一元二次方程特殊根问题
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4
∵m是整数，∴m=-1或1，
当m=-1时，mx2-8x+16=0化为-x2-8x+16=0，解得x=-4±4 2，（舍去）；
当m=1时，x2-2mx+m2-4m-5=0化为x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2， 方程mx2-8x+16=0化为x2-8x+16=0，解得x1=x2=4，
∴m=1时，两个一元二次方程的根都是整数。
例题2： 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 x2-2mx+m2-4m-5=0与mx2-8x+16=0的根都是整数．
解：∵关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-5=0的根都是整数， ∴△1=(2m)2-4(m2-4m-5)=16m+20≥0，解得m≥ 5 ，
4
∵关于x的一元二次方程mx2-8x+16=0的根都是整数，m≠0， ∴△2=(-8)2-4m×16≥0，解得m≤1， ∴ 5 ≤m≤1且m≠0，
x1＝
32，x2＝
5．
4
（板块2）一元二次方程的整数根
解决方程ax2＋bx＋c＝0的整数根问题， 可以尝试利用“判别式的取值范围”、 “判别式是一个有理数的平方”，或者利 用“根与系数的关系”来解决问题．
例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 x2-2mx+m2-4m-5=0 与 mx2-8x+16=0 的根都是整 数．
第二个方程12+1+（k-2)=0,k=0,此时x2+x-2=0,x1=1,x2=-2;
∴k=0时，两个方程的公共根是x=1
巩固训练
1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于 x的方程x2－4mx＋4x＋3m２－2m＋4k＝0 的根为有理数？
提示：若原方程的根为有理数， 则△＝4[m２—6m＋4（1－k）]应为某个 有理数的平方，△是一个完全平方式．
5
5 2
(2)∵k为正整数，∴0<k< 2(且k为整数)，即k=1或2，
利用求根公式，得到x＝－1± 5 2k
∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．
当k＝1时，5－2k＝3（舍去）； 当k＝2时，5－2k＝1；此时x=-1±1,x1=0,x2=-2
∴k＝2时，该方程的根都是整数.
所以4(1－k)＝9，即k＝ 5 ．
4
[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有
两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k>0，∴k<
解： 若原方程的根为有理数， 则△＝（2m－1)2—4m(m－2)＝4m＋1 应为某个有理数的平方．
∵6＜m＜20， ∴25＜4m＋1＜81，
而4m＋1是奇数，从而4m＋1＝49， 得m＝12， ∴原方程变为12x2—23x＋10＝0，
解得x1＝
2 3
，x2＝
5 4
．
∴m＝12时，方程有有理根，此时方程的根为
板块3 一元二次方程的公共根
解题策略：用 α表示公共根，带入两个方程， 通过恒等变形，求出方程中的参数和公共根。
例题3 若关于x的一元二次方程x2+kx-1=0, x2+x+(k-2)=0有一个相同的根，求出两个方程 的公共根和k的值。
例题3 若关于x的一元二次方程x2+kx-1=0, x2+x+(k-2)=0 有一个相同的根，求出两个方程的公共根和k的值
解：设α是这两个方程的公共根，则α2+kα-1=0 α2+α+(k-2)=0
kα-α-1-(k-2)=0 ; kα-α-k+1=0 ； (α-1)(k-1)=0 ∴k=1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱα=1
(1)k=1时,两个方程都是x2+x-1=0，不合题意舍去。
(2)α=1时,第一个方程12+k-1=0,k=0，此时x2-1=0,x1=1,x2=-1;
一元二次方程的特殊根问题
（板块1）一元二次方程的有理根
解决一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数） 的有理根问题时，一般的解题策略有： （1）因为方程有根，确定△的范围”； （2）利用“判别式是一个有理数的平方”，确定判别式的值。
例题1 已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程 mx2-( 2m－1)x＋m－2＝0有有理根，求m的值及方程的根．
∵m是整数，∴m=-1或1，
当m=-1时，mx2-8x+16=0化为-x2-8x+16=0，解得x=-4±4 2，（舍去）；
当m=1时，x2-2mx+m2-4m-5=0化为x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2， 方程mx2-8x+16=0化为x2-8x+16=0，解得x1=x2=4，
∴m=1时，两个一元二次方程的根都是整数。
例题2： 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 x2-2mx+m2-4m-5=0与mx2-8x+16=0的根都是整数．
解：∵关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-5=0的根都是整数， ∴△1=(2m)2-4(m2-4m-5)=16m+20≥0，解得m≥ 5 ，
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∵关于x的一元二次方程mx2-8x+16=0的根都是整数，m≠0， ∴△2=(-8)2-4m×16≥0，解得m≤1， ∴ 5 ≤m≤1且m≠0，
x1＝
32，x2＝
5．
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（板块2）一元二次方程的整数根
解决方程ax2＋bx＋c＝0的整数根问题， 可以尝试利用“判别式的取值范围”、 “判别式是一个有理数的平方”，或者利 用“根与系数的关系”来解决问题．
例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 x2-2mx+m2-4m-5=0 与 mx2-8x+16=0 的根都是整 数．
第二个方程12+1+（k-2)=0,k=0,此时x2+x-2=0,x1=1,x2=-2;
∴k=0时，两个方程的公共根是x=1
巩固训练
1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于 x的方程x2－4mx＋4x＋3m２－2m＋4k＝0 的根为有理数？
提示：若原方程的根为有理数， 则△＝4[m２—6m＋4（1－k）]应为某个 有理数的平方，△是一个完全平方式．
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(2)∵k为正整数，∴0<k< 2(且k为整数)，即k=1或2，
利用求根公式，得到x＝－1± 5 2k
∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．
当k＝1时，5－2k＝3（舍去）； 当k＝2时，5－2k＝1；此时x=-1±1,x1=0,x2=-2
∴k＝2时，该方程的根都是整数.
所以4(1－k)＝9，即k＝ 5 ．
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[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有
两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k>0，∴k<
解： 若原方程的根为有理数， 则△＝（2m－1)2—4m(m－2)＝4m＋1 应为某个有理数的平方．
∵6＜m＜20， ∴25＜4m＋1＜81，
而4m＋1是奇数，从而4m＋1＝49， 得m＝12， ∴原方程变为12x2—23x＋10＝0，
解得x1＝
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，x2＝
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．
∴m＝12时，方程有有理根，此时方程的根为
板块3 一元二次方程的公共根
解题策略：用 α表示公共根，带入两个方程， 通过恒等变形，求出方程中的参数和公共根。
例题3 若关于x的一元二次方程x2+kx-1=0, x2+x+(k-2)=0有一个相同的根，求出两个方程 的公共根和k的值。
例题3 若关于x的一元二次方程x2+kx-1=0, x2+x+(k-2)=0 有一个相同的根，求出两个方程的公共根和k的值
解：设α是这两个方程的公共根，则α2+kα-1=0 α2+α+(k-2)=0
kα-α-1-(k-2)=0 ; kα-α-k+1=0 ； (α-1)(k-1)=0 ∴k=1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱα=1
(1)k=1时,两个方程都是x2+x-1=0，不合题意舍去。
(2)α=1时,第一个方程12+k-1=0,k=0，此时x2-1=0,x1=1,x2=-1;
一元二次方程的特殊根问题
（板块1）一元二次方程的有理根
解决一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数） 的有理根问题时，一般的解题策略有： （1）因为方程有根，确定△的范围”； （2）利用“判别式是一个有理数的平方”，确定判别式的值。
例题1 已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程 mx2-( 2m－1)x＋m－2＝0有有理根，求m的值及方程的根．