微专题37与三次函数零点有关的取值范围问题答案

微专题37

1．答案：1.

解析：∵f ′(x )＞0恒成立，∴函数f (x )单调递增，∴零点个数是1. 2．答案：±2.

解析：函数f (x )＝x 3－3x ＋c 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，(－1，1)上递减，由题意 f (－1)f (1)＝0，即(2＋c )(－2＋c )＝0，解得c ＝±2. 3．答案：(－∞，－2)．

解析：当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2

a ，①当a

＞0时，由图象及f (0)＝1知函数f (x )有负数零点，舍去；

②当a ＜0时，由图象及f (0)＝1，只需满足f )2(a ＞0，即a )2(a 3－3)2(a

2

＋1＞0，解得a ＜

－2.综上：a ＜－2.

4．答案：)41,(--∞∪),4

1(+∞

解析：∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－1

4

.

5．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

解析：可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 6．答案：⎝⎛⎦

⎤0，12. 解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭

⎫x －1

a (x －1)， ①当12＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－1

6

(a －1)＞0，

(ⅰ)当2a ≤1，即0a ≤12时，1

a ≥2，＜＝1

3

(2a －1)≤0，f (2)

因为f (x )在区间[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴f (x )在区间[0，1]和(1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；

(ⅱ)当2a ＞1，即12＜a ＜1时，1＜1

a ＜2，f )1(a

＝－2a 2＋3a －16a 2＝－（2a －1）（a －1）6a 2＞0，

f (2)＝1

3(2a －1)＞0，∴x ∈[1，2]，f (x )＞0.∵f (x )在[0，1)上为增函数，

∴f (x )在区间(0，1)有一个零点，即在[0，2]上有一个零点，不满足题设； ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2，

∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[0，2]上不可能有两个零点； ③当1a ＜1，即a ＞1时，f (0)＝－1

3

＜0，

f (1)＝－16(a －1)＜0，f )1(a

＝－（2a －1）（a －1）6a 2

＜0，f (2)＝13(2a －1)＞0，

，即在[0，2]上有一个零点，不满足题设．综上，a 的取值范围是]2

1

,0(. 7．答案：(1)－34；(2)(－∞，2)∪(5

2

，＋∞)．

解析：(1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵x ∈R ，∴f ′(x )≥m 即3x 2－9x ＋6－m ≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－3

4

，即m 的最大值为

－34

. (2)∵当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，2)上递减；∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5

2－a ，当x ＝2时，

f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (1)＜0或f (2)＞0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a ＜2或a ＞52.(或由f (1)f (2)＜0，亦可解得a ＜2或a ＞52

)

8．答案：(1)当a ≥1时，有两个解；当－1＜a ＜1时，有三个解；当a ≤－1时，有两个解；(2){1}．

解析：(1)f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4，∴x 4－ax 3＝|x －a |，∴x 3(x －a )＝|x －a |，即x ＝a 或

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎨⎧x ＜a ，x ＝－1， ①当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；

②当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1； ③当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1.

(2)当a ＞0时，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，∴函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0，

∴当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1 024f （x ）∈⎣⎡⎦⎤1 024

f （a ＋2），1 024f （a ），

当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[f (a ＋2)，＋∞)．∵对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，

＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，∴⎣⎡⎦⎤1 024f （a ＋2），1 024f （a ）[f (a ＋2)，＋∞)，∴ 1 024

f （a ＋2）≥

f (a ＋2)，∴f (a ＋2)2≤1 024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32，

∵a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足． ∴满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}．