人教版九年级数学下教案 锐角三角函数 第三课时
九年级数学下册 28 锐角三角函数教案 (新版)新人教版
第二十八章锐角三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题．本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题．带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度．让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度．本章教学约需5课时，具体分配如下：28．1 锐角三角函数3课时28．2 解直角三角形及其应用2课时28．1锐角三角函数第1课时锐角三角函数知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边的比．过程与方法通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．情感、态度与价值观1．通过学习培养学生的合作意识．2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．重点锐角三角函数的概念．难点锐角三角函数概念的理解．一、问题引入问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．二、新课教授问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝35 m ，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A 的对边斜边＝BC AB ＝12，可得AB ＝2BC ＝70 m ，即需要准备70 m 长的水管．思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m ，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决．结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.思考2：如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠A ＝45°，计算∠A 的对边与斜边的比BCAB，能得到什么结论？分析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，AB ＝2BC ，BC AB ＝BC 2BC ＝12＝22.结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22. 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值．当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′＝α，那么BC AB 与B ′C ′A ′B ′有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于∠C ＝∠C ＝90°，∠A ＝∠A ′＝α， 所以Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，则 BC AB ＝B ′C ′A ′B ′. 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．正弦的概念： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.例如，当∠A ＝30°时，sin A ＝sin 30°＝12；当∠A ＝45°时，sin A ＝sin 45°＝22.注意：1．sin A 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体．2．正弦的三种表示方式：sin A ，sin 56°，sin ∠DEF. 3．sin A 是线段之间的一个比值，sin A 没有单位．提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sin B ＝∠B 的对边斜边＝bc.思考3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：如图，在Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′＝α，那么AC AB 与A ′C ′A ′B ′有什么关系？教师用类比的方法引导学生思考、讨论．结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值．余弦的概念：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.思考4：当∠A 取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念． 正切的概念：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A 的对边和邻边．我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 三、举例应用，巩固新知例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．解：如图(1)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5.因此sin A ＝BC AB ＝35，sin B ＝AC AB ＝45.如图(2)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得 AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12.因此sin A ＝BC AB ＝513，sin B ＝AC AB ＝1213.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A ，cos A ，tan A 的值．解：由勾股定理得A C ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，因此 sin A ＝BC AB ＝610＝35，cos A ＝AC AB ＝810＝45， tan A ＝BC AC ＝68＝34.四、练习新知为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是( )A .117B ．4C .14D .417答案 C五、课堂小结锐角三角函数概念及表示方法：sin A ＝∠A 的对边斜边，cos A ＝∠A 的邻边斜边，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值知识与技能熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 过程与方法1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．情感、态度与价值观经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．重点30°，45°，60°角的三角函数值． 难点与特殊角的三角函数值有关的计算．一、复习巩固如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ，b ，c 三者之间的关系是________；(2)sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝________； sin B ＝________，cos B ＝________，tan B ＝________． (3)若∠A ＝30°，则ac＝________．二、共同探究，获取新知(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值．师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°. 师：sin 30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．生：sin 30°＝12.sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为3a ，所以sin 30°＝a 2a ＝12.师：cos 30°等于多少？tan 30°呢？ 生：cos 30°＝3a 2a ＝32.tan 30°＝a 3a ＝13＝33. 师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin 60°＝3a 2a ＝32，cos 60°＝a 2a ＝12，tan 60°＝3aa＝ 3. 师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边为2a.由此可求得sin 45°＝a 2a＝12＝22，cos 45°＝a 2a ＝12＝22， tan 45°＝a a＝1.