01-命题逻辑-1.8
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R：你知道小李是先进工作者，S：小赵是先进工作者
来自百度文库
设：P：小李是先进工作者，Q：小张是先进工作者 推理练习 前提： P ∨ Q，P R ， Q S ， R 证明：(1) (2) (3) R P R P P P T (1) (2) I9
2013年8月13日星期二
而C为假，则推理形式H1, H2, …, Hn C是无效的。 否则，推理是有效的
此时称C为H1, H2, …, Hn 的有效结论
推理
定理
2013年8月13日星期二
推理形式H1, H2, …, Hn C是有效的，
当且仅当命题公式(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 是永真式， 即(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 。
推理规则
定理： 若 H1, H2, …, Hn, R C 则H1, H2, …, Hn R C
2013年8月13日星期二
证明：若H1, H2, …, Hn, R C
则(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧ R ) C 为永真式，
即 ((H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ) ∧ R ) ∨ C为永真式
对结论形式为R C的证明
根据 条件式转换律 E11 ： A B B A
2013年8月13日星期二
可以假设B为假，只要能推得A也为假，则 B A为真，
即A B 为真 这叫作“逆反证明法”
对结论形式为R C的证明
证明：(1) Q P（假设前提）
2013年8月13日星期二
真值表法
在例1.50中：
2013年8月13日星期二
已知H1：P Q， H2：P，是否能推出结论C：Q 可以仅这样构造真值表： P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 1 1 0 1
可知，结论Q为假时，前提P Q 和P至少有一个为假因此
H1, H2 C有效
演绎法
演绎法
2013年8月13日星期二
T (8) E11
推理练习
例1.55 已知以下前提，求谁是先进工作者： 小李或小张是先进工作者
2013年8月13日星期二
前提： P ∨ Q
P R Q S
若小李是先进工作者，你是会知道的
如果小张是先进工作者，小赵也是先进工作者 你不知道小李是先进工作者 R
设：P：小李是先进工作者，Q：小张是先进工作者
推理
定义2
2013年8月13日星期二
数理逻辑中，前提H是一个或几个命题公式H1, H2, … Hn， 结论是一个命题公式C
由前提得到结论的推理形式可表示为
H1, H2, …, Hn C 推理形式是命题公式的一个有限序列 H1, H2, … Hn, C
推理
定义3
2013年8月13日星期二
若存在H1, H2, … , Hn, C的一个指派，使得每个Hi为真，
真值表法
为了简便起见，提供两种方法： 方法1:
2013年8月13日星期二
在真值表中，先找出前提H1, H2, …, Hn的真值均为真的行， 若相应行中结论C的真值也为真， 则H1, H2, …, Hn C为有效结论
真值表法
在例1.50中：
2013年8月13日星期二
已知H1：P Q， H2：P，是否能推出结论C：Q
第一章 命题逻辑
第八节 命题逻辑的推理理论
第八节 命题逻辑的推理理论
2013年8月13日星期二
数理逻辑的主要任务是提供一套推理规则（与这些推理规则 有关的理论叫做推理理论），按照这种公认的推理规则，从 给定的前提集合出发，推导出一个结论来。 这样的推导过程，通常称为有效推理（或演绎、形式证明） 得到的结论叫作有效结论。
2013年8月13日星期二
间接证明法
P PQ Q ( Q ∨ R) Q∧R Q Q∧ Q P（假设前提） P T (1) (2) I8 P T (4) E5 T (5) I1 T (3) (6)
2013年8月13日星期二
例1.52 证明：从前提P Q， ( Q ∨ R) 得到结论 P 证明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
对结论形式为R C的证明
证明：(1) S P（假设前提）
2013年8月13日星期二
例1.54 前提：P ∨ Q， P R， R S，结论： S Q
(2)
(3)
RS
R
P
T (1) (2) I9
(4)
(5) (6) (7) (8)
PR
P P∨Q Q SQ
P
T (3) (4) I9 P T (5) (6) I10 CP (1) (7)
对结论形式为R C的证明
RS
2013年8月13日星期二
例1.53 证明：从前提P (Q S)， R ∨ P ，Q 得到结论
证明：(1)
(2) (3) (4) (5) (6) (7)
R
R∨P P P (Q S) QS Q S
P（假设前提）
