第二章 随机变量及其分布

（3） k 0 = [(n + 1) p ] = [7.7] = 7 故最可能命中 7 炮. 8.设有 80 台同类型设备, 各台工作与否是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由 4 人维护, 每人负责 20 台; 其二是由 3 人共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法以 X 表示第一人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数，则
P{0 ≤ X ≤ 2} = P{U{ X = k}} = ∑ b( k ;800,0.0005)
k =0 k =0
2
2
4 42 ≈ ∑ P(k ,4) = e (1 + + ) ≈ 0.2381 1! 2! k =0
2 −4
习 题 2-3 1、判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?
⎧0, x < −2, ⎪ (1) F ( x) = ⎨1 / 2, − 2 ≤ x < 0, ⎪1, x ≥ 0; ⎩ ⎧0, x < 0, ⎪ (2) F ( x) = ⎨sin x, 0 ≤ x < π , ⎪1, x ≥ π ; ⎩ ⎧0, x < 0, ⎪ (3) F ( x) = ⎨ x + 1 / 2, 0 ≤ x < 1 / 2, ⎪1, x ≥ 1 / 2. ⎩
14
6. 设随机变量 X 的概率分布为： P{ X = K } = （1） P{
k , k = 1,2,3,4,5 .试求： 15
1 5 （2） P{1 ≤ X ≤ 3} ； （3） P{ X > 3}. < X < }； 2 2 1 5 1 2 1 解 （1） P{ < X < } = P{ X = 1} + P{ X = 2} = + = ; 2 2 15 15 5 1 2 3 2 （2） P{1 ≤ X ≤ 3} = P{ X = 1} + P{ X = 2} + P{ X = 3} = + + = 15 15 15 5 4 5 3 （3） P{ X > 3} = P{ X = 4} + P{ X = 5} = + = . 15 15 5
2、 掷一枚均匀的硬币三次， 观察前后三次出现的正面次数之和 “大于 2” ， “等于 2” ， “小于 2”的情况，定义一个随机变量，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解 分别用 w1 , w2 , w3 表示试验的三个结果“大于 2” ， “等于 2” ， “小于 2”则
Ω = {w1 , w2 , w3 } 定义随机变量 X 如下：
∴ P{ X ≥ 3} = 1 − P{ X < 3} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1} − P{ X = 2}
= 1 − e −0.7 (
0.7 0 0.71 0.7 2 + + ) ≈ 0.0341. 0! 1! 2!
10.纺织厂女工照顾 800 个纺锭，每一纺锭在某一段时间 τ 内断头的概率为 0.005. 求在 τ 这段时间内断头次数不大于 2 的概率. 解：以 X 表示纺锭断头次数则 n = 800, p = 0.005, np = 4 ，应用泊松定理，所求概率 为
ω
X
HHH 3
HHT 2
HTH 2
THH 2
HTT 1
THT 1
TTH 1
TTT 0
则 X 是随机变量，易见， 使 X 取值为 2({ X = 2}) 的样本点构成的子集为 A = {HHT , HTH , THH }, 故 P{ X = 2} = P( A) = 3 / 8, 类似地，有
P{ X ≤ 1} = P{HTT , THT , TTH , TTT } = 4 / 8.
P{ X = 4} =
2×3 +1 7 2× 4 +1 1 2 × 5 + 1 11 = , P{ X = 5} = = , P{ X = 6} = = 36 36 36 4 பைடு நூலகம்6 36
故 X 的概率分布为
X pi
1 1 26
2 3 1 5 12 36
4 5 6 7 1 11 36 4 36
2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红 或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以 X 表示 该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求 X 的概率分布. 解 由题意知， X 的所有可能取值为 0，1，2，3 则
P{ X = 0} =
1 1 1 1 , P{ X = 1} = × = , 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 P{ X = 2} = × × = , P{ X = 3} = × × = 2 2 2 8 2 2 2 8 X pi 0 1 2 1 2 1 1 4 8 3 1 8
故 X 的概率分布为
解 满足分布函数的三条性质 （1） 单调非减； （2） F (−∞) = lim F ( x) = 0, F (+∞) = lim F ( x) = 1;
x→−∞ x→+∞
（3） 右连续性. 所以（1） （3）是分布函数.（2）不是 2、设随机变量 X 的分布函数为
F ( x) = A + B arctan x (−∞ < x < +∞).