教师多媒体课件出示：师：这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大． 第二列，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．(2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵sin A ＝a c ，cos A ＝bc，sin B ＝b c ，cos B ＝a c，∴sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B. ∵∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝90°－∠A ，即sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A)， cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A)．任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 三、例题讲解，巩固新知 例1 计算：(1)sin 30°＋cos 45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan 45°. 解：(1)sin 30°＋cos 45°＝12＋22＝1＋22；(2)sin 260°＋cos 260°－tan 45° ＝(32)2＋(12)2－1 ＝34＋14－1 ＝0.例2 (1)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝3，求∠A 的度数； (2)如图(2)，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO ＝3OB ，求α的度数．解：(1)在图(1)中， ∵sin A ＝BC AB ＝36＝22，∴∠A ＝45°.(2)在图(2)中，∵tan α＝AO OB ＝3OBOB＝3，∴α＝60°.四、随堂练习1．计算4sin 60°－3tan 30°的值为( )A . 3B ．2 3C ．3 3D ．0 答案 A2．计算sin 245°＋cos 245°的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．3 答案 B五、课堂小结1．探索30°，45°，60°角的三角函数值．sin 30°＝12 ，sin 45°＝22，sin 60°＝32； cos 30°＝32 ，cos 45°＝22，cos 60°＝12； tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3. 2．能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生．第3课时 一般锐角的三角函数值知识与技能1．会使用计算器求锐角的三角函数值．2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角． 过程与方法在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法． 情感、态度与价值观经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．重点利用计算器求锐角三角函数的值． 难点计算器的按键顺序．一、复习回顾教师多媒体课件出示： 1.2.已知2sin 二、讲解新知师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin 18°的值．生：作一个有一个锐角为18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值． 学生作图、测量、计算．生：约等于0.309 016 994.师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代．教师拿出计算器．师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．学生拿出自己的计算器．师：先按ON键，再按有关三角函数的键．教师板书：1．求已知锐角的三角函数值．例1 求sin40°的值．(精确到0.000 1)师：比如我们求sin40°的值，依次按sin、4、0、°′″、＝这几个键．师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.例2 求cos54°38′的值．(精确到0.000 1)师：我们依次按cos、5、4、°′″、3、8、°′″、＝这几个键．学生操作后回答．2．由锐角三角函数值求锐角．例3 已知sin A＝0.508 6，求锐角A.师：你有没有注意到计算器上有个2ndf键？生：注意到了．师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按2ndf、sin－1、0、·、5、0、8、＝.师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键2ndf和度分秒键°′″.学生操作后回答结果．三、巩固提高1．sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )A．α＝βB．α＋β＝180°C．α＋β＝90°D．α－β＝90°答案C2．使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001)答案0.7913．已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)答案 42° 四、课堂小结1．用计算器求一个锐角的三角函数值．2．学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin 18°的值让学生计算．在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较强的计算能力．28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．重点直角三角形的解法． 难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A. 生乙：c ＝asin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习．教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．(1) (2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BCAB 得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算． 三、例题讲解例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝62＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°，AB ＝2AC ＝2 2.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°. ∵tan B ＝ba，∴a ＝btan B ＝20tan 35°≈28.6. ∵sin B ＝bc ，∴c ＝bsin B ＝20sin 35°≈34.9. 四、巩固练习1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( ) A ．b ＝a ·tan B B ．a ＝b ·cos AC ．c ＝bsin B D ．c ＝acos B答案 B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．答案 30° 252 3五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，老师解答．本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．28．2.2 应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途． 情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点将实际问题转化为解直角三角形问题． 难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．一、新知讲授1．讲解． 师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角； (2)仰角和俯角都是锐角．师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪． 2．练习新知．教师多媒体课件出示：如图，∠C ＝∠DEB ＝90°，FB ∥AC ，从A 看D 的仰角是________；从B 看D 的俯角是________；从A 看B 的________角是________；从D 看B 的________角是________；从B 看A 的________角是________．