19泰勒公式在证明不等式中的几个应用
泰勒公式及其应用
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。
本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。
对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
泰勒公式证明及应用
泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。
泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。
首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。
其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。
关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。
Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
(2021年整理)泰勒公式的证明与应用
泰勒公式的证明与应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明与应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本科生毕业论文（设计）册学院专业班级学生指导教师论文编号目录中文摘要、关键词 (Ⅱ)绪论 (1)一、泰勒简介 (1)二、泰勒公式的证明 (2)2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式 (2)2。
2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (3)2.3几种常见函数的展开式 (4)三、泰勒公式应用 (5)3。
1应用泰勒公式求极限 (5)3.2利用泰勒公式证明不等式……………………………………(7)3。
3 利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性 (11)3。
4利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (13)3。
5 利用泰勒公式证明函数极值 (14)3。
6利用泰勒公式近似计算求值 (14)3。
6.1 对函数的近似计算 (14)3。
6.2求高阶导数在某些点的数值 (16)3.6。
3求行列式的值 (17)参考文献 (20)英文摘要、关键词 (Ⅲ)泰勒公式的证明与应用摘要本文主要介绍了泰勒公式及其常见的几个函数展开式。
在微积分学中，泰勒定理,是给出了一个近似k次可微函数，通过给定k—阶泰勒多项式点周围。
对于解析函数在某一点的泰勒多项式是有限阶泰勒级数，这完全决定在一些点附近的函数。
泰勒公式的初衷也就是用多项式来近似表示函数在某一点周围的情况,从而可以将复杂的函数在定义域内某一具体点展成我们熟悉的多项式,也即用一个多项式函数去逼近原函数,将误差控制在我们需要的范围内，从而更加有利于我们简化计算、思维方式,从而得到我们想要的答案来解决问题。
泰勒公式及其应用
1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。
由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。
使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。
只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。
2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
他的母校为剑桥大学圣约翰学院。
进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。
这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。
1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。
他也学习数学。
1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。
因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。
他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。
除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。
他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。
在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。
直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用江爱珍 B09010108 通信一班摘要：本文简单介绍了泰勒公式，并从六个方面来简要地介绍了其广泛的应用，分别是等式与不等式的证明、极限的计算、近似计算和误差估计，求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值，判断级数的敛散性.关键词：泰勒公式，极限，近似计算和误差估计，极值，展开式，行列式，敛散性引言：泰勒公式是高等数学极其重要的内容，是函数展开的重要工具它可以使较为复杂的函数用简单的多项式函数来表示，更简便的解决数学问题。
本文将用例题来说明泰勒公式的应用的几个方面，并对解题方法做出总结。
一、泰勒公式的介绍18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在其著作《正 的和反的增量方法》中，提出了著名定理——泰勒定理。
泰勒公式有如下两种定义：定义1]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n nfx x x o x x n +-+- （1）这里))((0nx x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnn x o xn fx f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n fR x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xnxxn en xxx eθ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nxo n xxxx x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxx o xn =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n nxo n xxxx x .)(1112nn x o x x x x+++++=- .二、 泰勒公式的应用1.应用泰勒公式证明例1．证明 e x i x ixsin cos += 证明：将cosx ，sinx 在x=0点泰勒展开有：cosx=∑∞=-02)!2()1(n nnn x sinx=∑∞=++-012)!12()1(n n nn x又cosx=∑∞=-02)!2()1(n n n n x =∑∞=022)!2(n n nn xi=∑∞=02)!2()(n nn ixisinx=∑∞=++-012)!12()1(n n n n ix=∑∞=++012)!12()(n n n ix所以 cosx+sinx=∑∞=02)!2()(n n n ix +∑∞=++012)!12()(n n n ix =∑∞=0!)(n nn ix =e ix ,证毕。
19泰勒公式在证明不等式中的几个应用
泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。
特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。
本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。
泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。
泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。
但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：定理1[1]设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0nf x n!0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()(1)(1)!n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()f x = ()0f +()0'f x +()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!nf n nx +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用姓名 刘雷 学号 200725020221 指导老师：王春生阜阳师范学院信息工程学院数学系数学与应用数学专业2007级2班,[摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点 ,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.中间值[关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；凸凹性；拐点；;展开式;近似计算;行列式.1 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用，本文主要叙述其应用，通过大量的例题进行讲解说明。
