初中平面几何一题多变(1)

平面几何一题多变
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、保留条件，深化结论；
3、减弱条件，加强结论；
4、探讨命题的推广；
5、考查命题的特例；
6、生根伸枝，图形变换；
7、接力赛，一变再变；
8、解法的多变等。

19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，
求证：CE：EB=CD：CB
20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F
求证：（1）BF·CE= BE·DF
（2）AE⊥CF
（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC
21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC 于E、F，
求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）
22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，
求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线
23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，
求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）
24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，
求证：DF：CF=BC：AC
25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：
因为CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）
=（AD+DB）/（AD·BD·AB）
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15题解答：
因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=(AD-DB)AB
=2DM*AB
26、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，FG‖AB交BC于点G，
求证：CE=BG
27、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，
求证：四边形CEGF是菱形
28、（对19题增加一个结论）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，
求证：CE=CF
29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，
求证：过点D的圆O1的切线平分BC
30、（在19题中增加一个圆）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD 于F，
求证：⊙CED平分线段AF
31、（在题1中增加一个条件）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，
求证：BD=AB/4
（沪科版八年级数学第117页第3题）
32、（在18题基础上增加一条直线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCD
P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N
求证：PQ/PN=QM/MN
32题证明：
作NS‖CD交直线AC与点S，
则PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）
∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD
NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
题33
在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE
题33证明
CB^2= BD·AB
因EB=CB
∴EB^2= BD·AB
∴EB：BD=AB：BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB：AB=DE：AE
∴DE·AB= AE·BE
题34
（在19题基础上增加一条垂线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，
求证：EG^2= BE·EC
证明：延长AC、GE，设交点为H，
∴△EBG∽△EHC
∴EB：EH=EG：EC
∴EH·EG= BE·EC
又HG‖CD，CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2= BE·EC
题35（在题19中增加点F）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，
求证：2CF·FD = AF·EF
题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）
已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC
题37
（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）
已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD
求证：AE^2= AD·AB
题38
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线
求证：PA/AD=PB/BD
题39
（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，
求证：△ADF∽△AEB
题40：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足
求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB
题41
已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，
求∠ACB的度数。