答案：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.二、例题讲解例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km ，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F 是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ ︵的长就是地球表面上P ，Q 两点间的距离．为计算PQ ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． ∵cos α＝OQ OF ＝ 6 4006 400＋343≈0.9491.∴α≈18.36°，∴PQ ︵的长为18.36π180×6 400≈18.36×3.142180×6 400≈2 051(km )．由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2051 km .例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan 30°＝120×33＝403， CD ＝AD ·tan β＝120×tan 60°＝120×3＝120 3. ∴BC ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈277(m )． 因此，这栋楼高约为277 m .例3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数)解：如图，在Rt △APC 中， PC ＝PA ·cos (90°－65°) ＝80×cos 25° ≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B ＝34°，∵sin B ＝PCPB ，∴PB ＝PCsin B ＝72.505sin 34°≈130(n mile )． 因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130 n mile . 三、巩固提高1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 mC .500 33m D ．250 2 m 答案 A2．王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) m C ．(24－53) m D ．9 m 答案 B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答．解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．。
28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。
九年级数学下册《锐角三角函数》教案、教学设计
2.教学方法：
采用讲解法、示例教学法，结合几何画板演示，帮助学生形象地理解锐角三角函数的定义和性质。
3.教学过程：
（1）通过回顾勾股定理，引导学生发现锐角三角函数的定义。
（2）利用几何画板，动态演示锐角三角函数随角度变化的规律，帮助学生理解其性质。
（4）注重情感教育，关注学生的学习情感，激发学生的学习兴趣和内在动力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）终结性评价：通过测试、作业等方式，评价学生对本章知识的掌握程度。
（3）增值性评价：关注学生的进步，鼓励学生自我评价，激发学生的学习潜能。
九年级数学下册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其相互关系。
2.学会使用计算器或手工计算方法，解决直角三角形中锐角三角函数值的问题。
3.掌握用锐角三角函数解决实际问题的方法，如测量物体的高度、计算物体之间的距离等。
4.能够运用锐角三角函数的性质，解决一些简单的几何问题，如求角的度数、证明线段相等等。
3.利用计算器、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解锐角三角函数的图像和变化规律，提高学生的数学思维能力。
4.设计丰富的例题和练习题，巩固学生对锐角三角函数知识的掌握，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5.通过课堂小结，引导学生总结本章所学内容，形成知识体系，提高学生的概括和表达能力。
（三）情感态度与价值观
3.思考题：
（1）思考锐角三角函数的定义在解决实际问题中的作用，举例说明。
九年级数学下册锐角三角函数教案
特殊角法
利用特殊角的三角函数值 进行计算，如30°、45°、 60°等。
近似计算法
利用泰勒级数或其他近似 方法进行计算，适用于角 度不是整数的情形。
锐角三角函数的应用实例
测量问题
利用锐角三角函数计算不可直接 测量的高度、距离等。
工程设计
与一元二次方程的联系
02
在解一元二次方程时，可以通过构造直角三角形利用锐角三角
函数的知识来求解。
与相似三角形和勾股定理的区别
03
虽然相似三角形和勾股定理都与直角三角形有关，但它们解决
的问题和应用的方法与锐角三角函数有所不同。
05
教学评价与反思
教学评价方法与标准
课堂观察
通过观察学生在课堂上的表现，评估他们对锐角三角函数概念的 理解和应用。
教学策略的改进
针对教学过程中出现的问题，改进教学策略，如增加实例、引入生活 情境等，以帮助学生更好地理解和应用锐角三角函数知识。
学生个体差异的关注
关注学生的个体差异，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同 学生的学习需求。
THANK YOU
九年级数学下册锐角三角函数教 案
汇报人： 202X-12-18
• 教学目标与要求 • 锐角三角函数的概念与性质 • 锐角三角函数的计算与应用 • 锐角三角函数的综合应用与拓展 • 教学评价与反思
01
教学目标与要求
教学目标
理解锐角三角函数的 概念及意义。
培养学生对数学的兴 趣和解决问题的能力 。
作业分析
检查学生的作业完成情况，了解他们对锐角三角函数相关问题的解 决能力。
测验与考试
通过测验和考试的方式，评估学生对锐角三角函数知识的掌握程度 。
《锐角三角函数》教案 (省一等奖) 3
锐角三角函数[教学反思]课题锐角三角函数〔3〕授课时间课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式过程与方法能推导特殊角的三角函数值情感态度价值观培养学生的类比能力，通过画图，推导增强他们的学习兴趣教材分析重难点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式教学设想教法三主互位导学法学法合作探究教具常规教具课堂设计一、目标展示⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式二、预习检测一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？三、质疑探究两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．四、精讲点拨归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求以下各式的值．〔1〕cos260°+sin260°．〔2〕cos45sin45︒︒-tan45°．五、当堂检测1．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，那么α+β=_______．2．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．3．，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•那么底边上的高为______，•周长为______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=52，那么cosA=________．5．sin272°+sin218°的值是〔〕．A．1 B．0 C．12D．32六、作业布置习题28。
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
第28章-锐角三角函数-全章教案
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一、在 Rt△ABC 中，∠C =90°： B
a 对边
c 斜边
视，对学习基 A 的对边与斜边的比；
础 较 弱 的 学 求 sinB 就是要确定∠B
生 及 时 给 予 的对边与斜边的比．
指点．
教师引导学
生作知识总
结，不断扩充
培养学生概括的能
学 生 的 知 识 力，使知识形成体系，
结构，学习新 并渗透数学思想方法。
的解题方法．
Cb
A
五、体验 收获
即
sin
A
A的对边 斜边
a c
．
同样 sinB= B的对边 斜边
b c
当∠A=300 时，sinA=？ 当∠A=450 时，sinA=？ 当∠A=600 时，sinA=？
也随之确
定”．但是怎
样证明这个
C
A C1
A!
