高等数学教学设计_中值定理

合集下载

高等数学中值定理

F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件，所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解：显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,

高等数学第3章第一节中值定理

6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数，且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b），
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。注意到 f ' x 0 为三次方程，它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：

高等数学6讲中值定理

第六讲中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。

高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用

高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理；会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件，则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x

高等数学教学设计——中值定理

4.1微分中值定理单元教学设计一、教案头二、教学设计4.2函数的极值和最值单元教学设计一、教案头二、教学设计案例应用案例1 求1213123+++=x x x y 的极值案例2 讨论2-x e y =的极值案例3 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x 取和值时水槽的流量最大？案例4 铁路线AB 距离为100公里，工厂C 距A 为20公里，AC 垂直于AB ，今要在AB 上选定一个点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D 点选在何处才能使从B 到C 的运费最少？案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图4.3函数图像的描绘单元教学设计一、教案头任务1 函数的凸凹性和拐点任务2 函数的渐近线. 任务3 按步骤描绘函数图像案例1（注水曲线凸凹）设水以常数0,/3>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。

案例2 描绘函数2-)1(42xx y +=的图像。

案例3（最值问题）要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？案例4（最值问题）要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V ，问当圆柱体的高h 和底半径r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？二、教学设计渐近线（1）斜渐近线若)(x f 满足：k xx f x =∞→)(lim，且b kx]-[f(x)lim =∞→x则曲线)(x f y =有渐近线b kx y += 如下图：例求曲线3-223x x x y +=的斜渐近线例求曲线22-123xx y +=的斜渐近线（2）垂直渐近线如果C x →(或者+→C x 或者-C x →)时，∞→)(x f 。

高等数学教案第四章

第四章微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足：（1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，（3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足：（1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。

拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。

高等数学5.2 定积分的性质中值定理

a
y
y=f (x)
f ()
b
a f (x) dx =f ()(ba)
Oa
bx
定积分中值定理：性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续，则在积分区间[a, b]上至少存在一个点，使下式成立：
b
f (x)dx f ()(ba)
--------积分中值公式．
a
a
c
值得注意的是，不论a，b，c的相对位置如何，总有此等式．注
注：不论a，b，c的相对位置如何，总有下述等式．
b
c
b
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ．
a
a
c
例如，当a<b<c 时，由于
于是有
c
b
c
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ，
a
b
b
| f (x)dx | |f (x)|dx
(a<b)．证明
a
a
设M 及m 分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最
b
m(ba) f (x)dx M (ba)
(a<b)．证明
a
推论1 如果在区间[a，b]上，f (x) g(x)，则
b
b
f (x) dx g (x) dx (a<b)．
(a<b)b]上的最大值及最
小值，则
b
m(ba) f (x)dx M (ba) (a<b)． a
证明因为 m f (x) M ，所以
从而
b
b
b
m dx f (x)dx M dx ，

3-1第一节微分中值定理

再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b), x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必定存在一点ξ ∈(a,b),使f ‘(ξ)=0,则与题设导数恒不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.
高二拉格朗日(Lagrange)定理等定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b] 数 y f(x)=k B 学 A 电上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(b) f(ξ) 子 f(a) x 教在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 o a ξ1 ξ2 b 案
高等数学电子教案
(中值定理与导数的应用)
武汉科技学院数理系
高等数学电子教案
第三章
微分中值定理与导数的应用
这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
a
武汉科技学院数理系
即f(a)=f(b)，且除了端点外

b
处处有不垂直于x轴的切
线。
高等数学电子教案
可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
平的切线.如果记C点的横坐标为ξ ，那么有 f ' ( ) = 0。我们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
武汉科技学院数理系
m ξ2 b
x
高等数学电子教案
定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有
一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f ’(ξ)=0. 罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件 (1)在闭区间[a,b]上连续;