P T (1) (2) I10 P T (3) (4) I8 P T (5) (6) I8
2013年8月13日星期二
证明： H1, H2, …, Hn C 当且仅当(H1∧H2∧…∧Hn) C为 定理：设H1, H2, …, Hn , C为公式，
重言式，即 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ C为重言式 且H1, H2, …, Hn是相容的，
当且仅当 ( (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ C )为矛盾式 若H1, H2, …, Hn , C是不相容的， 即(H1则C是H , … , …, n) ∧ C 为矛盾式 ∧ H2 ∧ H ∧ H H 的有效结论
(10)
P，(P∨Q) Q
推理常用的方法
四、推理常用的方法 真值表法 演绎法 间接证明法 对于结论形式为R C的证明方法
2013年8月13日星期二
真值表法
真值表法
2013年8月13日星期二
根据给定前提H1, H2, …, Hn和结论C
构造条件式(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 的真值表 若该条件式为永真式，则结论C是有效的，
对结论形式为R C的证明
对结论形式为R C的证明 , R C 定理： 若 H1, H2, …, Hn
2013年8月13日星期二
证明R为假，因而得到为R C真 则H1, H2, …, Hn R C
证明C为真，因而得到为R C真 CP规则：
假设R为真，若能得到C为真，则为R C真
P：这里有球赛 Q：通行是困难的 R：他们按时到达
结论： P
P P T (1) (2) I8 P T (3) (4) I9
间接证明法
间接证明法
2013年8月13日星期二
也叫反证法
把结论的否定作为前提，与给定前提一起推证 若能引出矛盾，则说明结论是有效的
间接证明法
2013年8月13日星期二
定义：设H1, H2, …, Hn为公式，若对任意公式R， 有(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) R∧ R ， 则称公式 H1, H2, …, Hn是不相容的，
2013年8月13日星期二
设：设P：这里有球赛，Q：通行是困难的，R：他们按时到达 因此：前提是：P Q， R Q，R 结论是： P
演绎法
前提：P Q， R Q，R 证明： (1) (2) (3) (4) (5) 证毕 R R Q Q PQ P
2013年8月13日星期二
否则称公式 H1, H2, …, Hn是相容的
也就是说，若存在一种赋值，使H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn为真，
则公式 H1, H2, …, Hn是相容的
否则，公式 H1, H2, …, Hn是不相容的
间接证明法
定理： H1, H2, …, Hn C 当且仅当 H1, H2, …, Hn , C是不相容的
三、推理定律
P，Q P P，Q Q
(11) (12) (13) (14)
(P→Q)，(Q→R) P→R (PQ)，(QR) PR (P→Q)，(R→S)，(P∧R) Q∧S (P→Q)，(R→S)∧(P∨R) Q∨S
(3) P24 P∨Q P (4) P P→Q
(5)
(8)
RS
CP (1) (7)
对结论形式为R C的证明
例1.54 设有下述情况，试证明结论是否有效 或者是天晴，或者是下雨 如果是天晴，我去看电影
2013年8月13日星期二
前提：P ∨ Q
PR RS
如果我去看电影，我就不看书
结论：如果我在看书，则天在下雨 结论： S Q 设：P：天晴，Q：下雨，R：我去看电影，S：我看书
命题逻辑的推理理论
2013年8月13日星期二
在这里，我们关心的是推理的有效性，而不是结论的真实性。
前提的实际真值并不作为确定推理有效性的依据。
所谓推理有效，是指它的结论是其前提的合乎逻辑的结果。
推理
一、推理的基本概念和推理形式 定义1
2013年8月13日星期二
推理，也叫论证，指由已知命题得到新的命题的思维过程 其中， 已知命题称为推理的前提或假设 推出的新命题称为推理的结论
例1.54 前提：P ∨ Q， P R， R S，结论： S Q
(2)
(3) (4) (5) (6) (7) (8)
P∨Q
P PR R RS S QS
P
T (1) (2) I10 P T (3) (4) I8 P T (5) (6) I8 CP (1) (7)
(9)
SQ
即H1, H2, …, Hn C是有效的
真值表法
例1.50
2013年8月13日星期二
已知 H1：P Q， H2：P，是否能推出结论 C：Q 解：构造真值表：
P Q
0 0 0 1
PQ
1 1
(P Q) ∧P
0 0
((P Q) ∧P) Q
1 1
1 0 1 1
0 1
0 1
1 1
可知， ((P Q) ∧P) Q是永真式，因此结论有效。
由P14基本蕴涵公式得出
Q P→Q
特别当Q=S时，有
