第二章矩阵习题课

主对角线元素为1，2， n， 其余元素为0的方阵称为对角阵.
(8)方阵
1 2 diag 1 , 2 ,, n n 1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 且A 亦可逆, 且 A A. 2 若A可逆, 数 0, 则 A可逆, 且 1 1 1 A A . 3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
1 1 1
( AB )
推广
1
B
1
1
A
1
矩阵的代数运算
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵， 且对应元素相等


aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
则称A与B相等，记为A B.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵 A ，称为n阶 方阵.也可记作An. （7）对角阵
称为单位矩阵（或单位阵）.
矩阵的加法
１、定义 设有两个m n矩阵，A ( Aij ), B ( Bij ), 那么矩阵
矩阵A与B的和记为作A B，规定为
a11 b11 a b 21 21 A B am 1 bm 1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得AB=BA=E，则说矩阵A 可逆的，并把矩阵B 称为A的逆矩阵， A的逆矩阵记作 A1 . 定理1 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 定理2 矩阵A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
1 则 B A 且 ΑΒ E , 设A,B是n阶方阵， 推论：
1 2
A1
A2 Am A A A .
1 m 1 1
T
4 若A可逆, 则A
亦可逆 , 且 A
A
T 1
1 T
.
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用
相同的分块法, 有
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
AA A A A E .
六、共轭矩阵
（aij）为复矩阵时，用aij 表示aij的共 定义 当A 轭复数，记 A (aij )，称为 A A的共轭矩阵.
运算性质
(设A, B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：
1 A B A B; 2 A A; 3 AB A B.
（其中 为数）;
3 AB AB AB
5 若A是 n 阶矩阵，则 A k
为A的 k 次幂，即 m k m k mk k A A A A 并且 A A A ,A Amk .
m , k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA , k AB Ak B k .
第二章
矩阵
主要内容
典型例题 课后习题
基本概念
定义 1 m n个数ai j (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的一个m行n列矩形数表：
a11 a21 am1
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵或m n矩阵，简称矩阵。

0 0 Bs
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:
(ci c j ) (1) 对调两行(列)（对调 i , j 两行（列） , 记作ri rj）；
(2)以数k 0乘某一行（列）中的所有元素（第i 行（列）乘k,记作ri k(ci k )）
T
4 AB BT AT .
T
设A为n阶方阵，如果满足A AT ,即 aij a ji ( i 1, 2,, n), 那么A称为对称阵
说明: 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
五、方阵的行列式
定义 由n阶方阵A的元素构成的行列式 叫做方阵A的行列式，记作|A|或det(A).
其中Aij 与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
A11 B11 A B A B s1 s1

A1r B1r . Asr Bsr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵, 分块成
A11 A1t B11 B1r A , B , A B A B s1 t1 st tr 其中Ai 1 , Ai 2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
四、矩阵转置
定义
设A (ai j )是m n矩阵，矩阵 a11 a 12 a1n a21 am1 a22 am 2 a2 n amn
为矩阵A的转置，记为AT .
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
T
2 A B AT BT ; 3 A AT ;

am 1
amn
.
2、数乘矩阵的运算规律
（设A、B为m n矩阵，、为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
5 设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都 是方阵.即
A1 O A2 A , O A s
A1 O A2 A , O A s
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
性质2 方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等
方阵 P1 , P2 ,, Pl，使得 A P1 P2 Pl . 推论: 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A E．
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C Ams Bsn .
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC A BC ; 2 A B C AB AC , 4 AE EA A;

k个
B C A BA CA;
(3)把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行对应的元
素上去（第j行（列）的k 倍加到第i行上，记作
ri krj (ci kc j ))
矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
特点：
（1）可划出一条 阶梯线，线的下方 全为零； （2）每个台阶 只 有一行，
1 0 0 0
2 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 F 0 0
行最简形
标源自文库型
对行最简形矩阵再施以列初等变换，可得标准形矩阵
1 0 B5 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 c4 c1 2c2 2c3 0 2 1 0 c5 c1 c2 5c3 0 1 2 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 F 0 0
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B .
二、数与矩阵相乘 1、定义 数与矩阵A的乘积记作 A或A , 规定为
a11 a A A 21 am 1
a12 a1n a22 a2 n
的行数 , 那末
C11 AB C s1
其中C ij Aik Bkj
k 1 t
C1r C sr
i 1, , s; j 1, , r .
T T A A A 11 A11 s1 1r T 4 设 A , 则 A . As1 A AT AT sr sr 1r
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
求逆矩阵的新方法: 若把矩阵(A,E) 的行最简形记作(E,X),则
X A 1 .
二、初等矩阵
1. 对调两行或对调两列 E (i, j )
2、以数 k 0 乘某行或某列
E ( i ( k ))
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去 E ( j (k ), i )
其中 Ai i 1,2, s 都是方阵, 那末称 A为分块 对角矩阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6 设 A
A2
o
, As
o
若 Ai 0 i 1, 2, , s , 则 A 0, 并有
3 2 1 0 4 1 2 5 0 0 0 1
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
1 0 B5 0 0
0 1 0 0
0 1 1 1 c4 c1 2c2 2c3 0 2 1 0 c5 c1 c2 5c3 0 1 2 5 0 0 0 0
A11 1 A2 1 A . 1 A s
o
o
A1 0 0 B1 0 0 A2 0 0 B2 7 0 0 A 0 0 s 0 A1 B1 0 A2 B2 0 0 0 0 . As Bs
运算性质
1 AT A;
2 A n A;
( 4) AB BA .
3 AB A B ;
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 A A 1n
性质

A21 A22 A2 n

An1 An 2 Ann