2 知识点定义2.1 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()f x =0()f x +'0()1!f x （x-0x ）+''0()2!f x (x-20)x +……+()0()!n f x n （x-0)n x +((o x -0))n x (1)这里((o x -0))n x 为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成, ()f x =(0)f +'(0)1!f x+''2(0)2!f x +……()(0)!n nf x n +()n o x 称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式，定义2.2 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则 , ()f x = 0()f x +'0()f x (x -0)x +''0()(2!f x x -20)x +……+()0()(!n f x x n -0)n x +()n R x , （ 2 ） 这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n &=,其中&在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)......()2!!n n n f f f x f f x x x R x n =称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式： 2+1= 1+ + + . . . .+ + 2!!(+1)!n x xn x x e e x x n n α352+12+2sin = + ...+ (1)+ ()3!5!(2+1)!n nn x x x x x o x n -24622cos =1 + +....+ (1) + ()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n . 23ln(1)23x x x x +=-++…1()nn n x n-+(-1)+o x 2(1)(1)12mm m x x x -+=+m +!…+(1)(1)nm m m n x n - !()n +o x21=1+ + + ... + +()1n n x x x o x x. 3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 3.1求极限1sin 2limsin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2limsin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+， 3.2 利用泰勒公式证明不等式例3.2 在[a,b]上f(x)>0，且()0nx f<，试证明2max ()()baa x bf x f x dx b a <<<∫- 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0nx f<可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x -（1）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2）（1）×()q x -(2)+×()x p -得()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()qp x dx dx <(q-p)∫ƒ 即()()()()2qp f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得()()()b c ba a c x dx x dx x dx∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +- ()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3.3 5dx+∞判断广义积分∫的收敛性。
泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。
2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。
3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。
4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。
5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。
此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。
泰勒公式在不等式中的应用
泰勒公式在不等式中的应用泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它用于近似计算函数在一些点附近的值。
泰勒公式的应用非常广泛，不仅在数学中有重要地位，而且在物理、工程等领域中也有广泛应用。
在不等式中，泰勒公式的应用可以帮助我们解决许多复杂的问题，下面就详细介绍一些泰勒公式在不等式中的应用。
1.近似计算：泰勒公式可以将一个函数在特定点附近展开成一个幂级数，从而得到该点附近的函数值的近似值。
通过控制展开的项数，我们可以得到不同精度的近似值。
在不等式中，我们常常需要计算函数在一些特定点的值，而泰勒公式可以帮助我们进行快速的近似计算。
2.函数的最大值和最小值：对于一些函数，我们要求它在一些区间内的最大值或最小值时，通常会用到泰勒公式。
我们首先计算函数在区间端点处的值，然后使用泰勒公式计算函数在端点附近的近似值。
通过比较得到的近似值，我们可以确定函数在给定区间内的最大值或最小值。
3.不等式的证明：对于一些不等式问题，我们需要证明一些函数的性质。
泰勒公式可以帮助我们简化不等式的证明过程。
通过将不等式中的函数展开成泰勒级数，我们可以得到关于函数各阶导数的不等式，进而用数学归纳法证明原不等式的成立。
4.不等式的精确解：在一些不等式问题中，直接找到不等式的精确解并不容易。
泰勒公式可以提供一种逼近的方法，通过展开不等式中的函数，我们可以得到不等式的一个近似解。
然后，我们可以通过迭代等方法，不断提高近似解的精度，最终得到不等式的精确解。
5.不等式的证明：对于一些复杂的不等式问题，我们需要找到一种合适的方法进行证明。
泰勒公式可以帮助我们得到函数在一些点附近的近似值，从而将原不等式转化成一个更简单的不等式。
通过对近似不等式的分析，我们可以得到原不等式的一些性质，从而完成证明过程。
需要注意的是，泰勒公式在不等式中的应用需要一定的数学基础知识和推理能力。
在应用过程中，我们还需要注意确定合适的展开点、控制近似值的精度等问题。
因此，在进行不等式的计算和证明时，我们应该结合具体问题选择合适的方法，以达到更好的效果。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。
当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。
泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。
本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。
第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。
泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。
在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。
可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。
泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。
泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。
浅谈泰勒公式及其应用
［1］潘 晟.掌 握 现 代 网 球 底 线 击 球 技 术 的 教 法 探 索[J].苏 州 大 学 学 报 ：自 然 科 学, 2001,17(4). ［2］ 长 号 . 单 手 正 拍 [J]. 网 球 ,2005(06). ［3］ 张 侠 . 微 观 “ 全 能 王 ” 费 德 勒 [J]. 网 球 天 地 ,2006(12). ［4］ 陶 志 翔 . 网 球 运 动 教 程 [M]. 北 京 :北 京 体 育 大 学 出 版 社 ,2007.
