1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质

(5)a0 a2 a4 a6
奇数项系数之和 偶数项系数之和 系数绝对值之和
(6) a0 a1 a2 a3 ... a7
赋值法 小结：求奇数项系数之和与偶数项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
一般地， (a b) n 展开式的二项式系数
C , C , C （ 1） C C
n r 图象的对称轴： 2
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系 数与 第五项的二项式系数相等，则n=_______ 6
二项式系数的性质2
（2）增减性与最大值 先增后减， 中间项取得最大值
7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7
f (1) f (1) 1 3 a1 a3 a5 a7 2 2
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1)
f (1) a0 a1a2 a3 a7
7
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
二项式系数表 +
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。
例2
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f ( x) (1 2x)
7
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x
7 2 6
nC
n n
n n
Sn nC (n 1)C (n 2)C C
0 n 1 n 2 n
n1 n
0C
n
两式相加
2Sn n(C C C C
0 n 1 n 2 n
n1 n
C ) nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
n n
Sn n 2
n1
倒序相加法
小结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
C 462
5 11
C 462
6 11
二项式系数的性质3
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C 1，上式还可以写成：
即T n1 和T n11 项的二项式系数
2 2
C
n-1 2 n
和C
n 1 2 n
并列最大
知识对接测查2
C x 6x
2 2 4
2
1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 二项式系数最大的项是第
；
3
6 11
项.
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
C ，
.
2.在二项式(x-1)11的展开式中, 最大的系数呢？ 求系数最小的项的系数。
1.3.2 “杨辉三角” 与二项式系数的性质
新课引入 二项式定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r n n Cn a b Cn b
二项式系数指的是那些？
C ,C ,C
1 n 1 n 2 n n n
n1
分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 0 n 1 n1 r n r Cn Cn , Cn Cn Cn Cn 由此分析求解
解 : 设Sn 0 C C 2C 3C (n 1)C
0 n 1 n 1 n 3 n
n1 n
杨辉三角
《 九 章 算 术 》
杨 辉
杨辉三角
《详解九章算法》 中记载的表
立方
三乘 本积 商实 平方
四乘
五乘
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
0 n
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
赋值法
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
n 2 n n 1 2 n n
C
n 1 2 n
为最大值
C C C 2
n 1 n 1
2
例2 已知
2 n ( x ) 的展开式中，第 x
3
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
例2 求证C 2C 3C nC n 2
第几项的二项式系数最大？
二项式系数的性质2
（2）增减性与最大值 当n为偶数时： 二项展开式共有n+1项（奇数项），故中间一 项的二项式系数最大；
即T n 1 项的二项式系数
2
先增后减， 中间项取得最大值
C
n 2 n
最大
当n为奇数时： 二项展开式共有n+1项（偶数项），故中间两 项的二项式系数并列最大。
1 2 3 4 5 6 C0 C C C C C C 6 15 20 15 6 1 6 6 6 6 6 6 6 1 ……………………… …………………………
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
例1、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 0 2 1 3 即证： Cn Cn Cn Cn ＝２n-1 证明
(a + b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
n n
0
1
2 n
,...,C n
n
下面我们来研究二项式系数有哪些性质？
(a + b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
归纳推理——由特殊到一般
(a+b)1 (a+b)2
(a+b)3
C
0 1
C1 1
（ 2）
0 n
1 n
C C
n n 有如下性质： m nm n n m m 1 m n n n 1
C
（3）当 n 为偶数时， C 为最大值 当
0 n 0 n 1 n
n 为奇数时 ，C
1 n n n 2 n 2r n
C C C 2 （4） C C C
3 n 2 r -1 n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
令a=1,b=-1得
C C C ... (1)C ... (1) C (1 1) 0
0 n 1 n 2 n r n n n n 2
C C C C
2 n 1 C C C C 2 2
10
赋值法 7 2 6 7 已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x
求： (1)a0
(2)a0 a1 a2 a3 ... a7 (3)a1 a2 a3 ... a7
所有项的系数和
(4)a1 a3 a5 a7
1
1 1 1 4
1 1
1 2 C0 C C 2 2 2
1 2 3 C0 C C C 3 3 3 3
2
3 3 6
1 1 4 1 1
(a+b)4
(a+b)5 (a+b)6
1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4
3 4 5 2 1 C0 C C C C C 5 5 5 5 5 5
5 10 10 5
0 n 2 n 1 n 3 n n
0 n
2 n
1 n
3 n
特例法 赋值法
知识对接测查3
1.C C C
1 10 2 10 1 11 3 11 5 11
10 10
1 1023 2 _____;
10
9 11 11 11
C C C C C C
7 11
1024 2 _____ .
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6 二项式系数的性质 ① 对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值： 先增后减，中间项取得最大
二项式系数的函数观点
(a b) 展开式的二项式 1 2 n 系数依次是： C0 , C , C , , C n n n n
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n
r n
f (r ) C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质1
（1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．