(6) P10的基本等价式也可以得到相应的推理定律，请自己补齐。 (P→Q) P (P→Q)，(R→Q)，(P∧R) Q (7) (8) (9) (P→Q) Q P，(P→Q) Q Q，(P→Q) P (15) (P→Q)，(R→S)，(P∨R) Q P→Q (P∨R)→(Q∨R) P→Q (P∧R)→(Q∧R)
1 2 n
即H1, H2, …, Hn , C是不相容的
间接证明法
例1.51 前提：P Q， R Q，R 证明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) P PQ Q R R Q Q Q∧ Q 结论： P P（假设前提） P T (1) (2) I8 P P T (4) (5) I8 T (3) (6)
推理规则
二、推理规则 P规则（前提引入规则） 在推导过程中，前提可视需要引入 T规则（结论引入规则）
2013年8月13日星期二
在推导过程中，前面已经导出的有效结论都可以作为后续
推导的前提引入
CP规则
若推出有效结论为条件式R C时，只需要将其前件R加 入到前提中作为附加前提，再去推出后件C即可。
可以仅这样构造真值表：
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 1 1 0 1
可知，前提P Q 和P为真时，结论Q为真
因此H1, H2 C有效
真值表法
方法2:
2013年8月13日星期二
在真值表中，先找出结论C为假的行，
若这些行中，前提H1, H2, …, Hn的真值至少有一个为假， 则H1, H2, …, Hn C为有效结论
则 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ R ∨ C为永真式
则 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ) ∨ (R C)为永真式
即(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) (R C) 为永真式
因此，可得H1, H2, …, Hn R C
推理定律
(1) (2)
2013年8月13日星期二
定义：从前提H推出结论C的一个演绎，是构造命题公式 的一个有限序列 A1, A2, …, An
其中Ai是前提H中的某个前提Hi，或者是从Hi或Aj(j<i)得
到的有效结论，并且 An就是C， 则称公式C是该演绎的有效结论，或者称从H演绎出C
演绎法
例1.51 考虑下述论证 如果这里有球赛，则通行是困难的 如果他们按时到达，则通行是不困难的 他们按时到达了 所以这里没有球赛
来自百度文库
设：P：小李是先进工作者，Q：小张是先进工作者 推理练习 前提： P ∨ Q，P R ， Q S ， R 证明：(1) (2) (3) R P R P P P T (1) (2) I9
2013年8月13日星期二
而C为假，则推理形式H1, H2, …, Hn C是无效的。 否则，推理是有效的
此时称C为H1, H2, …, Hn 的有效结论
推理
定理
2013年8月13日星期二
推理形式H1, H2, …, Hn C是有效的，
当且仅当命题公式(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 是永真式， 即(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 。
推理规则
定理： 若 H1, H2, …, Hn, R C 则H1, H2, …, Hn R C
2013年8月13日星期二
证明：若H1, H2, …, Hn, R C
则(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧ R ) C 为永真式，
即 ((H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ) ∧ R ) ∨ C为永真式
对结论形式为R C的证明
根据 条件式转换律 E11 ： A B B A
2013年8月13日星期二
可以假设B为假，只要能推得A也为假，则 B A为真，
即A B 为真 这叫作“逆反证明法”
对结论形式为R C的证明
证明：(1) Q P（假设前提）
2013年8月13日星期二
真值表法
在例1.50中：
2013年8月13日星期二
已知H1：P Q， H2：P，是否能推出结论C：Q 可以仅这样构造真值表： P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 1 1 0 1
可知，结论Q为假时，前提P Q 和P至少有一个为假因此
H1, H2 C有效
演绎法
演绎法
2013年8月13日星期二
T (8) E11
推理练习
例1.55 已知以下前提，求谁是先进工作者： 小李或小张是先进工作者
2013年8月13日星期二
前提： P ∨ Q
P R Q S
若小李是先进工作者，你是会知道的
如果小张是先进工作者，小赵也是先进工作者 你不知道小李是先进工作者 R