）
＜2 8！
（1
8
）=
1
－6
＜10
2 5160960
于是 姨 e
=1＋
1 2
＋
1 2！
（1
2
） ＋…＋
1
2
7！
（1
7
） ≈1.648721
2
2.2 在求极限方面的应用
对于待定型的极限问题，一般采用洛必达法则来求。 但是对于一
些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况下，泰勒公式
往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。
阶导数。 设 x0 ∈［a，b］为一定点，则对于任意 x∈［a，b］，成立：
（n）
f（x）＝f（x0
）＋f′（x0
）（x－x0
）＋
f″（x0 2！
）
2
（x－x0 ） ＋…＋
f
（x0 ） n！
n
（x－x0 ） ＋rn
（x） （2）
（n＋1）
其中余项
rn
（x ） 满 足
rn
（x）=
f （ξ） （n＋1）！
随着运动技能的巩固和发展， 暂时联系达到非常巩固的程度以 后，动作即可出现自动化现象。 所谓自动化，就是练习某一套技术动作 时，可以在无意识的条件下完成。 其特征是对整个动作或者是对动作 的某些环节，暂时变为无意识的。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用【摘 要】：通过对数学分析的学习我们知道，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式是用一个n 次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.本文首先介绍了泰勒公式的概念，以及泰勒公式的两种不同余项的类型；接着对泰勒公式的应用做了详细的论述，如“近似计算”、“求极限”、 “根的唯一存在性的证明”、 “在不等式证明中的应用”、“判断函数的极值”、“函数凹凸性及拐点判断”等做了详细的介绍,并得出相应的结论.【关键词】： 泰勒公式； 佩亚诺余项； 拉格朗日余项1 引言泰勒（ Taylor ）是18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一.泰勒公式是泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒从牛顿二项式展开定理得到启发，形式上得到下列展开式：,)()(432 +++++=+Dh Ch Bh Ah x f h x f但是他没有给出该展式的证明及其成立的条件.拉格朗日引进了导函数的概念，并证明了公式：,!)(!2)()()()()(2 +++''+'+=+n n h n x f h x f h x f x f h x f 并用余项讨论所展开的泰勒多项式的性质.泰勒公式在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 同时，泰勒公式在分析和研究数学问题中也有着重要作用,它可以应用于求极限、根的存在唯一性的证明、 不等式的证明、判断函数的极值、函数凹凸性及拐点判断等方面.因此，本文对泰勒公式及其应用做了详细论述.2 泰勒公式的基本内容2.1 泰勒公式的概念我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f 在点0x 可导，则有).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量. 然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为))((0n x x -ο，其中n 为多项式的次数.为此，我们考察任一n 次多项式,)()()()(0202010n n n x x a x x a x x a a x P -++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到,!)(,,!2)(,)(,)(0)(201000n n n n n n a n x P a x P a x P a x P ==''='=即.!)(,,!2)(,!1)(),(0)(020100n x P a x P a x P a x P a n n n n n n =''='== 由此可见，多项式)(x P n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定. 定义1：对于一般函数f ，设它在点0x 存在n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T -++-''+-'+=称为函数f 在点0x 处的泰勒（Taylor ）多项式，)(x T n 的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k = 称为泰勒系数.由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的n 阶导数，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x f k n k ==定义2：若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则有 ))(()()(0n n x x x T x f -+=ο即).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 称上式为函数f 在点0x 处的泰勒公式注1： 泰勒公式由)(x f 的n 次泰勒多项式)(x P n 和余项])[()(0n n x x x R -=ο组成，当1=n 时，有))(()()(0001x x x f x f x P -'+=是)(x f y =的曲线在点))(,(00x f x 处的切线（方程），称为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的一次密切.显然，切线与曲线的差异是较大的.当2=n 时，有,)(!2)())(()()(2000002x x x f x x x f x f x P -''+-'+= 是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的“二次切线”，也称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.2泰勒公式的类型及其证明（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒（Taylor ）公式：若函数)(x f 在点0x 存在n 阶导数，则有).