∞
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人. 9.某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数 λ = 0.7 的泊松分布, 求该城市一天内 发生 3 次或 3 次以上火灾的概率.
15
解 Q X ~ P (0.7) ∴ P{ X = k} =
0.7 k −0.7 e , (k = 0,1,L) k!
X ~ b( 20,0.01) ， 以 Ai 表 示 事 件 第 i 人 负 责 的 台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 ，
（ i = 1,2,3,4 ） ，则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：
P( A1 U A2 U A3 U A4 ) ≥ P ( A1 ) = P{ X ≥ 2}
求： （1） X 的的分布函数； （2） P{X ≤ 1 / 2}, P{3 / 2 < X ≤ 5 / 2}, P{2 ≤ X ≤ 3}. 解 (1) F ( x) = P{ X ≤ x} 当 x < −1 时， { X ≤ x} = ∅, 故 F ( x) = 0 当 − 1 ≤ x < 2 时， F ( x ) = P{ X ≤ x} = P{ X = −1} = 当 2 ≤ x < 4 时, F ( x ) = P{ X = −1} + P{ X = 2} =
试求： （1）系数 A与B ； （2） P{ X ≤ 0} ； （3） P{−1 < X ≤ 1}.
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解 (1) 因为 F ( +∞ ) = A + B ⋅ 所以 A =
π
= 1 , F ( −∞ ) = A + B ⋅ ( − ) = 0 , 2 2
π
1 1 ,B = 2 π 1 1 + arctan x (−∞ < x < +∞ ). 2 π
习 题 2-2
1 同时掷两枚骰子观察它们出现的点数，求两枚骰子出现的最大点数的概率分布. 解 设 X 表示骰子出现的最大点数,则 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，5，6
13
P{ X = 1} =
1 2 ×1 + 1 1 2× 2 +1 5 = , P{ X = 3} = , P{ X = 2} = = 36 36 12 36 36
7.若每次射击中靶的概率为 0.7，射击 10 炮求： （1）命中 3 炮的概率； （2）至少命 中 3 炮的概率； （3）最可能命中几炮. 解 设 X 表示射击 10 炮中中靶的次数，则 X ~ b(10,0.7) 故
3 （1） P{ X = 3} = C10 0.7 3 0.37 = 0.009; 0 1 2 （2） P{ X ≥ 3} = 1 − (C10 0.7 0 0.310 + C10 0.710.39 + C10 0.7 2 0.38 ) = 0.998;
3.已知随机变量 X 的概率分布为:
X pi
1
θ
2
2 3 3 且 P{ X ≥ 2} = 求θ . 2 2θ (1 − θ ) (1 − θ ) 4
3 4
解 由 P{ X ≥ 2} = P{ X = 2} + P{ X = 3} = 2θ (1 − θ ) + (1 − θ ) 2 = 1 − θ 2 = 求得 θ = ± 故取 θ =
1 4
1 1 3 + = 4 2 4
当 x ≥ 4 时， F ( x ) = P{ X = −1} + P{ X = 2} + P{ X = 4} = 1
x < −1 ⎧ 0, ⎪1 / 4, − 1 ≤ x < 2 ⎪ 故 F ( x) = ⎨ ⎪3 / 4, 2 ≤ x < 4 ⎪ x≥2 ⎩ 1, 1 1 (2) P{X ≤ 1 / 2} = F ( ) − F ( −∞) = 4 2 5 3 3 1 1 P{3 / 2 < X ≤ 5 / 2} = F ( ) − F ( ) = − = 2 2 4 4 2 3 1 1 P{2 ≤ X ≤ 3} = − = 4 4 2 x<0 ⎧ 0, ⎪ x / 2, 0 ≤ x <1 ⎪ 4、 设 X 的分布函数为 F ( x) = ⎨ . ⎪ x − 1 / 2, 1 ≤ x < 1.5 ⎪ x ≥ 1.5 ⎩ 1,