数据为dat={3.2,5.1,1,4,2},试计算dat的均值、中值、方差、标 ： 准差。 2) 产生[0，1]上的20个随机实数，并计算它们的均值、中值、方差、标准 差。
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Mathematica中的部分概率统计软件包文件名 调用名称及涉及的问题 中的部分概率统计软件包文件名,调用名称及涉及的问题 中的部分概率统计软件包文件名
软件包文件名 confiden.m continuo.m descript.m discrete.m hypothes.m linearre.m nonlinear.m 调用名称 Statistics`ConfidenceIntervals` Statistics`ContinuousDistributions` Statistics`DescriptiveStatistics Statistics`DiscreteDistributions` Statistics`HypothesisTests` Statistics`LinearRegression` Statistics`NonlinearFit` 涉及的问题 置信区间 连续分布 统计函数的说明 离散分布 假设检验 线性回归 非线性拟合
从模拟试验结果可以看到投掷出现正面的概率在0.5附近波动。
需调用Statistics`ContinuousDistributions`软件包 软件包 需调用 才能使用的概率分布和函数
BetaDistribution[α, β] α 表示参数为 α和β的Beta连续分布 连续分布 CauchyDistribution[α, λ] 表示参数α α 表示参数α和λ的柯西连续分布 ChiSquareDistribution[n] 个自由度的χ 表示有 n个自由度的χ2 连续分布 个自由度的 ExponentialDistribution[lambda] 表示参数为 θ的指数连续分布 "FRatioDistribution[n1, n2] 表示分子参数为n1和分母参数为 和分母参数为n2的 连续分 表示分子参数为 和分母参数为 的F连续分 布 NormalDistribution[, σ ] 表示均值为标准差为σ的正态分布N 表示均值为标准差为σ的正态分布 (, σ 2) RayleighDistribution[σ] 表示参数为σ σ 表示参数为σ的瑞利连续分布 "StudentTDistribution[n] 个自由度的t 表示有 n个自由度的 连续分布 个自由度的 UniformDistribution[min, max] 表示[min, max] 区间上的均匀分布 表示 PDF[distribution, x] 概率分布为distribution的分布密度函数 的分布密度函数f(x) 概率分布为 的分布密度函数 CDF[distribution, x] 概率分布为distribution且随机变量小于值 的概 且随机变量小于值x的概 概率分布为 且随机变量小于值 率P{ξ<x} ξ Mean[distribution] 计算概率分布为distribution均值 计算概率分布为 均值 Variance[distribution] 计算概率分布为distribution方差 计算概率分布为 方差 StandardDeviation[distribution] 计算概率分布为 计算概率分布为distribution标准差 标准差 Random[distribution] 产生具有概率分布为 distribution一个伪随机数 一个伪随机数