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim 0=-x Q x R nn x x 由 n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n nn ， 并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)()1(x f n -.于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到 0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立.注2：当00=x 时, 上式也称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即).(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式若函数f 在],[b a 上有n 阶连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意的],[,0b a x x ∈，必存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中.10),(00<<-+=θθξx x x 称 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ为拉格朗日型余项证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G 则要证明,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 成立，即证 )!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得 )!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ.注3：当00=x 时, 上式也称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ ).10(<<θ注4：泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有不同的特点.从定理的条件看，泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是)(x f 在点0x 存在n 阶导数；而拉格朗日型余项成立则要求函数)(x f 在点0x 的邻域内)()(x f n 连续，且存在)1(+n 阶导函数)()1(x f n +；后者所需条件比前者强.从余项形式看，佩亚诺型余项))((0n x x -ο是以高阶无穷小量的形式给出的，是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用)1(+n 阶导数形式给出的，利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计.从证明方法看，佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的.从应用方面看，佩亚诺型余项在求极限时用的较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用的较多（在后面的论述中可见）.（3）六个常用函数的麦克劳林(Maclaurin)公式 ),(!!212n nxx n x x x e ο+++++= );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()1(32)1ln(132n n n x nx x x x x ο+-+++-=+- ;1,10-><<x θ ),(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+;1,10-><<x θ )(1112n n x x x x x ο+++++=-.1,10<<<x θ3 泰勒公式的应用3.1在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经有很多方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例 设函数)(x f 在]2,0[上二阶可导，且在]2,0[上1)(≤x f ，1)(≤''x f .证明在]2,0[上成立2)(≤'x f .证明：]2,0[∈∀x ，把)0(),2(f f 在点x 处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式，有x x f x x f x f f <<''+'-=1210,!2)()()()0(ξξ， 2,)2(!2)()2)(()()2(222<<-''+-'+=ξξx x f x x f x f f ， 上面两式相减后有.2)()2(2)()0()2()(22122x f x f f f x f ξξ''+-''--=' 再应用1)(≤x f ，1)(≤''x f ，可得2)2(2)(222x x x f -++≤' 1)1(22+-+=x,4≤于是有2)(≤'x f3.2判断函数的极值例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明：由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式 ))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)(0'=x f ,因此 200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=- (*) 又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.3 证明根的唯一存在性例 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值性定理证明.证明： 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调递减,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调递减.