1 波函数的统计解释习题解答

(r )∇ψ
*(r) −ψ
*(r)∇ψ (r)).
与
t
无关。
17. 判断正误：(1) 定态 S 方程的解 ψ(r) 是定态波函数。 (2) 根据态叠加原理定态 S 方
3
程的的两个解 ψ1(r), ψ2(r) 的线性叠加仍然是该方程的解。 [解] (1) 是错误的，定态波函数应该有时间因子。(2) 一般也是错的，除非ψ1(r), ψ2(r)
∫ 求？ [解]
|ψ (r,t) |2 dτ
r→0
→
|ψ (r, t) |r2→0
4 π r3 3
→ 有限，则 r→0 时，要求波函数
ψ (r, t) → ∞ 的速度不快于 1/r 3/2 。
8. 平面波复习
如果某一自由粒子，其波函数为平面波 ψ = Aei(kir−ω⋅t) 指出其传播方向，求其相速度。
[解] 对自由的低速运动粒子E = p2 / 2m = mv2 / 2 ，而 λ = h / p = h / 2mE ，所以 微尘 λ = 6.6 ×10−17 A,子弹 λ = 6.6 ×10−25 A, 即波长非常小，波动性可忽略不计。
2. 为什么在量子力学中要放弃粒子轨道的概念？ 首先，由于波函数 |ψ(r, t)| 2 给出了 t 时刻，在空间任意点 r 附近单位体积元内找到粒
子的概率，所以从逻辑上说，就必须废弃粒子运动轨道的概念。这是因为如果微观粒子沿
轨道运动，则只能在轨道上找到粒子，而不可能在“任意点” 附近找到粒子。 其次，微观粒子的轨道是不可观测的，而量子理论的一个特点就是只研究可观测物理量
(Heisenberg)，对于在微观上没有实验根据的经典概念，在量子力学中是没有其地位的，“粒 子轨道”就是其中之一。
能量取值的相对概率也是如此。
2
11. 一维无限深势阱中的粒子波函数为两个定态波函数的迭加
1
1
π sin
(x + a)e−iE1t /
+
3
1
π sin
(x + a)e−iE2t /
ψ = 2 a 2a
2a a
(| x |< a)
0
其中
E1
=
π2 2 8µa2
，E2
=
π2 2 2µa2
.
(| x |> a)
理论的发展表明，该方程虽然不能描写单个的自由粒子，但是可以看作是自由粒子 的场方程，用于建立自由粒子场的量子理论。这在《量子场论》的课程中会讲到。
2. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子能量相等，问要实现这 种转化，光子的波长最大是多少？
[解] 根据能量守恒定律，两光子的能量之和 2hν = 2hc / λ ≥ 正负电子静止时的能量 2µ0c2 时，才有可能实现这种转化(前者能量大于后者时,多余的能量转化为正负
[解]平面波 t 时刻的等相面由 k•r –ω t = C 确定。这是一个平面的方程。该平面必与 k
垂直，这样 kir = kr cosθ = kr⊥ 才能成为与 r 方向无关的常数。 k
(其中 r⊥ 是坐标原点到等相面的垂直距离)
从而所有 r 点的集合能构成等相面。
o⊥ • •
随着时间的增加，为了保持相位扔然为同一个值 C， 该等相面必须要在空间中沿 k 方向移动，
4
4. 为什么量子力学中的波函数可以归一化？经典波如声波、电磁波等可以归一化吗？ 经典波是某个物理量的波动，其幅度的改变必然导致其强度的改变(波幅的平方为强
度)，所以“归一化”就会改变该物理量的大小和波的强度，因而是不能允许的。 量子力学中粒子波是概率幅(其绝对值的平方为概率)的波动，而概率与经典物理量的
与非相对论的薛定谔方程不同，该方程对时间和坐标的微商都是二次的，具有同等的 地位，所以是一个相对论性的方程。但由于能量以平方形式出现，粗略地说开平方后， 除正能解外还会出现负能解(严密的论证见量子力学教科书)，这对自由粒子而言是个 严重问题，因为根据能量越低越稳定的概念，自由粒子会跌入能量为负无穷的深渊。 所以自由粒子的相对论性的克来因−戈登方程没有得到应用。
也就是说粒子的在空间的位置是完全不确定的。
14. 求具有确定动量的自由粒子的概率流密度。
[解] 把 ψ = Aei(pir−E⋅t)/
代入 J = − i (ψ *∇ψ −ψ∇ψ *) 2µ
它与该自由粒子的动量方向一致。
得 J = 1 | A |2 p µ
15. 求概率流密度
(1)
ψ1
=
1 r
eikr
对应的能量是相等的。
(二) 补充题
1. 用代换 E → i
∂, ∂t
p → −i ∇,
导出自由粒子相对论性的克来因-戈登方程。
[解] 自由粒子相对论性的能量表达式为 E2 = c2 p2 + µ 2c4 ,利用如上代换即可得
