直线的倾斜角与斜率、直线的方程

不含直线 x＝x1 和直线 y＝y1
截距式 一般式
ax＋by＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线
平面直角坐标系内 的直线都适用
【教材提炼】
一、教材改编
1．[选修一·P86 T3]若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1， 则 m 的值为( )
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【教材回扣】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与
直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．
(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
2．斜率公式
(1)若直线 l 的倾斜角 α≠90°，则斜率 k＝ tan α .
A．1
B．4
C．1 或 3 D．1 或 4
答案：A 解析：由题意得－m2－－4m＝1，解得 m＝1.
2．[选修一·P96 例 4]已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)， C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的 方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0 C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
∴|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B|＝－M→A·M→B＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)2a＋b1－5＝2ba＋ba≥4， 当且仅当 a＝b＝3 时取等号，此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
类题通法
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数， 再利用基本不等式(或函数)求解最值；
答案：B 解析：两条直线的斜率分别是 k1＝mn ，k2＝mn ，可知斜率同号．故 选 B.
(2)直线 l 经过 A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是________．
答案：π4，π2 解析：直线 l 的斜率 k＝13＋－m22＝1＋m2≥1， 所以 k＝tan α≥1. 又 y＝tan α 在0，π2上是增函数， 因此π4≤α<π2.
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
题型一 直线的倾斜角与斜率[师生共研]
[例 1] (1)直线 2xcos α－y－3＝0α∈6π，π3的倾斜角的取值范围 是( )
A.π6，π3 B.π4，π3 C.π4，π2 D.π4，23π
答案：B 解析：直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，
因为 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]． 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，3π， 即倾斜角的取值范围是π4，π3.
题型二 求直线的方程[自主练透] 1．过点(－1,2)且倾斜角为 150°的直线方程为( ) A. 3x－3y＋6＋ 3＝0 B. 3x－3y－6＋ 3＝0 C. 3x＋3y＋6＋ 3＝0 D. 3x＋3y－6＋ 3＝0
答案：D 解析：∵k＝tan 150°＝－ 33，∴y－2＝－ 33(x＋1)， 即 3x＋3y－6＋ 3＝0.
∴2k－k 1>0， ⇒k<0.于是 1－2k>0
S△AOB
＝
1 2
·|OA|·|OB|
＝
1 2
2k－1 ·k
·(1
－
2k)
＝
1 2
4－1k－4k
≥
1 2
4＋2 －1k·－4k＝4. 当且仅当－1k＝－4k，即 k＝－12时，△AOB 面积有最小值为 4，此时，直
线 l 的方程为 y－1＝－12(x－2)，即 x＋2y－4＝0.
题型三 直线方程的综合应用[师生共研] [例 2] 已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴的正半轴、y 轴的 正半轴交于 A，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程．
解析：解法一 设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
则可得 A2k－k 1，0，B(0,1－2k)． ∵直线 l 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，
33，＋∞，
∴α∈π6，2π∪π2，23π. 综合①②知直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是π6，23π.
6．过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
答案：3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：当截距为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当截距不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5.所以直线方程为 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
类题通法 斜率取值范围的两种求法 (1)数形结Байду номын сангаас法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助 图形，结合正切函数的单调性确定． (2)函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围， 反之亦可.
【跟踪训练 1】 (1)两直线mx －ny＝a 与nx－my ＝a(其中 a 是不为零的常数)的图象可 能是( )
类题通法 (1)求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其 方程． ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有 待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程． (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用 条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想 的运用.
(2)已知点 A(1,3)，B(－2，－1)．若直线 l：y＝k(x－2)＋1 与线段
AB 恒相交，则 k 的取值范围是( )
A．k≥12
B．k≤－2
C．k≥12或 k≤－2 D．－2≤k≤12
答案：D
解析：直线 l：y＝k(x－2)＋1 经过定点 P(2,1)， ∵kPA＝31－－12＝－2，kPB＝－ －12－ －12＝12，
解析：解法一 由例 2 知 A2k－k 1，0，B(0,1－2k)(k<0)． ∴|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2＝21＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k，即 k＝－1 时取等号． 此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
解法二 由例 2 知 A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，2a＋1b＝1.
又直线 l：y＝k(x－2)＋1 与线段 AB 相交，
∴－2≤k≤12.
[变式探究 1] 本例(2)直线 l 改为 y＝kx，若 l 与线段 AB 恒相交，则 k 的取值范 围是________．
答案：－∞，12∪[3，＋∞) 解析：直线 l 过定点 P(0,0)， ∴kPA＝3，kPB＝12， ∴k≥3 或 k≤12.
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
方程 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 (x1≠x2，y1≠y2)
适用范围 不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线
答案：A 解析：由中点坐标公式得 M(2,4)，N(3,2)，则 kMN＝23－ －42＝－2， ∴MN 所在直线的方程为：y－2＝－2(x－3)，即 2x＋y－8＝0.
3．[选修一·P89 T1]已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角 为________．
答案：π4或34π 解析：由|k|＝|tan α|＝1 知 tan α＝±1， ∴α＝π4或34π.
解法二 设所求直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则2a＋1b＝1.
又∵2a＋1b≥2 a2b⇒12ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12， 即 a＝4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝12ab 有最小值为 4. 此时，直线 l 的方程是4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0.
[变式探究] 本例中，求当|MA|·|MB|取得最小值时直线 l 的方程．
(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中 x， y 的关系，将问题转化为关于 x(或 y)的函数，借助函数的性质解决问 题.
【跟踪训练 2】 已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0<a<2 时， 直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求 实数 a 的值．
2．过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14的直线方程 为________．
答案：3x＋4y＋15＝0 解析：设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－14×3＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
3．若 A(1，－2)，B(5,6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴 上的截距相等，则直线 l 的方程为________．
二、易错易混 4．如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C 解析：由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0，在 y 轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.