微分中值定理与导数应用.ppt
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拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f
(0)
0,
f
( x)
1 1
x
,
由上式得
ln(1
x)
x 1
,
又0 x
即111 x
即
1
1
x
1
1
1,
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第四章 微分中值定理与导数应 用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性与极值 曲线的凹凸与函数作图
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
观察： 看右图，函
数连续，且两端点处
的函数值相等，除端 y
C
点外处处有不垂直于
x 轴的切线，在C点
f ( x)
1 ( 1 x2
1 1
x2
)
0.
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin0 arccos0 0 , 22
即C .
arcsin
x
2 arccos
x
.
2
第一节 中值定理
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f '() 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
第一节 中值定理
证： f ( x)在[a，b]上连续，其在[a，b]上 必取得最大值M和最小值m （1）m M时，显然成立。
ba 或 f (b) f (a) f ()(b a).
第一节 中值定理
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导, x, x x (a,b), 则有
f (x x) f (x) f (x x) x (0 1).
也可写成y f ( x x) x (0 1).
（2）m M时，不妨设M f (a),且f ( ) M。 则x U ( )时，f ( x) f ( ).则对于 x U ( ), 有f ( x) f ( ),从而当
x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x
第一节 中值定理
当x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x 由可导的条件及极限的保号性，可得
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
所以f ( ) 0.
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、 临界点）。
第一节 中值定理
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第一节 中值定理
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析:条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
第一节 中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
满足
（1）在闭区间[a, b]上连续；
（2）在开区间(a, b) 内可导；
（3）对任一 x (a, b) ， F '( x) 0 ；
那么在(a, b)内至少有一点(a b),使得
第一节 中值定理
则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
即 f () f (b) f (a) F () 0, F(b) F(a)
f (b) f (a) f () . F (b) F (a) F ()
特别地 当 F ( x) x, F(b) F(a) b a, F ( x) 1, 这时 f (b) f (a) f ()
和D点的切线有何特
点？
oa
y f (x)
D
bx
第一节 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)满足 （1）在闭区间 [a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b) 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ,使得
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f
(0)
0,
f
( x)
1 1
x
,
由上式得
ln(1
x)
x 1
,
又0 x
即111 x
即
1
1
x
1
1
1,
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第四章 微分中值定理与导数应 用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性与极值 曲线的凹凸与函数作图
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
观察： 看右图，函
数连续，且两端点处
的函数值相等，除端 y
C
点外处处有不垂直于
x 轴的切线，在C点
f ( x)
1 ( 1 x2
1 1
x2
)
0.
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin0 arccos0 0 , 22
即C .
arcsin
x
2 arccos
x
.
2
第一节 中值定理
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f '() 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
第一节 中值定理
证： f ( x)在[a，b]上连续，其在[a，b]上 必取得最大值M和最小值m （1）m M时，显然成立。
ba 或 f (b) f (a) f ()(b a).
第一节 中值定理
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导, x, x x (a,b), 则有
f (x x) f (x) f (x x) x (0 1).
也可写成y f ( x x) x (0 1).
（2）m M时，不妨设M f (a),且f ( ) M。 则x U ( )时，f ( x) f ( ).则对于 x U ( ), 有f ( x) f ( ),从而当
x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x
第一节 中值定理
当x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x 由可导的条件及极限的保号性，可得
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
所以f ( ) 0.
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、 临界点）。
第一节 中值定理
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第一节 中值定理
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析:条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
第一节 中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
满足
（1）在闭区间[a, b]上连续；
（2）在开区间(a, b) 内可导；
（3）对任一 x (a, b) ， F '( x) 0 ；
那么在(a, b)内至少有一点(a b),使得
第一节 中值定理
则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
即 f () f (b) f (a) F () 0, F(b) F(a)
f (b) f (a) f () . F (b) F (a) F ()
特别地 当 F ( x) x, F(b) F(a) b a, F ( x) 1, 这时 f (b) f (a) f ()
和D点的切线有何特
点？
oa
y f (x)
D
bx
第一节 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)满足 （1）在闭区间 [a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b) 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ,使得