《高等数学》微分中值定理的说课设计

１＿３教学目标
注： ①罗尔定理的条件是充分的，结论是定性的． ② 推广：
罗尔定理的第三个条件ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）一般很难保证，我们尝试去掉这个条件，会有什么样的结论产生呢？由此引出拉格朗日中值定理．关于拉格朗日中值定理，我们采用的证明方法是找原函数：要证ｆ，（毫）＝
２０１５年第８１期是试周刊
等数学》微分中值定理的说课设计
朱碧
（河南工业大学理学院，河南郑州４５０００１）
摘要：微分中值定理作为微分学的核心概念之一，在高等数学中具有相当重要的地位和作用，是导数应用的理论基础．对积分学的发展，具有承前启后的重要作用．关键词：微分中值定理教材分析教学策略教学体会
ｆ，（ ∈ ）＿ｆ，（ ∈ ）：ｌｉｍ
△ ｏ＿
垒二 ≥ ０
．
△Ｘ
ｆ，（毛）： ∈ ）：ｌｉｍ
△ｘ —ｏ．
坚 ≤ ０
△ｘ
．
）－【】．
学生已较好地掌握了函数极限和函数的导数相关知识。正迫切地想知道导数到底有什么用，这种求知欲正好是学习本节内容的前提．另外，本班学生数学基础较好（分层教学Ａ班），思维比较活跃，对数学新内容的学习有相当大的兴趣和积极性。这为本课的学习奠定了基础．但是本节内容理论性强，抽象度高，内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转Байду номын сангаас化的思维能力有较高的要求．学生学习起来有一定难度．

《高等数学》中微分中值定理的教学处理

（ ! (）（ ( * ’）（ ( * )）证明：设# （ "）) "% ， $ （ "）) "，（ % "）) ! 显然（ ! "）， # （ "）， $" （ "）满足定理 % 的条件，则至少存在一点 !* （ ’， )）使（ ! ’ ） ’% $ （ ! ) ） )% （ ! ( ） (% !& （ !） % ’ ! ) ( & ! ! & )&
收稿日期： !$$% —$G —$# 基金项目：院教改课题资助项目
作者简介：张国辉（ &G#? —），男，湖南衡阳人，衡阳师范学院数学系讲师 @
!""# 年第 $ 期
张国辉：《高等数学》中微分中值定理的教学处理
%&& ’
’ ’ 但以上两例都是可以用例 % 的方法解决的（要求学生验证）。进一步提出，该结论是不是可以再推广呢？让学生讨论，教师适当引导，可以得出下面的结论：定理 %( 设函数（ ! "）， # （ "）， $ （ "）均在［ %， &］上连续在（ %， &）上可导，则至少存在（ ! %） # （ %） $ （ %） ! &） # （ &） $ （ &） ) " （ %， &），使（ !* !（ !） #（ !） $（ !）（ ! %） # （ %） $ （ %）证明：设( （ "）) （ ! &） # （ &） $ （ &）（ ! "） # （ "） $ （ "）显然 ( （ "）在［ %， &］上连续，在（ %， &）上可导，且 ( （ %）) ( （ &）) " 由洛尔定理知至少存在一点 ! * （ %， &），使 (’ （ !）) " （ ! %） # （ %） $ （ %） ! &） # （ &） $ （ &）定理证毕。即（ !（ !） #（ !） $（ !）显然，我们已经把微分中值定理推广到三个函数的情形，此时。学生的情绪高涨，趁热打铁，继续提问，可不可以推广到四个函数呢？情况又怎么样呢？考察函数：（ ! %） # （ %） $ （ %）（ ) %） ( （ "）) （ ! &） # （ &） $ （ &）（ ) &）（ ! *） # （ *） $ （ *）（ ) *）（ ! "） # （ "） $ （ "）（ ) "）经过分析发现，如果（ ! "）， # （ "）， $ （ "）， ) （ "）均在［ %， &］上连续，在（ %， &）上可导，则至少存在两点（ %， &），使 (’ （ !% ）) " ， (’ （ !! ）) " ，于是，由 !% ， !! * 罗尔定理进一步得到：定理 !( 设（ ! "）， # （ "）， $ （ "）， ) （ "）均在［ %， &］上连续在（ %， &）上二阶可导，则对（ %， &），至少存在一点 !* （ %， &），使 -** （ ! %） # （ %） $ （ %）（ ) %）（ ! &） # （ &） $ （ &）（ ) &）（ ! *） # （ *） $ （ *）（ ) *） !+ （ !） #+ （ !） $+ （ !） )+ （ !）证明：对-** （ %， &）设 )" ’

高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则

() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ）若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2

2
→0+

=
=
(
−
→0+ 2

1
)2
1
2
−
=
= .