命题呢？学
生这时的思
经过学生的实验和证明，得出：
维很活跃．对
于这个问题，
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐
部分学生可
角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦
能能解决
（sine）,记作：sinA，
它．因此教师
此时应让学
B
生展开讨论，
独立完成．
a 对边
长 50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少
呢？
二、探究 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并 教 师 提 出 问 在培养学生动手能力的
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说理
三、感悟 深化
精品人教版数学9年级下. 特殊角的锐角三角函数(教案与导学案)
第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函第3课时特殊角的锐角三角函数【知识与技能】1.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进展有关计算；2.能依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数.【过程与方法】经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.【情感态度】在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学生的推理能力和计算能力. 【教学重点】熟记30°，45°，60°的三角函数值，并用它们进展计算.【教学难点】探索30°，45°，60°的三角函数值的指导过程.一、情境导入，初步认识问题在前面我们已经得到sin3o°= 12，sin45°=2，你能得到30°，45°角的其它三角函数值吗？不妨试试看.【教学说明】 教师可引导学生从所给结论sinA = sin30°=12出发，设 BC = 1，那么 AB = 2，由勾股定理可得30°的其它三角函数值，同样在图〔2)中，仍可设BC = 1， 那么AC = 1，45°的其它三角函数值.这里设BC = 1是为了方便计算.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°=12，cos30°= 2，tan30°= 3，sin45°= 2，cos45°= 2, tan45°= 1.【想一想】 60°角的三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互交流中可得出结论：sin60°= 2,cos60°= 12 ，tan60°教师再将上述所有结论整理，制成下表.三、典例精析，掌握新知例1 求以下各式的值.(1)cos260°+ sin260°；〔2〕cos45tan45sin45︒-︒︒.解〔1〕原式 =12（）2 +32（）2 =14+34= 1；〔2〕原式 =2222- 1 = 0.例2 〔1〕如图〔1〕，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB = 6,BC = 3,求∠A的度数；〔2〕如图〔2〕，圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求α.解〔1〕∵sinA = BC32AB26＝＝,∴∠A = 45°；〔2〕∵tanα = OA33OBOBOB＝＝，∴α = 60°.【教学说明】以上两例均可先由学生自主完成，然后教师在展示解答过程，加深学生对本节知识的理解，并指明两例题的侧重点不一样，例1侧重于运用特殊角的三角函数值来参与计算，而例2那么是通过计算一个角的某一三角函数值后，利用锐角的三角函数值与锐角之间的一一对应关系，从而确定锐角的度数.这样处理，可让学生熟记特殊角的三角函数值.四、运用新知，深化理解1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且tanA = 12，cosB =32，那么△ABC的形状是〔〕A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2.计算：〔1〕3tan30°- tan45°+ 12sin60°= ___________ .〔2〕60160sincos︒-︒+130tan︒- sin45°= ___________ .3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC = 7，AC = 21,试求∠A、∠B的度数.4.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图，且∠OBC=30°，试求A、D两点坐标.【教学说明】四道题均可让学生自主探究，也可小组内讨论，到达解决问题的目的.教师巡视，发现问题给予指导，对优秀者和积极参与者给予鼓励，增强学生的学习信心.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.B 【解析】∵cosB =32,∴∠B = 30°，又∵tanA =12＜3 2= tan30°，∴∠A ＜ 30°，∠A + ∠B ＜ 60°，∴∠C = 180°- (∠A + ∠B)＞ 120°.即△ABC 是钝角三角形，应选B.2.〔1〕5314-〔2〕2232【解析】〔1〕原式 =31331322⨯-+⨯3314+ =5314-〔2〕原式 =3221312-233222323.由题意易得：tanA =73213BCAC===,tanB = 3ACBC=，∴∠A= 30°，∠B = 60°.4.解：∵ OB = BC·cosB =323⨯=, OC = BC·sinB =1212⨯=,∴B 点的坐标是〔3,0-〕.过D点作DE 垂直于y轴，交y轴于E点，易证△OBC≅△ECD，∴∠DCE = ∠CBO =30°.∴CE = cos∠DCE ·CD =3232⨯=，∴OE = OC + CE = 13+,DE = 112CD=,∴D 点的坐标是〔1,13-+〕.五、师生互动，课堂小结1.如何理解并熟记特殊角的三角函数值？同学间相互交流.2.运用特殊角的三角函数值可解决哪两类问题？【教学说明】师生共同回忆，对于问题1，可引导学生利用图形进展推理计算，也可通过表格中横排的数的变化规律来记忆.1.布置作业：从教材P68〜70习题28. 1中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业〞局部.本课时教学以“自主探究〞为主体形式，所以应先给学生自主动手的时间，给学生提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究和合作学习的能力.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的锐角三角函数一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，教师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.〔板书课题〕2.学习目标〔1〕推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.〔2〕能运用30°，45°，60°角的三角函数值进展简单的计算.