插值与逼近

第一章 插值方法

一、考核知识点

拉格朗日插值及其余项、差商定义及性质、牛顿插值及其余项、埃尔米特插值、最小二乘法、正则方程组。 二、考核要求：

1．熟练掌握拉格朗日插值法，插值基函数的性质及其余项估计。 2．了解差商定义及性质（熟练求差商），熟练掌握牛顿插值法及其余项。 3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式。 三、重、难点分析

例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。 解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为

)9(5

1

)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=

x x x x x x l 故有 5

65)4(5

3)9(5

2)()()(11001+=

-+

--=+=x x x y x l y x l x L

2.25655)5()5(1=+=≈L f

误差为 )(2)95)(45(!

2)

()5(2ξξf f R ''-=--''=

例2 已知函数)(x f 数值表为

)8.1(f 解 作差商表：

代入牛顿插值多项式得：

1)2)(1()1(21)(2

2+-=--+-+=x x x x x X N 故 44.218.1)8.1()8.1()8.1(2

2=+-=≈N f

例3 已知数表：

解 设最小一次式为x a a x g 101)(+=，由系数公式得：

310=+=n s ∑===

2

016i i

x

s 142

23==∑=i i

x

s

∑===

2

021i i

y

f 2.4820

1==

∑=i i

i

x

y f

于是有法方程组 ⎩⎨⎧=+=+2.4814621

6310

10a a a a

解法方程组得 1.3*

1=a 8.0*0=a

所以最小二乘一次式 x x g 1.38.0)(1+=

例4 已知插值基函数n k x l k ,,1,0),( =，证明 ：当n m <时，m n

k m k k x x x l =∑=0

)(

证明：令 m x x f =)( ，

则有 )()!

1()

()()

1(0

x n f

x

x l x n n

k m k

k m

ωξ++

=

+=∑

因为0

)(,)

1(=<+ξn f n m 则，所以m n

k m k k x x x l =∑=0

)(。

三、练习题

1.设3

[0,2]()f x C ∈，已知节点0120,1,2,x x x ===，其相应的函数值为()2,1,2f x =--，则

()f x 的二次Lagrange 插值多项式2()p x = ，插值余项2()R x = ．

2.若3219()51f x x x =++，则()f x 的一阶差商[0,1]f = ，32阶差商

1

32

[3,3,,3]f = ．

3. n+1个节点插值型求积公式的代数精确度至少是（3） 阶，最高是（4） 阶. 二.(6分) 已知函数13)(3

+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差

]4,3,2,1,0[f .

1.过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。 (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3．

5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式

2、已知y=f （x ）的数据如下

3

求二次插值多项式

及f （2.5）

3．已知3

()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f

4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是---。

(0.63891)f 所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分）

五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:

(2) 分别求出满足条

件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.

(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.

二．已知()f x 有如下的数据

试写出满足插值条件()()i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出误差的表达形式。

三．用最小二乘法确定2

1y a

bx x

=+中的常数a 和b ，使该曲线拟合于下面的四个点（1，

1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4

，31.74） （计算结果保留到小数点后4位）

3．用最小二乘法确定x b ax y ln 2

+=中的a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)

写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算)1.1('

'f 。

5 已知五阶连续可导函数)(x f y =的如下数据

试求满足插值条件的四次多项式).(x p