一线三等角型相似初三压轴题

中考热点5――三等角型相似三角形

式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题

【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6, D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE

【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60

再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段

BE 的长度

解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °

•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC

(2)v^ BDECFD

• FC CD "BD

- BE

•/ BD=1 , FC=3, CD=5

BE=5

点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,

求证：△ BDE DFE

【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件

可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:

•/ AB=AC ,Z EDF = / B

•••/ B= / C=Z EDF

•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFD BE DE 又••• BD=CD

CD DF BE DE

BE BD

•-

即

BD DF DE DF

•••/ EDF = Z B

三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 A

•••△BDE s\ DFE

点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点

D是底边中点

则有三对相似三角形，△ BDE与厶CFD相似后若得_BD = 匹加上BD=CD可证得△ CFD与厶DFE相似

CF DF

【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P

作射线PM交AC于点M，使/ APM = Z B;

(1)求证：△ ABPPCM ;

(2)设BP=x, CM=y .求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.

(3)当厶APM为等腰三角形时，求PB的长. 【思路分析】第(1) (2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△

进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABPPCM相关的结论

解：(1)v AB=AC ,Z APM = / B APM=Z B= / C

•••/ APC=Z APM+ / MPC= / B+Z BAP

•••/ BAP=Z MPC

• △ABP PCM

(2)v BP=x, CM=y, CP=8-x

..AB BP

PC - MC

5 x

… ---- —--

8 -x y

1 8

•- y x2x (0 ::: x ::: 8)

5 5

(3)当AP=PM 时

PM PC

• PC=AB=5

PA AB

• BP=3

当AP =AM时

.Z APM= Z B= Z C

•Z PAM= Z BAC即点P与点B重合

• P不与点B、C重合

•舍去

当MP=AM时

• Z MAP= Z MPA

MP AB 5 AP BC

PM PC

PA AB

39

• BP=-

8

点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件

进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP和厶PCM中简化

运算。

【例4】(1)在ABC中，AB二AC =5, BC =8,点P、Q分别在射

P

线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持.APQ =/ABC .

①若点P 在线段CB 上（如图10），且BP = 6，求线段CQ 的长; ②若BP 二x ，CQ 二y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的 定义域;

（2）正方形ABCD 的边长为5 （如图12），点P 、Q 分别在直线 CB 、DC 上

（点P 不与点C 、点B 重合），且保持.APQ =90 .

当CQ =1时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果） 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅 在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见 的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式 后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问 题。 解：(1)T . APQ . CPQ

. BAP , . APQ 二/ABC ,

••• . BAP "CQP .

又••• AB 二 AC • B = ■ C .

•• QCP s ：ABP .

• CQ CP BP 一

AB .

••• AB 二AC=5 , BC =8 , BP=6 , CP=8-6=2 ,

:BP = x , BC = 8 , •- CP = BC - BP = 8 - x ,

又••• CQ 二 y , AB = 5, • — =8

-，即 y = _]x 2 §x .

x 5 5 5 1 2 8

故所求的函数关系式为 y x 2 • — x , （0 ：：： x ：：： 8）.

5 5

若点P 在线段CB 的延长线上，如图11.

■ APQ 二 APB • CPQ ,

ABC "APB

PAB ,

APQ = "ABC

C P Q = " A B

又••• ABP =180 - ABC ,

PCQ =180 - ACB , - ABC "ACB ,

CQ 2

6 - 5 ?

CQ 12

（2）若点P 在线段CB 上，由（1）知

CQ BP

CP AB

备用图

图12