〔3〕能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.〔4〕会运用计算器求锐角三角函数的三角函数值和由三角函数值求锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导〔1〕自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进展自学.3.助学〔1〕师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进展针对性指导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.1.自学指导〔1〕自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.〔4〕自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求以下各式的值：1-2sin30°cos30°;=1-2×12×3223-3tan30°-tan45°+2sin60°;=3×3-1+2×3=231.(cos230°+sin230°)×tan60°.=[3〕2+〔12〕2]×3 3④在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC7AC21,求∠A、∠B的度数.∵tan A=73321==BCAC，∴∠A=30°,∠B=60°.2.自学：学生可结合自学指导进展自学.3.助学〔1〕师助生：①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.〔2〕生助生：小组交流、研讨.4.强化〔1〕求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法那么计算.〔2〕求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.〔3〕当A、B为锐角时，假设A≠B，那么sin A≠sin B，cos A≠cos B,tan A≠tanB.1.自学指导〔1〕自学内容：教材P67~P68.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学指导：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：①用计算器求sin18°的值.sin18°=0.309016994.②用计算器求tan30°36′的值.tan30°36′=0.591398351.③sin A=0.5018，用计算器求锐角A的度数.∠A=30.11915867°或∠A=30°7′8.97″.④∠A是锐角，用计算器探索sin A与cos A的数量关系.sin2A+cos2A=1.⑤∠A 是锐角，用计算器探索sin A 、cos A 与tan A 的数量关系.sin tan cos.AA A⑥当一个锐角逐渐增大时，这个角的各三角函数值会发生怎样的变化呢？请用计算器探索其中的规律.正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，正切值逐渐增大. ⑦用计算器求以下各锐角三角函数的值： sin35° 0.573576436 cos55° 0.573576436 tan80°25′43″ 5.93036308⑧以下锐角三角函数值，用计算器求相应锐角的度数： sin A =0.6275∠A =38.86591697° cos A =0.6252∠A =51.30313157° tan A =4.8425∠A =78.3321511°三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进展评价. 〔2〕纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价〔教学反思〕.本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究〞的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进展计算.一、根底稳固〔70分〕1.(5分)2cos(α-10°)=1，那么锐角α= 70° .2.(5分) α为锐角，tanα3cosα等于〔A〕A.12B.22C.32D.333.(5分)用计算器计算cos44°的结果〔准确到0.01〕是〔B〕4.(5分)tanα=0.3249，那么α约为〔B〕A.17°B.18°C.19°D.20°5.(40分)求以下各式的值.〔1〕sin45°+cos45°;22=2.〔2〕sin45°cos60°-cos45°;=22×12-22=-2 4.〔3〕cos245°+tan60°cos30°;=2〕23×3=12+32=2.(4〕1-cos30°sin60°+tan30°.=3123+33=3-1.6.(10分)在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A=3，tan B=1，求∠C的度数.解：∵∠A是锐角且sin A=32,∴∠A=60°.∵∠B是锐角且tan B=1,∴∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.二、综合应用〔20分〕7.(10分)在△ABC中，锐角A，B满足〔sin A-3〕2+|cos B-3|=0，那么△ABC是〔D〕A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形8.(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，D E⊥AB于点E，BC=1，AC=3，那么∠D的度数为30° .三、拓展延伸〔10分〕9.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin〔180°-α〕，cosα=-cos〔180°-α〕.〔1〕求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=3 .Cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-1 2 .sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=1 2 .〔2〕假设一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B 是方程4x 2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小.解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A =30°或120°，∠B =30°或120°.∴sin A =sin30°=12或sin A =sin120°=,cos B =cos30°=或cos B =cos120°=-12. 又∵sin A ,cos B 是方程4x 2-mx-1=0的两个不相等的实数根， ∴sin A +cos B =4m ,sin A ·cos B =-14. ∴sin A =12,cos B =-12,∴∠A =30°,∠B =120°,m=0.。
锐角三角函数教案第三课时
锐角三角函数教案第三课时
一、课前准备
1.复习上节课所讲内容，了解锐角三角函数；
2.查看课本、教材有关锐角三角函数的内容；
3.准备形象化的概念教学课件及相关教学资源；
二、教学主旨
本节课的主要目标是要带领学生深刻理解锐角三角函数的概念，明白