设：P：小李是先进工作者，Q：小张是先进工作者
推理
定义2
2013年8月13日星期二
数理逻辑中，前提H是一个或几个命题公式H1, H2, … Hn， 结论是一个命题公式C
由前提得到结论的推理形式可表示为
H1, H2, …, Hn C 推理形式是命题公式的一个有限序列 H1, H2, … Hn, C
推理
定义3
2013年8月13日星期二
若存在H1, H2, … , Hn, C的一个指派，使得每个Hi为真，
真值表法
为了简便起见，提供两种方法： 方法1:
2013年8月13日星期二
在真值表中，先找出前提H1, H2, …, Hn的真值均为真的行， 若相应行中结论C的真值也为真， 则H1, H2, …, Hn C为有效结论
真值表法
在例1.50中：
2013年8月13日星期二
已知H1：P Q， H2：P，是否能推出结论C：Q
第一章 命题逻辑
第八节 命题逻辑的推理理论
第八节 命题逻辑的推理理论
2013年8月13日星期二
数理逻辑的主要任务是提供一套推理规则（与这些推理规则 有关的理论叫做推理理论），按照这种公认的推理规则，从 给定的前提集合出发，推导出一个结论来。 这样的推导过程，通常称为有效推理（或演绎、形式证明） 得到的结论叫作有效结论。
2013年8月13日星期二
间接证明法
P PQ Q ( Q ∨ R) Q∧R Q Q∧ Q P（假设前提） P T (1) (2) I8 P T (4) E5 T (5) I1 T (3) (6)
2013年8月13日星期二
例1.52 证明：从前提P Q， ( Q ∨ R) 得到结论 P 证明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
对结论形式为R C的证明
证明：(1) S P（假设前提）
2013年8月13日星期二
例1.54 前提：P ∨ Q， P R， R S，结论： S Q
(2)
(3)
RS
R
P
T (1) (2) I9
(4)
(5) (6) (7) (8)
PR
P P∨Q Q SQ
P
T (3) (4) I9 P T (5) (6) I10 CP (1) (7)
对结论形式为R C的证明
RS
2013年8月13日星期二
例1.53 证明：从前提P (Q S)， R ∨ P ，Q 得到结论
证明：(1)
(2) (3) (4) (5) (6) (7)
R
R∨P P P (Q S) QS Q S
P（假设前提）
P T (1) (2) I10 P T (3) (4) I8 P T (5) (6) I8
2013年8月13日星期二
证明： H1, H2, …, Hn C 当且仅当(H1∧H2∧…∧Hn) C为 定理：设H1, H2, …, Hn , C为公式，
重言式，即 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ C为重言式 且H1, H2, …, Hn是相容的，
当且仅当 ( (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ C )为矛盾式 若H1, H2, …, Hn , C是不相容的， 即(H1则C是H , … , …, n) ∧ C 为矛盾式 ∧ H2 ∧ H ∧ H H 的有效结论
(10)
P，(P∨Q) Q
推理常用的方法
四、推理常用的方法 真值表法 演绎法 间接证明法 对于结论形式为R C的证明方法
2013年8月13日星期二
真值表法
真值表法
2013年8月13日星期二
根据给定前提H1, H2, …, Hn和结论C
构造条件式(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) C 的真值表 若该条件式为永真式，则结论C是有效的，
对结论形式为R C的证明
对结论形式为R C的证明 , R C 定理： 若 H1, H2, …, Hn
2013年8月13日星期二
证明R为假，因而得到为R C真 则H1, H2, …, Hn R C
证明C为真，因而得到为R C真 CP规则：
假设R为真，若能得到C为真，则为R C真
P：这里有球赛 Q：通行是困难的 R：他们按时到达
结论： P
P P T (1) (2) I8 P T (3) (4) I9
间接证明法
间接证明法
2013年8月13日星期二
也叫反证法
把结论的否定作为前提，与给定前提一起推证 若能引出矛盾，则说明结论是有效的
间接证明法
2013年8月13日星期二
定义：设H1, H2, …, Hn为公式，若对任意公式R， 有(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) R∧ R ， 则称公式 H1, H2, …, Hn是不相容的，
2013年8月13日星期二
设：设P：这里有球赛，Q：通行是困难的，R：他们按时到达 因此：前提是：P Q， R Q，R 结论是： P
演绎法
前提：P Q， R Q，R 证明： (1) (2) (3) (4) (5) 证毕 R R Q Q PQ P
2013年8月13日星期二
否则称公式 H1, H2, …, Hn是相容的
