高考数学专项：抛物线测试题(含详细解析)

高考数学专项：抛物线测试题（含详细解析）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．抛物线2

2x y =的焦点坐标是 （ ） A ．)0,1( B ．)0,41(

C ．)8

1,0( D ． )41,0(

2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为

（ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=

3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）

A ．15

B ．152

C ．2

15

D ．15

4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 2

9

2-

=或x y 342=

B.x y 292-=或y x 342=

C.y x 342=

D.x y 2

92-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t

y t x 22

（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

6．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差

数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列

7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PB PA + 取得

最小值时点P 的坐标是 （ ）

A ．（0，0）

B ．（1，1）

C ．（2，2）

D ．)1,2

1

(

8．已知抛物线)0(22

>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式

2

12

1x x y y 的值一定等于 （ ）

A ．4

B ．－4

C ．p 2

D ．－p

9．过抛物线)0(2

>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，

则

q

p 1

1+= （ ） A ．a 2 B ．a

21

C ．a 4

D ．a

4

10．若AB 为抛物线y 2

=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是

（ ）

A ．

2

a

B ．

2

p

C ．

2

p

a + D ．

2

p

a -

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ．

13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322

--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围

是 ．

14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；

（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．

其中适合抛物线y 2

=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22

=上，△ABC 的重心与此抛物线

的焦点F 重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.

16．（12分）已知抛物线12

-=ax y 上恒有关于直线0=+y x 对称的相异两点，求a 的取值范围.

17．（12分）抛物线x 2

=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.

18．（12分）已知抛物线C ：2

7

42+

+=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．

（1）若C 在点M 的法线的斜率为2

1

-

，求点M 的坐标（x 0，y 0）； （2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由. 19．（14分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作

半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；

（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.

20．（14分）如图, 直线y=

2

1

x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5

交于Q 点.

（1）求点Q 的坐标；

（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方

（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.