它的实际应用，形成良好的学习态度。
三、教学内容
1.锐角三角函数的概念介绍：在数学上，三角函数是一类特殊的函数，用来描述特定的物理系统的行为。
它通常以锐角的弧度为角度单位，
用来描述特定面积角度圆心角。
2.生成函数曲线：在了解了锐角三角函数的概念后，我们开始实践。
首先要把函数f(x)，即y=sinx、y=cosx、y=tanx，都可以用图像的方式生
成出来，描绘出函数曲线。
3.基本公式：了解了生成函数曲线后，就要知道它们的基本公式，比如：sinx+cosx=1，sinx+tany=1等等；
4.实际应用：在深入了解锐角三角函数的时候，不妨从实际的例子出发，比如定位、电动机、圆周率等等，将知识点应用到实践中去了解更多
有关三角函数的相关内容；
四、讨论与反思
1.通过个案的讨论，学生可以挖掘更多有关三角函数的联系，并尝试把这些知识点运用到实际例子中去；
2.让学生进行思考，分享自己在学习过程中表现最好的经验，并通过反复练习，熟悉图和表达式，以及其它一些计算锐角三角函数的工具；
3.通过思考实践的层次提高学生的思维能力，并给予学生较为详细的巩固性训练，以更进一步学习和理解锐角三角函数。
人教版数学九年级下28.1第3课时特殊角的三角函数值教案及教学反思
28．1锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围若cos α＝23，则锐角α的大致范围是( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】 根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD BC ，tan75°＝BC CD求出即可． 解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE 中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题三、板书设计1．特殊角的三角函数值：2.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.。
数学人教版九年级下册28.1锐角三角函数(第三课时)教案.1锐角三角函数(第三课时)教案
28.1锐角三角函数（第三课时）——特殊角三角函数值李林松渡普中学28.1锐角三角函数教案三——特殊角三角函数值教学目标知识技能熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．数学思考加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练．解决问题会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．情感态度引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心．重点会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．难点会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．板书设计课题例1：练习：例2：课后反思1、三角函数值的记忆。
2、三角函数值的表示方法。
3、三角函数值的求法（必须放在直角三角形中）。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一：复习引入：1. 练习：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求∠B 的锐角三角函数值．2. 说出30°、45°、60°的各个锐角三角函数值．活动二：例题分析例1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60+；（2）cos 45tan 45sin 45-． 练习：1．本课时练习1 2．例1 求下列各式的值： (1)2sin30°+3tg30°+ctg45°； (2)cos 245°+tg60°·cos30° 例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径）OB 的3倍，求α．教师提出问题，学生思考并解答，教师关注学生对特殊角三角函数值的记忆方法和正确率．教师可用列表的方法表示特殊角的三角函数值，教给学生记忆的方法，并引导学生观察此表格，归纳出一些规律．教师出示题目后，学生观察题目特点，找到解题方法，即将特殊三角函数值代入求值．学生认真独立完成，教师巡视，对学习较困难的学生适当的给予指点．教师出示题目后，让学生认真读题，分析题目条件与要求的结论，分析它们之间的关系，教师关注学生的分析思路，适当时给予指点：如图（1），BC 边是∠A 的邻边，AB 是斜边，由此想到利用∠A 的余弦值来求∠A 的度数．图（2）中，OA 是α角的对边，OB 是α角的邻边，由此想到利用α角的正切值来求α角的度数．初次解这种类型的题目，教师要板演解题过程，给学生规范的解题格式．回忆所学内容，为本节课的教学做好准备．再次熟悉特殊角的三角函数值，并培养学生的运算能力．巩固特殊角的三角函数值．利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分．问题与情境师生行为设计意图教学过程设计 图(1)36C B A αO 图(2)BA练习：1．求出下列各锐角的度数：（1）1sin 2A =；（2）3tan 3B =； （3）3cos 2A =；（4）2sin 2B =． 2．P 83页：2． 活动三：课堂小结 你在本节课中有什么收获与大家交流？ 活动四：布置作业 作业：习题28.2第3，6． 补充题： 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=53，BC=5，求∠A 和∠B 的度数． 2.若3tan(10)1α+=，求锐角α． 3.3tan 23A =，则∠A 的度数是多少？教师出示题目，学生读题后，独立完成此练习，教师巡视过程中，观察学生对题目的理解，对学困生给予指点．教师提出问题，学生相互交流，教师适时给予指点．教师要关注学生： 1. 特殊角的三角函数值必须熟记； 2．在直角三角形中，知道两边，可求出每个锐角的各个三角函数；反之，由特殊角的三角函数值，可求出锐角的度数． 3．能否由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢？教师布置作业，学生记录作业，并能独立完成作业．巩固所学知识，加深对知识的理解，并能独立的完成解题过程．巩固本节课所学知识． 为下节课用计算器求任意角的三角函数值和由已知任意角的某个三角函数值而求出它所对应的锐角埋下伏笔．巩固所学知识．。
锐角三角函数+第3课时+特殊角的三角函数值++课件+++2023--2024学年人教版九年级数学下册
解：原式 =
1 2
2 2
1 2
2.
(2) sin230° + cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2 1 0.
考点 2 利用三角函数值求特殊角
活动2： (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 6 ，
BC = 3，求∠A 的度数；
B
解：∵∠C = 90°，AB = 6， BC = 3， 6
解：∵ | tanB－ 3 |≥0， (2sinA－ 3 )2≥0， 且 | tanB－ 3 | ＋ (2sinA－ 3 )2＝0，
∴ tanB－ 3 =0， 2sinA－ 3 ＝0，
∴ tanB＝ 3 ，sinA＝ 3． 2
∴∠B＝60°，∠A＝60°.