在a 点展开一阶泰勒公式有 ''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有-∞=∞→)(lim x f x ,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值性定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.4判断函数凹凸性及拐点泰勒公式在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上具有一阶和二阶导数.若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.证明：设c d <为[,]a b 内任意两点，且[,]c d 足够小.12x x <为[,]c d 中的任意两点，记012()/2x x x =+由定理条件的泰勒公式 22000000()()()()()()()2!f x x x f x f x f x x x o x x ''-'=+-++- 由此，2012001002010()()()2()()()()()()2!f x f x f x f x f x x x f x x x x x ''''+=+-+-+- 2220102020()()()()2!f x o x x x x o x x ''+-+-+- 因为余项为2()n x x -的高阶无穷小，且12[,]x x 足够小，所以泰勒公式22000()()()2!f x x x o x x ''-+-的符号与0()f x ''相同. 又因为 012()/2x x x =+，所以 010020()()()()0f x x x f x x x ''-+-=，由此可得： 2222201200101020()()()2()()()()()02!x x f x f x f x f x x x o x x o x x -''+-=-++-+-> 即 120()()2()0f x f x f x +->，从而 012()[()()]/2f x f x f x <+.由12,x x 的任意性，可得()f x 在足够小的区间[,]c d 上是凹的.再由,c d 的任意性，可得()f x 在[,]a b 内任意一个足够小的区间内部都是凹向的. 例 ,4判断（0）是否是 x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.解： ()2sin ,x x x x ´-ƒ=e -e - (0)´ƒ0=()x x x ´´-ƒ=e -e -2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin ,x x x x ´´´-ƒ=e -e + (0)´´´ƒ=0(4)(),x x x -ƒ=e -e -2cosx (4)(0)ƒ=4≠0因为n =4时，(4)(0)ƒ=4≠0所以,4（0）不是x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点. 3.5利用泰勒公式进行近似计算例1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001.解： 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使 111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可.因此.0001.0R 1823.000006.000040.000267.002.02.02.15<=+-+-≈其误差Ln例2 计算lg11的值,准确到5-10.解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为23ln(1)23x x x x +=-++……+1n n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ，1x 0<θ<1, >-， 要使 (1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+ 则 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故 11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139. 结论 1 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈+ + + + , 其误差是余项()n R x .当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.3.6利用泰勒公式求极限例1 求2240cos lim x x x e x -→-.分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较繁琐.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x e o -=+-+-+- 又244cos 1()2!4!x x x o x =-++ 所以 24442111cos ()()()2484x x e x o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故 2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x ex x -→∞→∞-+-==-.例2 求极限 )0(2lim 20>-+-→a xa a x x x 解：利用函数x a 带有佩亚诺型余项)(2x ο的麦克劳林展开有 )(!2ln ln |1222x x a x a a xο++⋅+=)(!2ln ln 1222x x a x a a x ο++⋅-=- 于是 a xx x a x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+⋅=-+→-→ο 结论2 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.参考文献:[1]华东师大数学系编.数学分析（上册，第三版）[M].北京：高等教育出版社.[2]吴良森等编著.数学分析学习指导书.上册/[M].北京：高等教育出版社.[3]裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社.