(− 2∂2 / ∂t2 )ψ = (− 2c2∇2 + µ 2c4 )ψ ,
(2)
ψ2
=
1 r
e−ikr
(由于时间因子
e−iω⋅t 对概率流密度没有贡献，略写)
根据计算结果，说明 ψ1,ψ 2 分别是向外和向内传播的球面波。
[解]
利用球坐标的
∇
运算公式
∇ = er
∂ ∂r
+ eθ
1∂ r ∂θ
+ eϕ
1 r sinθ
∂ ∂ϕ
得到
J1
=
k µr2
er
，J 2
=
−
k µr2
er
一个截然不同的特点是，其绝对大小是不重要的，重要的是空间各处找到粒子概率的相 对大小。归一化虽然改变了粒子波的幅度，却不改变空间各处找到粒子的概率之相对大 小，因而不会改变波函数所描写的粒子状态。
波函数的这个特性是由粒子波的统计性质所造成的。 微观粒子的波动是一个统计性质的波动，这一点造成了量子力学和经典力学在很多观 念上的巨大差异，也给我们理解量子力学造成了困难。
设 t+dt 时，o⊥ 点随等相面运动到 o′⊥ 点，此时有
r⊥ θ r o
kioo′⊥ − ω(t + dt) = C，与 kioo⊥ − ω ⋅t = C
k
相减，得
kdr⊥ − ωdt = 0
→
dr⊥ = ω dt k
其中 dr⊥ 为两等相面之间的垂直距离。
o′⊥• t + dt dr⊥
o⊥• t
0
0
1
∫ (2)在立体角中找到粒子的概率 =
∞ r2dr |ψ (r,θ ,ϕ,t) |2dΩ 。
0
6. 计算归一化常数
证明 Asin nπ (x + a) (| x |< a)
ψ(x) =
2a
0
(| x |> a)
[解] 略
的归一化常数是 A = 1/ 。a
7. 若 r = 0 处是波函数的奇点，为了保证概率的有限性，对波函数 r→0 的性质有什么要
电子的动能)。所以有 2hc / λm = 2µ0c2 → λm = h / µ0c.
3. 证明正负电子对不可能湮灭成为一个光子。 [证] 从正负电子对的质心系来看，两电子动量大小相等，方向相反，即总动量为 0。 由于不存在静止的光子，所以一个光子的动量不可能为 0。所以这个转化违反 动量守恒定律，不可能存在。
此波函数是否已归一化？并求能量取值为 E1和
E2
的概率。
[解]
此波函数已经归一化，E1和
E2
的取值概率分别为 | 1 |2 = 1 24
和|
3 |2 = 3 .。 24
12. 两粒子体系的波函数为 ψ (r1, r2 , t) ，求 t 时刻观测到粒子 1 在 r1 附近体积元 dτ1
中的概率。
[解] |ψ (r1, r2 , t) |2 dτ1dτ 2 是粒子 1 出现在在 r1 附近体积元 dτ1，且粒子 2 出相速度)为 ω / k 。 o
9. 微观自由粒子的动量是否具有确定取值？其波函数是否是平面波？
[解] 不一定，根据态叠加原理，微观自由粒子的状态可以是具有各种动量的状态的
∑ 迭加，即 ψ = i Aiei(pi ir−Ei⋅t)/ 。也就是平面波的迭加。
而宏观自由粒子一定有一个确定的，不随时间而变的动量。两者之间的差别耐人寻
量子力学习题集
卢大海 北京大学物理学院
第四章 计算题参考解答 一. 波函数及其统计解释
(一) 训练底线题 1. 为什么看不到宏观粒子的波动性？以微尘：m =10 −12克，v =1 cm /秒，子弹：m =20克，
v =500 m /秒为例，计算它们的 de Broglie 波长，说明波动可以忽略不计。
在在 r2 附近体积元 dτ2 中的概率。由于本题对粒子 2 的位置没有限制，它 可以出现在空间任何地点，所以应该对 dτ2 求积分，即
∫ 概率 = dτ1 |ψ (r1,r2 , t) |2dτ 2
。 13. 如果某一自由粒子其波函数为平面波。求其概率密度，并说明计算结果的含义。
[解] |ψ |2 =| Aei(pir−E⋅t)/ |2 =| A |2 ，这说明粒子出现在空间各点的概率是相等的。
5.在球坐标中粒子的波函数为 ψ(r,θ,ϕ,t)，求在 t 时刻 (1)在球壳 (r, r+dr) 中找到 粒子的概率。(2) 在(θ,ϕ)方向的立体角 dΩ = sinθdθdϕ 中找到粒子的概率。
[解] 体积元在球坐标中为 dτ = r2 sinθ dθ dϕdr
∫ ∫ (1)在球壳中找到粒子的概率 = π dθ 2π dϕ |ψ (r,θ ,ϕ, t) |2 r2dr ，
3. 在经典力学和量子力学中，粒子的状态各用什么描写？谈谈你的理解。 在经典力学中，点粒子的状态用其坐标 r 和动量 p 来描写，其含义是由它们可以得到该