也就是说，若存在一种赋值，使H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn为真，
则公式 H1, H2, …, Hn是相容的
否则，公式 H1, H2, …, Hn是不相容的
间接证明法
定理： H1, H2, …, Hn C 当且仅当 H1, H2, …, Hn , C是不相容的
三、推理定律
P，Q P P，Q Q
(11) (12) (13) (14)
(P→Q)，(Q→R) P→R (PQ)，(QR) PR (P→Q)，(R→S)，(P∧R) Q∧S (P→Q)，(R→S)∧(P∨R) Q∨S
(3) P24 P∨Q P (4) P P→Q
(5)
(8)
RS
CP (1) (7)
对结论形式为R C的证明
例1.54 设有下述情况，试证明结论是否有效 或者是天晴，或者是下雨 如果是天晴，我去看电影
2013年8月13日星期二
前提：P ∨ Q
PR RS
如果我去看电影，我就不看书
结论：如果我在看书，则天在下雨 结论： S Q 设：P：天晴，Q：下雨，R：我去看电影，S：我看书
命题逻辑的推理理论
2013年8月13日星期二
在这里，我们关心的是推理的有效性，而不是结论的真实性。
前提的实际真值并不作为确定推理有效性的依据。
所谓推理有效，是指它的结论是其前提的合乎逻辑的结果。
推理
一、推理的基本概念和推理形式 定义1
2013年8月13日星期二
推理，也叫论证，指由已知命题得到新的命题的思维过程 其中， 已知命题称为推理的前提或假设 推出的新命题称为推理的结论
例1.54 前提：P ∨ Q， P R， R S，结论： S Q
(2)
(3) (4) (5) (6) (7) (8)
P∨Q
P PR R RS S QS
P
T (1) (2) I10 P T (3) (4) I8 P T (5) (6) I8 CP (1) (7)
(9)
SQ
即H1, H2, …, Hn C是有效的
真值表法
例1.50
2013年8月13日星期二
已知 H1：P Q， H2：P，是否能推出结论 C：Q 解：构造真值表：
P Q
0 0 0 1
PQ
1 1
(P Q) ∧P
0 0
((P Q) ∧P) Q
1 1
1 0 1 1
0 1
0 1
1 1
可知， ((P Q) ∧P) Q是永真式，因此结论有效。
由P14基本蕴涵公式得出
Q P→Q
特别当Q=S时，有
(6) P10的基本等价式也可以得到相应的推理定律，请自己补齐。 (P→Q) P (P→Q)，(R→Q)，(P∧R) Q (7) (8) (9) (P→Q) Q P，(P→Q) Q Q，(P→Q) P (15) (P→Q)，(R→S)，(P∨R) Q P→Q (P∨R)→(Q∨R) P→Q (P∧R)→(Q∧R)
1 2 n
即H1, H2, …, Hn , C是不相容的
间接证明法
例1.51 前提：P Q， R Q，R 证明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) P PQ Q R R Q Q Q∧ Q 结论： P P（假设前提） P T (1) (2) I8 P P T (4) (5) I8 T (3) (6)
推理规则
二、推理规则 P规则（前提引入规则） 在推导过程中，前提可视需要引入 T规则（结论引入规则）
2013年8月13日星期二
在推导过程中，前面已经导出的有效结论都可以作为后续
推导的前提引入
CP规则
若推出有效结论为条件式R C时，只需要将其前件R加 入到前提中作为附加前提，再去推出后件C即可。
可以仅这样构造真值表：
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 1 1 0 1
可知，前提P Q 和P为真时，结论Q为真
因此H1, H2 C有效
真值表法
方法2:
2013年8月13日星期二
在真值表中，先找出结论C为假的行，
若这些行中，前提H1, H2, …, Hn的真值至少有一个为假， 则H1, H2, …, Hn C为有效结论
则 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) ∨ R ∨ C为永真式
则 (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ) ∨ (R C)为永真式
即(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn) (R C) 为永真式
因此，可得H1, H2, …, Hn R C
推理定律
(1) (2)
2013年8月13日星期二
定义：从前提H推出结论C的一个演绎，是构造命题公式 的一个有限序列 A1, A2, …, An
其中Ai是前提H中的某个前提Hi，或者是从Hi或Aj(j<i)得
到的有效结论，并且 An就是C， 则称公式C是该演绎的有效结论，或者称从H演绎出C
演绎法
例1.51 考虑下述论证 如果这里有球赛，则通行是困难的 如果他们按时到达，则通行是不困难的 他们按时到达了 所以这里没有球赛