2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于或型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类

高等数学第10课微分中值定理18

f a
(a)
(x
a)
，
4
10 微分中值定理第
课
因为 f (x) 在 [a ，b] 上连续，在 (a ，b) 内可导，所以 F(x) 在 [a ，b] 上连续，在 (a ，b) 内可导，并且
F(a)
f
(a)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)
(a
a)
f
(a)
f
(a) 0
F(b)
f
(b)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)(ba) Nhomakorabeaf (b) [ f (a)
f (b)
f (a)] 0
所以 F(a) F(b) ，由罗尔中值定理知至少存在一点
(a ，b) ，使得 F( ) 0 ．而
F (x)
f
(
x)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)
(x
a)
f (x)
f (b) f (a) ba
课微分中值定理
f (x) f (x0 ) 0 ． x x0
由 f (x) 在 x0 处可导及函数极限的保号性得
f (x0 )
f(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0，
f (x0 )
f(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0，
所以 f (x0 ) 0 ．
又因为 f (x) 2x 4 2(x 2) ，由 f (x) 0 得 x 2 ， 2(1，3) ，所以 2 ．

高等数学第一节微分中值定理

f ( x )
1 1 x
2

1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a

b
xБайду номын сангаас

《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第1节中值定理

拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 法国数学家. 他在方程论解析函数论及数论方面都作出了重要的贡献, 及数论方面都作出了重要的贡献近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间余年来接地溯源于他的工作, 接地溯源于他的工作他是对分析数学产生全面影响的数学家之一 .
y
C M•
y = f ( x)
•
D

A•
•N
ξ1 x
o a
ξ2 b
x
分析: 证分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b) .
f (b) − f (a ) ( x − a) . 弦 AB方程为 y = f (a ) + 方程为 b−a 曲线 f ( x )减去弦 AB ,
所得曲线 a , b 两端点的函数值相等 .
(1)
f ′(ξ ) = 0 .
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) .
在[−1 , 3]上连续 , 在( −1 , 3) 上可导 , 且 f ( −1) = f ( 3) = 0 , Q f ′( x ) = 2( x − 1) , 取 ξ = 1 (1 ∈ ( −1 , 3)) , f ′(ξ ) = 0 .
f (b) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )] . b−a F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ ,
作辅助函数
使得 F ′(ξ ) = 0 . 即
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − =0, b−a 拉格朗日中值公式或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) .

高等数学上、下册3_1 中值定理

中值定理的条件，求. 解由题设知，拉格朗日中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明：当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.

《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理

证明方法
柯西中值定理的证明
应用实例2
求解某些复杂函数的导数问题。
应用实例3
研究函数的单调性、极值和拐点等问题。
应用实例1
证明等式$lim_{x to a} frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$。
柯西中值定理的应用实例
感谢观看
THANKS
详细描述
罗尔定理的表述
总结词：罗尔定理的证明基于中值定理和闭区间上连续函数的性质。通过构造一个新函数并利用中值定理证明存在至少一个点使得导数为零。
详细描述：证明罗尔定理的步骤如下
1. 构造新函数$F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)] cdot x$。
2. 证明$F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。
《高等数学教学课件》§4.1微分中值定理
目录
微分中值定理的概述罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
01
微分中值定理的概述
定义与性质
定义
微分中值定理是描述函数在某区间内至少存在一个点，使得在该点的导数等于该函数在此区间内两个端点处的函数值的差的定理。
性质
微分中值定理具有普遍性，适用于所有连续可导的函数；同时，它也是导数存在定理的推论，为研究函数的单调性、极值等问题提供了重要的理论依据。
3. 利用中值定理，存在至少一个点$c in (a, b)$，使得$F'(c) = 0$。
4. 由于$F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]$，所以$f'(c) = 0$。
罗尔定理的证明
总结词：罗尔定理在数学分析、微积分和实变函数等领域有广泛的应用，它可以用于证明一些重要的数学结论和解决一些数学问题。

