19泰勒公式在证明不等式中的几个应用

泰勒公式在证明不等式中的几个应用

摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.

关键词：泰勒公式；偏导数；不等式

引言

泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数

]

31[-.所以泰勒公式能很好的集

中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：

定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：

()f x =()0f x +()0'

f x 0(x -x )+

()0f''x 2!02

(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0n

f x n!

0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()

(1)(1)!

n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；

若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，

即()f x = ()0f +()0'

f x +

()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!

n

f n n

x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用

不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。

2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用

对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助函数

()F x =

()x

t

a

f t d

⎰，将()F x 在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点）进行泰勒展

开或直接写出()f x 的泰勒展式，然后根据题意对展开式（余项）作适当处理（一般是利用介值定理或放缩技巧）。

例1[2] 设()f x 在[],a b 上单调增加，且()f''x ＞0， 证明 ：

()b

a

f x dx ⎰

＜()

b a -()()

2

f a f b +.

题设条件告知()f x 二阶可导且()f''x ＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是()f x ，右边有()f a 、()f b ，我们不妨对∀t ∈[],a b ，将()f t 在点x 处展开为泰勒公式，再令,t a t b ==，进而找出()f x 与()f a 、()f b 的关系.

证明 对∀t ∈[],a b ,()f t 在点x 处的一阶泰勒展开式为：

()f t =()f x +()'f x ()-t x +

()2!

f''ξ()2

-t x ，其中ξ在t 与x 之间， ∵ ()f''ξ＞0, ∴ ()f t ＞()f x + ()'

f x ()-t x <1>

将,t a t b ==，分别代入〈1〉并相加，得

()()f a f b +＞2()f x +()a b +()'f x －2x ()'f x <2>

对〈2〉的两边在[],a b 上积分，则

()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞2

()b

a

f x dx ⎰

+()a b +

()b

a

f x dx ⎰

－2

()b

'a

xf x ⎰

dx

⇒()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞2()b

a f x dx ⎰+()a

b +()f x b

a

—2()

()b

b a

a xf x f x dx ⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

⎰

⇒2()()f a f b +⎡⎤⎣⎦()b a -＞4

()b

a

f x dx ⎰

故

()b

a

f x dx ⎰＜()

b a -()()

2

f a f b +.

在证明有关定积分不等式问题时，有时还需构造函数，然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用，可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果.

例2[3] 设()f x 在[],a b 上二阶连续可微，其中a ＜0＜b ，则在该区间上存在一个η，使得：