《数学分析》14无穷小量与无穷大量

§５ 无穷小量与无穷大量

教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言

在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞

=. 我们称之为无穷小数

列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：

limsin 0,x x →= 20

lim 0,

x x →=

我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”

有哪些性质呢？

以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量

1．定义１：设f 在某0

0()U x 内有定义。若0

lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。记作：

0()0(1)()f x x x =→.

（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-

→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。

例：(1,2,

),sin ,1cos k

x k x x =-都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；

21sin ,

x

x x

是x →∞时的无穷小量。 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念

定义２（有界量）若函数g 在某0

0()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：

0()(1)()g x O x x =→.

例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1

sin

x

是当0x →时的有界量，即1

sin

(1)(0)O x x

=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，

f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点

的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质

性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

性质３ 0

lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0

lim(())0x x f x A →-=.

例如；2

1

lim sin

0x x x

→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.

问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：

22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x x

x →→→→→=====. 引申：同为无穷小量，20lim 0x x x →=，而20lim x x

x

→不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当0x →时，2

x 的收敛速度快于x 的收

敛速度。所以其变化结果以2x 为主。此时称2

x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是

2x 的低阶无穷小量。

一般地，有下面定义：

１． 无穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似） 设当0x x →时，,f g 均为无穷小量。 （１）

若0

()

lim

0()

x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()0(())()f x g x x x =→. 即0()0(())()f x g x x x =→⇔0

()

lim

0()

x x f x g x →=. 例 10lim 0k k x x x +→=⇒10()(0)k k

x x x +=→，001cos lim lim tan 01cos 0(sin )(0)sin 2x x x x x x x x →→-==⇔-=→.

问题 2

11

1lim

lim(1)01x x x x x →→-=-=+，此时是可说210(1)(1)x x x -=+→？ 引申 与上述记法：0()0(())()f x g x x x =→相对应有如下记法：0()(())()f x O g x x x =→，这是什么意思？含义如下：

若无穷小量f 与g 满足关系式

00()

,()()

f x L x U x

g x ≤∈，则记作0()(())()f x O g x x x =→. 例如，（１）2

1cos ()(0)x O x x -=→，(2sin )()(0)2

x x O x x +=→.

（２）若00()0(())()()(())()f x g x x x f x O g x x x =→⇒=→.

注 等式0()0(())()f x g x x x =→，0()(())()f x O g x x x =→等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“∈”。例如：