《高等数学》微分中值定理

77微分中值定理一、基本内容公共条件：若函数)(x f ，)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，1. 罗尔(Rolle)定理：在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf2. 拉格朗日（Lagrange ）中值定理：则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ或ab a f b f f --=')()()(ξ 3. 柯西（Cauchy ）中值定理：对任一),(b a x ∈，0)(≠'x g ，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 二、学习要求理解罗尔定理，拉格郎日中值定理，柯西中值定理的条件和结论，并会使用这些定理。

三、基本题型及解题方法题型1 不求导数，判断方程0)(='x f 的根的情况解题方法：先寻找罗尔定理的条件，然后根据罗尔定理得出结论。

【例1】不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在区间。

解：因为,0)4()3()2()1(====f f f f 所以)(x f 在闭区间[1，2]、[2，3]，[3，4]满足罗尔定理的三个条件，因此，在（1，2）内至少存在一点1ξ，使0)(1='ξf ，即1ξ是)(x f '的一个实根；在（2，3）内至少存在一点2ξ，使0)(2='ξf ，即2ξ是)(x f '的又一个实根，又在（3，4）内至少存在一点3ξ，使0)(3='ξf ，即3ξ是)(x f '的又一个实根。

78 又因为)(x f '为三次多项式，最多只能有三个实根，故)(x f '恰好有三个实根，分别在区间（1，2）、（2，3）和（3，4）内。

大一上学期同济版高数第三章中值定理

x cos x
2
0 x . 2

中值定理条件, (0 x ) 因此应有 2 即

cos x 在 (0, ) 内单调减少。 0 cos x cos 1 2 x x x 2 2 cos cos x x 故 x tan x 0 x . 2 21 2 cos x
b a
f (b) f (a) f ( ) . ba
可以推出 f (b) f (a) f ( )(b a). 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令则
y f ( x0 x)x
(0 1)

x0 x0 x x0 x (0 1)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 0,
再对f ( x)分别在[ x1, x2 ]、 2 , x3 ]上应用罗尔定理， [x 至少存在 1 ( x1, x2 )、 2 ( x2 , x3 )使得 f (1 ) f ( 2 ) 0,
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔中值定理 .
6
例1 求证罗尔定理对于函数 f x sin x 在区间
[0, 2 ] 上的正确性。
f f [ x f x ] x 0
证：设 F x x f x , 由题意知 F x x f x
F 在 [ 0, 1] 上连续, 在 0,1 ) 内可导， 1 0, F 0 0 （

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

4.1微分中值定理单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
4.2函数的极值和最值单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
案例应用案例1 求12
1312
3+++=
x x x y 的极值
案例2讨论2-x e
y 的极值
案例3有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？
案例4铁路线AB距离为100公里，工厂C距A为20公里，AC垂直于AB，今要在AB上选定一个点D向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D点选在何处才能使从B到C的运费最少？案例5现在用一铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图
4.3函数图像的描绘单元教学设计
一、教案头
任务1 函数的凸凹性和拐点任务2 函数的渐近线. 任务3 按步骤描绘函数图像
案例1（注水曲线凸凹）设水以常数0,/3
>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的
高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。

案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。

案例3（最值问题）要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？
二、教学设计
）渐近线
（1）斜渐近线
若)(x
f满足：k
x
x
f
x
=
∞
→
)
(
lim，且b
kx]
-
[f(x)
lim=
∞
→
x
则曲线)(x
f
y=有渐近线b
kx
y+
=
如下图：
例求曲线
3-
2
2
3
x
x
x
y
+
=的斜渐近线
例求曲线
2
2
-1
2
3
x
x
y
+
=的斜渐近线
（2）垂直渐近线
如果C
x→(或者+
→C
x或者-C
x→)时，
参考图像
案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。

案例3 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问
底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？
案例4 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V ，问当圆柱体的高h 和底半径r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？
6
4
2
2
4
6
5510
???? ? ??。