立方根知识点讲解(含例题)

1．立方根的概念和性质

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．

（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．

（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．

2．开立方

（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．

（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；

=

③3==a．

（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．

3．平方根和立方根的区别和联系

1．被开方数的取值范围不同

在a是非负数，即a≥0a是任意数．

2．运算后的数量不同

一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．

K知识参考答案：

1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算

一、求立方根和开立方

根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．

【例1】-64的立方根是

A ．-4

B ．4

C ．±4

D ．不存在

【答案】A

【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．

【例2

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．±1 【答案】C

-1-1，故选A ．

【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

【例3】下列计算中，错误的是

A B 34

=-

C 112=

D ．25=- 【答案】D

【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）

8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，

所以-343的立方根是-7．

（2）因为32

8()5125

=， 所以8125的立方根是25

． 【例5】求下列各式的值：

（1；（23）

【解析】（1

（2

（3 二、利用立方根的知识解方程

只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．

【例6】若a 3=–8，则a =__________．

【答案】–2

【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．

【例7】求下列各式中的x ：

（1）8x 3+125=0；

（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，

（2）因为3(3)270x ++=，

所以3(3)27x +=-，

x+=-，

所以33

x=-．

所以6

三、平方根和立方根的综合应用

在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．

【例8】64的平方根和立方根分别是

A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4

【答案】D

【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．

【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．

【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．

（1）求x，y的值；

（2）求3xy的平方根．

【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．

∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，

∴x=1，y=12．

（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，

∵36的平方根是±6，

∴3xy的平方根±6.

【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．