当堂检测
1. 3 tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是
2 2
3
3 3. 2
30°、45°、60° 角的三角函数值
特殊角的 三角函数值
根据特殊三角函数值求角度
6. 如图，在△ABC 中，∠A = 30°，tanB 3 ，AC 2 3， 2
求 AB 的长度.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵∠A = 30°， AC 2 3 ，
∴ sin A CD 1，cos A AD 3 . C
解：解方程 x2 + 2x－3 = 0，得 x1 = 1，x2 =－3. ∵ α 为锐角，tanα＞0，∴ tanα = 1. ∴ α = 45°.
∴ 2sin2α + cos2α － 3 tan (α + 15°)
= 2sin245° + cos245°－ 3 tan60°
人教版初中数学九年级下册第二十八章：锐角三角函数(全章教案)
第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算． 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值． 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值． 【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵ ＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC， 而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算． 【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想． 【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法． 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值． 【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)． 而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。
人教版九年级数学下册：28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量，培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习，提高学生的信息素养。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：教师通过展示一些实际生活中的图片，如建筑物的设计图、物理实验场景等，让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导：教师向学生提出问题，如“这些图片中的角度是如何计算的？”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗？”等，激发学生的思考兴趣。
3.学生回答：鼓励学生积极回答问题，分享自己的观点和思考。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过设置一些与生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识，引导学生主动探究。
3.互动情境：创设轻松、愉快的课堂氛围，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予反馈和评价，指出学生的错误和不足，帮助学生提高。
3.学生自我检查：学生对自己的作业进行自我检查，总结自己在作业中的优点和不足，不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示与学生生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，使学生感受到数学的实用性，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入，不仅能够引起学生的兴趣，还能够增强学生对知识的理解和记忆。
人教版九年级下册数学《锐角三角函数》教案(附解答)
南京市中考化学二模试题及答案一、选择题1．已知某固体粉末是由 NaCl、CaCl2、NaOH、K2CO3、Na2CO3中的一种或几种组成，取这种粉末24g 加足量的水，振荡后呈浑浊，过滤、洗涤、烘干后得到10g沉淀和滤液。
向滤液中滴加酚酞，变红；取少量滤液于试管中滴加硝酸银溶液有白色沉淀生成，再加入稀硝酸沉淀不消失且试管中有气泡产生。
下列说法正确的是A．原固体中一定含CaCl2、NaOH和Na2CO3B．原固体中一定含Na2CO3，可能含K2CO3和NaClC．滤液中一定含NaCl和K2CO3，可能含NaOHD．上述实验无法证明原固体中是否含NaCl、CaCl2、NaOH2．在AlCl3溶液中逐滴加入NaOH溶液至过量，发生如下反应：3NaOH+AlCl3=Al(OH)3↓+3NaCl, Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O。
已知NaAlO2易溶于水，则下列图像不正确的是( )A．B．C．D．3．用数形结合的方法表示某些化学知识直观、简明、易记．下列用数轴表示正确的是（）A ．不同物质的着火点：B ．硫及其化合物与化合价的关系：C ．50g19.6%的稀硫酸与足量的金属反应产生氢气的质量：D ．物质形成溶液的pH ：4．甲、乙、丙、丁均为初中化学常见的物质，它们之间的部分转化关系如图所示(部分反应物、生成物和反应条件已略去。
“——”表示物质之间能发生化学反应。
“―→”表示物质之间的转化关系)。
下列推论不正确．．．的是( )A ．若甲是碳酸钙，则乙转化成丙的反应可以是放热反应B ．若乙是最常用的溶剂，则丁可以是单质碳C ．若甲是碳酸钠，乙是硫酸钠，则丁可以是氯化钡D ．若丙是二氧化碳，丁是熟石灰，则丁可以通过复分解反应转化为乙5．金属钠非常活泼，常温下在空气中易被氧化，也易与水反应。
现将5.4g 部分氧化的金属钠样品放入150g 16%的硫酸铜溶液中，充分反应后过滤，得到9.8g 蓝色滤渣。
人教版九年级下册数学第3课时 特殊角的锐角三角函数值课件
你是如何操作的呢？
以求sin18°为例.
sin键 输入角度值18° 得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
解 : sin A BC 3 2 , AB 6 2
A 45 .
例2 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底 面半径，AO= 3OB，求α的度数.
解 : tan AO 3OB 3,
OB OB
60.
