巧用比例解决面积问题

巧用比例解决面积问题

2,如图,在三角形ABC中,BC和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积为多少?

【解】连接DE,则DE∥BC,且DE=½BC, S△ADE=S△DEB=½S△BCD,

S梯形BCDE=¾S△ABC,作DF∥EC,与BC延长线交于F,则BD⊥DF,EC=DF,且S梯形=S△BDF=½•4•6

BCDE

=12,∴S△ABC=16 【完】

3,如图,四边形ABCD为普通凸四边形,如何过A点作一条直线,把四边形ABCD分成面积相等的两个部分?

【解】如图2,连接AC,过B点作BE∥AC,交DC延长线于E,连接AE,则S△ACE=S△ABC,故S梯形ABCD=S△ADE,

取DE的中点F,连接AF,则有S△ADF=S△AEF=½S△ADE=½S梯形ABCD,故直线AF 为所求的直线｡【完】

(面积问题)

4,如图,延长△ABC的三边分别至D､E､F点,使得BD=αAB,CE=αBC,AF=αAC,求S△DEF:S△ABC｡

【解】如图2,连接AE,BF,CD,设S△ABC=X,则S△ACE=S△BCD=S△ABF=αX;

S△AEF=S△CDE=S△BDF=α²X;∴S△DEF=X+3αX+3α²X,

即S△DEF:S△ABC=1+α+α²【完】

5.

(1)如图1,在D､E､F分别在△ABC的AB､AC､BC边上,且DE∥BC,EF∥AB,△EFC的面积为S1,△ADE面积为S2,四边形DEFB的面积为S,证明:S²=4S1•S2;

(2)如图2,已知平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG､△BDE､△GFC的面积分别为2､3､5,求△ABC的面积｡

【证明】(1)过A作AN⊥BC,交DE于M,交BC于N,过E作EP⊥BC,交BC

于P,则S2=½DE•AM,S=DE•MN,S1=½CF•MN,由四边形DEFG为平行四边形知,

△ADE∽△EFC,△AME∽△EPC,且MN=EP,于是DE:FC=AE:EC=AM:EP,∴AM•FC= DE•EP=DE•MN,∴4S1•S2=4·½•CF•MN•½DE•AM=CF·AM·DE·MN

=(DE·MN)²=S²【证毕】

(2)如图4,过G点作GK∥AB,交BC于K，∵GF=DE,∠GFK=∠DEB，∠B=∠GKF，∴△GKF≌△DEB,故△GFK的面积为5，△CGK的面积为3+5=8，根据(1)中的结论,平行四边形DGKB的面积的平方为:4•2•8=64，∴平行四边形DGKB的面积为8，故△ABC的面积为:2+8+8=18 【完】

6,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的角平分线,且CE⊥AB于E,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,求梯形ABCD的面积｡

【解】如图2分别延长CD､BA,交于F点,∵ CE是∠BCD的角平分线,且CE⊥AB,∴△BCF为等腰三角形,且CB=CF,又BE=EF=2AE,∴FA=AE,FA:FB=1:4,S△ADF::S△BCF=1:16,设S△ADF=X,则S△BCF=16X,S△ECF=8X,于是有:8X=X+1,X=1/7,∴S梯形ABCD=1+8•1/7=15/7【完】

7,如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P为AD的中点,如果AB=X,CD=Y,且Y>X,那么在BC边上是否存在一点Q,使得PQ所在直线将四边形ABCD分成相等的两部分?

【解】如图2,延长CD至F,使得DF=X,延长BA至E,使得AE=Y,则BE∥CF,且BE=CF=X+Y,

又BE=BC=X+Y,所以BCFE为菱形,连接BF,交AD于N点,则△ABN≌△DFN,于是DN=NA,故N和P点重合,且P为BF的中点｡设P到各边的距离为Z,在BC边上取Q 点,使得BQ=Y,连接PQ,S四边形ABQP=S△ABP+S△BPQ=½X•Z+½Y•Z=½Z•(X+Y);

S四边形PQCD=S△PQC+S△PCD=½X•Z+½Y•Z=½Z•(X+Y),故直线PQ将四边形ABCD分成相等的两部分｡综上所述,在BC边上存在一点Q,使得PQ所在直线将四边形ABCD分成相等的两部分｡【完】

8,如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC､△ADF､△BEF的面积分别记为S△ABC､S△ADF､S△BEF,且S△ABC=12｡

则S△ADF-S△BEF=?

【解】如图2,连接CF,设S△BEF=x,S△ADF=y,则S△CFE=2x,S△CFD=2x,

∵ S△ABD=S△BCD,∴S△ABF=3x;∵ 2S△ABE=S△ACE,∴2(3x+x)=2x+2y,解得:y=3x;

又S△ABC=12,∴x+2x+y+y+3x=12,即12x=12,x=1,y=3;∴S△ADF-S△BEF=y-x=2｡【完】

9,如图,已知正方形ABCD的边长为1,M､N为BD所在直线上的两点,且AM=√5,∠MAN=135°,则四边形AMCN的面积为多少?

【解】如图2,连接AC,与MN交于P点,则AP=√2/2,MP=3√2/2,MB=√2;

因为∠MAN=135º,∴∠ANM+AMN=45°,而∠NAD+∠AND=45°,

∴∠NAD=∠AMN,从而∠AND=∠MAD,于是△ADN∽△ABM∽△AMN,ND:AD=AB:MB,ND=1/MB=√2/2,所以MN=MP+PD+ND=5√2/2,

S四边形AMCN=2·½·5√2/2·√2/2=5 【完】

10,如图,正六边形ABCDEF的边长为2√3cm,P为正六边形内一点,则点P到各边距离之和为多少?

【解】如图2,连接PA､PB､PC､PD､PE､PF,则正六边形ABCDEF被分成了六个三角形,设P到六个边的距离之和为xcm,那么这六个三角形面积之和为:½·2√3·x=√3x;

另一方面,正六边形的面积为:6·½·2√3·√3=18,∴√3x=18,

x=6√3,即点P到各边距离之和为6√3 【完】

11,如图,E､F分别为矩形ABCD的边,AB､BC的中点,连接AF､CE,交于点G,则S四边形

∶ S矩形ABCD等于多少?

AGCD

【解】如图2,连接BG,设AD=a,AB=b,S△AEG=x,S△CFG=y,则S△BEG=x,S△BFG=y,

2x+y=ab/4,x+2y=ab/4,于是3(x+y)=ab/2,得到:x+y=ab/6,S四边形AGCD=ab-2(x+y)=2ab/3,故S

∶ S矩形ABCD=2∶3 【完】

四边形AGCD

12,如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=CQ=2,求正方形ABCD的面积｡