[5]朱永生, 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报Taylor’s Formula and its ApplicationTeacher: ZhangChunXia student: WuQiaoLing(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou, 730070, China) Abstract: Through the analysis of the learning of mathematics we know, Taylor formula embodies the calculus "approximation" the essence. The Taylor formula is a polynomial approximation to function. The polynomial is simple in form, and easy to calculate and other advantages. This paper firstly introduces the concept of the Taylor formula, Taylor formula two different types of remainder; then Taylor formula application are discussed in detail, such as the "approximate", "limit", "the root of the only proof of existence", "Application in proving inequalities", "judging extremum of function", "convex function and turning point judgment." introduced in detail, and draws the corresponding conclusion. Keyword: Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder。
泰勒公式的证明及其应用推广
ｓ ｉｎ （ｓ ｉｎｘ）＝ｓ ｉｎ （ｘ－
１
３
ｘ ＋ｏ （ｘ３））＝ｘ－
１
ｘ３－
１
（ｘ－
１
ｘ３）３＋ ｏ （ｘ３）＝ ｘ－
１
３！
３！ ３！ ３！
３！
ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ｔａｎ（ｔａｎｘ）＝ｔａｎ（ｘ＋ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３））＝ｘ＋ ２ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
３！
３
５２ ２００８ 年 ２ 月 （ 上 ）
３
３
泰勒公式的证明及其应用推广
应用科技
余家骅 （ 许昌学院数学科学学院， 河南许昌 ４６１０００）
［ 摘 要］ 在理解泰勒公式基本的形式及内容的基础上， 更进一步意义的推理泰勒公式的证明及其在解决实际数学问题上 的应 用， 探究一个定理的辩证思维方式， 使我们学习知识更加深化， 形成发散性思维。 ［ 关键词］ 泰勒公式； 泰勒级数； 中值定理 行列式； 函数的凸凹性； 重积分
１！
ｎ！
证明： ①： 当 ｎ＝１ 时， 定理自然成立。事实上， 这时①变 ｆ
（ａ＋ｈ）＝ｆ（ａ）＋ｈ＋ｏ（ｈ）这是我们熟知 的。我 们 假定 定理 对 ｎ－ １ 已经 成
立 ， 换 言之 ， 我们 假 定： 对 于 任 何 一 个 函 数 ｆ（ｘ）， 只 要 ｆ （ ｘ） 在 ａ
点有直到 ｎ－ １ 阶为止的导数， 则 ｆ（ｘ）在 ａ 点附近可表示为：
∴ｔａｎ（ｔａｎｘ）－ ｓ ｉｎ（ｓ ｉｎｘ）＝ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ∴ 原式 ＝ｌｉｍ ｘ ＋ｏ（ｘ ） ＝２；
ｘ→０
１
３
３
ｘ ＋ｏ（ｘ ）
２
２．２ 泰勒公式在证明不等式方面的应用
如果 函数 ｆ（ｘ）的二 阶 及 二 阶 以 上 导 数 存 在 且 有 界 ， 利 用 泰 勒
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
泰勒公式和泰勒级数的应用（精品）
NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。
如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。
如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。
二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。
虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。
例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。
右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。
证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。
三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。
泰勒（Taylor）公式在不等式证明中的应用
知识文库 第08期94 创新教育知识泰勒（Taylor ）公式在不等式证明中的应用司秀林不等式的证明是一个较难解决的课题，它的证明比较复杂。
本文给出了利用泰勒（Taylor）公式证明不等式的方法。
实例证明这种方法是很有效的一种方法。
不等式的证明一般方法有：（1）利用函数的单调性和凸凹性；（2）利用拉格朗日中值定理；（3）利用二重积分。
本文给出了利用泰勒（Taylor）公式证明不等式的实例，并由多年的教学经验总结了这种方法的应用特点及相应的结论，为进行不等式的证明提供了一种非常有效，又简单的方法。
1 Taylor 公式如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对于任意一个(,)x a b Î，有()f x =0()f x +00()()f x x x ¢-+20()()2!f x x x ¢¢-+L+()0()()!n n f x x x n -+()nR x其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n x ++-+ （1） 这里x 是0x 与x 之间的某个值。
公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日余项的n 阶Taylor 公式。