练习
1.求下列各式的值： （1）1-2sin30°cos30°；2 3
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
1. 2
2
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A， B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和 ∠B的大小.
因此，这块木板的面积约为1280.30 cm2.
拓广探索 9. 用计算器求下列锐角三角函数值，并填入 表中：
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的 变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结 论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断 增大.
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、 余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角 函数的定义及勾股定理.）
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28.1锐角三角函数
第3课时
教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进行有关计算；
2.能依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数. 【过程与方法】
经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义. 【情感态度】
在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学 生的推理能力和计算能力.
教学重难点
【教学重点】
熟记30°，45°，60°的三角函数值，并用它们进行 计算. 【教学难点】
探索30°，45°，60°的三角函数值的指导过程.
课前准备 无 教学过程
一、情境导入，初步认识
问题 在前面我们已经得到sin3o °= 1
2
，sin45°= 2，你能得到30°，45°角
的其它三角函数值吗？不妨试试看.
【教学说明】 教师可引导学生从所给结论sinA = sin30°=
1
2
出发，设 BC = 1，
则 AB = 2，由勾股定理可得，可得到30°的其它三角函数值，同样在图（2)中，
仍可设BC = 1， 则AC = 1，，也能得出45°的其它三角函数值.这里设BC = 1是为了方便计算.
二、思考探究，获取新知
通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°= 1
2
，cos30°
= 2，tan30°
= 3，
sin45°
，cos45°
, tan45°= 1.
【想一想】 60°角的三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互交流中可得出结论：sin60°
,cos60°= 1
2
，tan60°
教师再将上述所有结论整理，制成下表
.
例1 求下列各式的值. (1) cos 260°+ sin 260°；（2）
cos 45tan 45sin 45︒
-︒︒
.
解 （1）原式 =
1
2
（）2
+ 2 2 = 14 + 3
4
= 1； （2）原式
2
- 1 = 0.
例2 （1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，
求∠A
的度（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB
倍，求α
.
解（1）∵
sinA =
BC
AB2
＝,∴∠A = 45°；
（2）∵tanα
=
OA
OB
α = 60°.
【教学说明】以上两例均可先由学生自主完成，然后教师在展示解答过程，加深学生对本节知识的理解，并指明两例题的侧重点不一样，例1侧重于运用特殊角的三角函数值来参与计算，而例2则是通过计算一个角的某一三角函数值后，利用锐角的三角函数值与锐角之间的一一对应关系，从而确定锐角的度数.这样处理，可让学生熟记特殊角的三角函数值.
1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且tanA =
1
2
，
ABC的形状是（）
A.直角三角形
B.
C.锐角三角形
D.
2.计算：（1）3tan30°- tan45°+
1
2
sin60°= ___________ .
（2）
60
160
sin
cos
︒
-︒
+
1
30
tan ︒
- sin45°
= ___________ .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，
，
,试求∠A、∠B的度数.
4.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠OBC=30°，试求
A、D两点坐标.
【教学说明】 四道题均可让学生自主探究，也可小组内讨论，达到解决问题的目的.教师巡视，发现问题给予指导，对优秀者和积极参与者给予鼓励，增强学生的学习信心.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
1.B 【解析】 ∵
,∴∠B = 30°，又∵tanA = 12
＜
= tan30°，∴∠A ＜ 30°，∠A + ∠B ＜ 60°，∴∠C = 180°- (∠A + ∠B) ＞ 120°.
即△ABC 是钝角三角形，故选B.
2.（1
）
14- （2
）2
【解析】 （1）原式
= 131322⨯-+⨯
14+
14
-
（2）原式
= 21123
+-
3.由题意易得：tanA
= 3BC AC ===
,tanB
= AC BC =∴∠A = 30°， ∠B = 60°.
4.解：∵ OB = BC ·
cosB = 23⨯=·sinB = 1
212
⨯=, ∴B
点的坐标是（）.
过D 点作DE 垂直于y 轴，交y 轴于E 点，易证△OBC ≅△ECD ，
∴∠DCE = ∠CBO =30°.
∴CE = cos∠DCE ·CD = 2
2
=，
∴OE = OC + CE = 1+1
1 2
CD=,
∴D 点的坐标是（1,1
-+.
五、师生互动，课堂小结
1.如何理解并熟记特殊角的三角函数值？同学间相互交流.
2.运用特殊角的三角函数值可解决哪两类问题？
【教学说明】师生共同回顾，对于问题1，可引导学生利用图形进行推理计算，也可通过表格中横排的数的变化规律来记忆.
课后作业
1.布置作业：从教材P68〜70习题28. 1中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
教学反思
本课时教学以“自主探究”为主体形式，所以应先给学生自主动手的时间，给学生提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作学习的能力.。