高中数学选修2-2推理与证明演绎推理

2.1.2 演绎推理

[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

知识点一演绎推理及其一般模式——“三段论”

1.演绎推理

2.三段论

思考(1)演绎推理的结论一定正确吗？

(2)如何分清大前提、小前提和结论？

答案(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.

(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.

知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系

题型一用三段论的形式表示演绎推理

例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.

解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾.结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除.结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数.结论

反思与感悟三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.

跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)0.332是有理数；

(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数；

(3)Rt△ABC的内角和为180°.

解(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论).

(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos

x (x ∈R )是周期函数(结论).

(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt △ABC 是三角形(小前提)，Rt △ABC 的内角和为180°(结论).

题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用

例2 在锐角三角形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明 ∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，

∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2

.

又∵在

⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦函数是单调递增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭

⎫π

2－B ＝cos B ，

即sin A ＞cos B ，① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A .③

以上①②③两端分别相加，有：

sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .

反思与感悟 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.

(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1

ab

≥8.

(2)求证：函数f (x )＝2x

－1

2x ＋1是定义域上的增函数.

证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤1

2，

∴1

ab

≥4，

∴1a ＋1b ＋1ab

＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab

≥2ab ·2

1

ab ＋

1

ab

≥4＋4＝8.

当且仅当a ＝b ＝1

2时等号成立，

∴1a ＋1b ＋1

ab

≥8.

(2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2.

则f (x 1)－f (x 2)()1222112121x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()1221

21

1

1222221212121x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=-= ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦

. ∵x 1＜x 2， 121222,220x

x

x

x

∴∴-＜＜， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.

∴f (x 1)＜f (x 2).故f (x )为R 上的增函数. 题型三 合情推理、演绎推理的综合应用

例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.

(1)求证：O 为△BCD 的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明. (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，

∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.

(2)解 猜想：S 2

△ABC ＋S 2

△ACD ＋S 2

△ABD ＝S 2

△BCD . 证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，