在Taylor 公式（1）中，如果取00x =，则公式变为()f x =(0)f +(0)f x ¢+2(0)2!f x ¢¢+L +()(0)!n n f x n +()n R x 其中()n R x =(1)1()(1)!n n f xn x +++ （2） 这里x 是0与x 之间的某个值。
公式（2）称为麦克劳林（Maclaurin）公式。
2 Taylor 公式在不等式证明中的应用下面我们通过例子来说明泰勒（Taylor）公式在不等式证明中的应用。
例：设函数()f x 、()g x 都二阶可导，当0x >时，()()f x g x ¢¢¢¢>，且(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=。
高等数学中不等式证明的方法示例
高等数学中不等式证明的方法示例作者：杨雪来源：《科技风》2020年第18期摘要：不等式证明问题是高等数学中的重要内容，针对不等式的证明问题，本文分析并总结了高等数学中证明不等式的主要方法及其解题思路，并辅以典型例题，使学生能够系统地掌握不等式的证明方法。
关键词：高等数学;不等式;证明不等式是研究数学问题的重要工具，也是高等数学中的重要内容。
不等式的证明也是考研试题中的重要考点，也是难点。
很多学生对不等式问题缺乏系统的思考和总结。
本文举例说明了不等式证明的常用方法及适用情况，使学生更好地掌握不等式的证明技巧。
1 利用函数的单调性利用函数的单调性证明不等式，常将不等式进行恒等变形以便于构造辅助函数f（x），在判断辅助函数f（x）的单调性时，若判断f′（x）的符号困难，则可考虑求f″（x）甚至f（x）来递推确定。
当然，若此时无法确定导数符号，则说明此方法失效，应改用其他方法。
3 利用拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键在于满足定理的两个条件，通过观察不等式经过恒等变形可以化成函数值之差的形式，可考虑用拉格朗日中值定理，并合理设定f（x），再根据ξ的取值范围对f′（ξ）进行估计，进而推导出所证不等式。
4 利用泰勒公式这种方法适合于题中所给（或能推导出）条件f″（x）存在且>0（或<0）的命题，此时只能利用带拉格朗日余项的泰勒公式证明不等式，关键是在哪一个点将函数用泰勒公式展开，通常展开点一般选取已知导数信息最多的点。
然后根据题设对展开式的余项进行适当的放缩，导出所证不等式。
种方法是高等数学中证明不等式的常用方法，不等式的证法因题而异，灵活多变，我们应该具体问题具体分析。
要想熟练掌握其中的技巧，我们要多思考多总结，才能快捷地解决不等式的证明问题。
参考文献：[1]同济大学数学教研室.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.[2]夏靜.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015（10）：19-20.[3]李永乐，王式安，武忠祥，季文铎.2019考研数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2017.12.作者简介：杨雪（1982-），女，吉林长春人，长春工业大学硕士研究生，吉林工商学院助教，研究方向：最优化理论与应用。
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泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。
特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。
本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。
泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。
泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。
但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0nf x n!0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()(1)(1)!n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()f x = ()0f +()0'f x +()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!nf n nx +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。
不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。
2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助函数()F x =()xtaf t d⎰，将()F x 在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点）进行泰勒展开或直接写出()f x 的泰勒展式，然后根据题意对展开式（余项）作适当处理（一般是利用介值定理或放缩技巧）。
例1[2] 设()f x 在[],a b 上单调增加，且()f''x ＞0， 证明 ：()baf x dx ⎰＜()b a -()()2f a f b +.题设条件告知()f x 二阶可导且()f''x ＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是()f x ，右边有()f a 、()f b ，我们不妨对∀t ∈[],a b ，将()f t 在点x 处展开为泰勒公式，再令,t a t b ==，进而找出()f x 与()f a 、()f b 的关系.证明 对∀t ∈[],a b ,()f t 在点x 处的一阶泰勒展开式为：()f t =()f x +()'f x ()-t x +()2!f''ξ()2-t x ，其中ξ在t 与x 之间， ∵ ()f''ξ＞0, ∴ ()f t ＞()f x + ()'f x ()-t x <1>将,t a t b ==，分别代入〈1〉并相加，得()()f a f b +＞2()f x +()a b +()'f x －2x ()'f x <2>对〈2〉的两边在[],a b 上积分，则()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞2()baf x dx ⎰+()a b +()baf x dx ⎰－2()b'axf x ⎰dx⇒()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞2()ba f x dx ⎰+()ab +()f x ba—2()()bb aa xf x f x dx ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⇒2()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞4()baf x dx ⎰故()baf x dx ⎰＜()b a -()()2f a f b +.在证明有关定积分不等式问题时，有时还需构造函数，然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用，可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果.例2[3] 设()f x 在[],a b 上二阶连续可微，其中a ＜0＜b ，则在该区间上存在一个η，使得：()baf x dx ⎰=()bf b —()af a —12![()2b 'f b —()2'a f a ]+13!()33(b -a )f''η. 题设条件告知()f x 二阶可微，且题中含有()f''η，提示可用泰勒公式证明. 又因为含有()f''η，可构造函数()F x =()xtaf t d ⎰展开为二阶泰勒公式，注意证明过程中与介值定理的结合使用. 证明 令()F x =()xtaf t d ⎰，将()F x 在x t = (a ≤t ≤b )处展成二阶泰勒公式：()F x =()F t +'()F t ()x t -+12!''()F t ()2x t -+13!'''()F ξ()3x t -,ξ在x 与t 之间，即()F x =()F t +()f t ()x t -+12!()'f t ()2x t -+13!()''f ξ()3x t - 〈3〉令0x =,t a =则有〈3〉可得：(0)F =()F a +()f a （-a ）+12!()'f a 2a +13!()1''f ξ()3a - 〈4〉〈3〉－〈4〉得()F b —()F a =()bf b —()af a —()()221''2!b f b a f a ⎡⎤-⎣⎦-()()21331''''3!b f a f ξξ⎡⎤-⎣⎦ 令min m =｛()1''f ξ,()2''f ξ｝, max M =｛()1''f ξ,()2''f ξ｝,并且-3a ＞0 ()0a <则有()33m b a -≤()()2133''''b f a f ξξ-≤M (33b a -),因为()''f x 在[],a b 上连续，由介值定理知存在η，使得()()213333''''b f a f b aξξ--=()''f η 所以()baf x dx ⎰=()bf b —()af a —12![()2b 'f b —()2'a f a ]+13!()33(b -a )f''η. 泰勒公式不但在证明连续函数的不等式问题中起重要作用，同样在证明某一定点的不等式问题中也发挥着很大作用.例3[4] 设其中函数()f x 在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件()f x ≤a ，''()f x ≤b ，其中a ，b 都是非负数，c 是（0，1）上任意一点，试证明：'()f c ≤22ba +. 由于()f x 在[0，1]具有二阶导数，可考虑利用()f x 在x c =的一阶泰勒公式. 证明 由于()f x 在[0，1]上具有二阶导数，()f x 在x c =的一阶泰勒公式:2()()()'()()()2!f f x f c f c x c x c ξ=+-+- <5> 其中ξ=c +()x c θ-,0<θ<1，在<5>中令x =0,则有:21''()(0)()'()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ=+-+- (0<1ξ<c <1) 在<5>中令x =1，则有:22''()(1)()'()(1)(1)2!f f f c f c c c ξ=+-+- (0<c <2ξ<1)将上述两式相减,得22211(1)(0)'()''()(1)''()2!f f f c f c f c ξξ⎡⎤-=+--⎣⎦ 于是22211'()(1)(0)''()(1)''()2!f c f f f c f c ξξ⎡⎤=----⎣⎦≤221(1)(0)''()(1)2f f f c ξ++- 211''()2f c ξ+≤22(1)2b a a c c ⎡⎤++-+⎣⎦， 又因c ∈(0,1)，22(1)c c -+≤1， 故 '()f c ≤22ba +. 从上述几例可以看出，使用泰勒公式去证明关于定积分不等式问题，我们可以遵循以下几个步骤：〈1〉高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一； （2）找一个函数()f x ，选一个展开点0x ，然后写出()f x 在0x 处的泰勒公式； （3）对ξa b ∈(,) 进行放缩或或与介值定理结合使用.2.2 泰勒公式在证明关于初等函数和幂函数不等式中的应用对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x =时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用. 例4[1] 证明不等式：316x x -≤sin x . 不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。
这时我们可用sin x 在00x =的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。
证明 31()sin 6f x x x x =-+,(0)0f =,21'()cos 12f x x x =-+,'(0)0f =, ''()sin f x x x =-+,''(0)0f =,'''()cos 1f x x =-+,'''()cos 1f ξξ=-+当3n =时，()f x 的泰勒展式为：331()000(1cos )()3!f x x x o x θ=+++-⋅+ ⇒()f x =331(1cos )()6x x o x θ-+≥0 (x ≥0, ξ≤x θ,0＜ϕ＜1) 所以x ≥0,，有 316x x -≤sin x .在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。