题42
已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，
则∠ACB一定是90度吗？为什么？
题43：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，
△BDC的内切圆⊙O2，
求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB
题44：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD
题45、
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD 为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P
求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等
题45解：
∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD= BP·PC
又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）
S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S △PAD= S △PBD
题46（在题38的基础上变一下）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D ，若PA=5，PC=10，
求 CD·CE的值
题47
在题46中，求sin∠PCA
题48（由题19而变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，
求证：（1）AC=AG
（2）、AG^2= AD·AB
（3）、G在∠DCB的平分线上
（4）、FG‖BC
（5）、四边形CEFG是菱形
题49
题49解答：
题目50（题33再变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，
求证：AF= 2FE
题50解：
过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：DB=AC^2：CB^2=4：1
又DB：EM=1：2
所以，AD：EM=2：1
△ADF∽△EMF
∴AF：EF=AD：EM=2：1
∴AF=2EF
题目51（题50中连一线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，
求证：∠ABC=∠EBF
（题51的几种解法）
解法1、
作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF ∴CG=EF
∴证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法2
作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，
则点G 为△ACE的垂心，∴GF‖CE
又∠AEC=∠GCE，
∴四边形CGFE为等腰梯形
∴CG=EF
∴再证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法3
作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，
则点G 为△ACE的垂心，
易证△APG≌△CPF（AAS）
∴PG=PF
又∠GPB=∠FPB，
PB=PB
∴△PBG≌△FBP（SAS）
∴∠PBG=∠FBP
∴∠ABC=∠EBF
题51解法4（原题图）
由题50得，AF=2EF
∴AF：EF=AC：BE=2
又∠CAF=∠BEF=45度
∴△ACF∽△EBF
∴∠ACF=∠EBF
又∠ACF=∠CBA
∴∠ABC=∠EBF
题51解法5
作ME⊥CE交CD的延长线于M，
证△ABC≌△CME（ASA）
∴∠ABC=∠M
再证△MEF≌△BEF（SAS）
∴∠EBM=∠M
∴∠ABC=∠EBF
题51解法6
作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，
∴BF‖AN
∴∠EBM=∠N
又∠ABC=∠N（对称点）
∴∠ABC=∠EBF
题51解法7
过点C作CH‖BF交AB于M，
∵B为CE的中点，
∴F为HE的中点
又由题50，AF=2EF，
∴H为AF的中点
又CH‖BF
∴M为AB的中点
∴∠MCB=∠MBC
又∠EBM=∠MCB
∴∠ABC=∠EBF
题目52（题50、51结论的引伸）
已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，
B为CE的中点，连结FB，
求证：
（1）、AF=2EF
（2）、∠ABC=∠EBF
（3）、∠EBF= ∠E+∠BAE
（4）、∠ABF=2∠DAC
（5）、AB：BF=AE：EF
（6）、CD：DF=AE：AF
（7）、AD：DB=2AF：EF
（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1
题目53 （题52的一部分）
已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证：
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）
已知如图，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
平面几何一题多变
题目55（题53的逆命题2）
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目56（题53的逆命题3）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
求证：
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目57（题53的逆命题4）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求证：
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
题目58（题53的逆命题5）已知如图，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
求证：
⑤、AF=2EF
①、AC=CE
题目59（题53的逆命题6）已知如图，
①、AC=CE
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
题目60（题53的逆命题7）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
④、CF⊥AB
求证：
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
题目61（题53的逆命题8）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
题目62（题53的逆命题9）已知如图，
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
①、AC=CE
②、AC⊥CE
题目63（题53的逆命题10）已知如图，
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
①、AC=CE
③、CB=BE
题目64（题53的逆命题11）已知如图，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
求证：
①、AC=CE
④、CF⊥AB
题目65（题53的逆命题12）
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
②、AC⊥CE
③、CB=BE
题目66（题53的逆命题13）
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
题目67（题53的逆命题14）
已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
③、CB=BE
④、CF⊥AB
题目68
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，
求S△BCD=？
（题68解答）
解：
设S△BCD=x,则S△ACM/ S△CMB=30/（6+ x）=AM/MB
S△ACD/ S△CDB=36/ x=AD/DB
又AC^2= AD·AB
BC^2= BD·AB
∴AC^2/ BC^2=AD/BD
∵CM平分∠ACB
∴（AM/ BM）^2=AD/BD
∴[30/(6+x)]^2=36/x
解方程得x=4或x=9
∴S△BCD=4或S△BCD=9
题目69
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC^2= AD·AB 求证：CD⊥AB
题目70
已知如图，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，
CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，
求证：1/AC-1/BC=√2
题70证明：
过点M作MD⊥BC，D为垂足，作MD⊥AC，E为垂足，
设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=√2 x，AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,
∴x=ab/(a+b)
又CM+CB=AC
∴√2 x+a=b,
∴ab/(a+b)=(b-a)/ √2
整理得：b^2-a^2=√2ab
两边都除以ab,
∴1/AC-1/BC=√2
题目71(依题68变)
已知如图，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，
求AD、MD的长。

题目71解：
显然，方程x^2-14x+48=0的两根为6和8，
又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC^2= AD·AB
∴AD=6.4
∵CM平分∠ACB
∴AM/MB=AC/CB
解得，AM=40/7
∴MD=AD-AM=24/35
题目72
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A 正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，
求△A'MN与△ABC的面积之比。

题72解：
∵∠ACB=90度，AB=2AC
∴∠B=30度
由题意，四边形AMA'N是菱形，
∴△A'BM∽△ABC
∴A'M/AC=BM/AB
设AM=x, AB=2AC=2a
∴x/a=(2a-x)/2a
∴x=2a/3
由三角形面积公式，得
S△A'MN：S△ABC=2：9
题目73
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足
求证：AB+CD>AC+BC
题73的证明：
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC
又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2
∴AB^2+2AB·CD =AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性质)
∴AB^2+2AB·CD =（AC+BC）^2
∴AB^2+2AB·CD+CD^2 >（AC+BC）^2
∴(AB+CD)^2 >（AC+BC）^2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC
题目74
已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D为垂足
求证：AB+CD>AC+BC
题74证明：如图，作CB’⊥AC交AB于B’,
于是有
AB’·CD=AC·B’C
2AB’·CD=2AC·B’C
又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2
∴AB’^2+2AB’·CD =AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性质) ∴AB’^2+2AB’·CD =（AC+B’C）^2
∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2 >（AC+B’C）^2
∴(AB’+CD)^2 >（AC+B’C）^2
又AB’、CD、AC、B’C均大于零
∴AB’+CD>AC+B’C……①
在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②
①+②得AB’ BB’+CD>AC+B’C CB-CB’
∴AB+CD>AC+BC
题目75
已知如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，CT平分∠ACB，CM为AB边上的中线，
且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB
求证：∠ACB=90度
题目75的证明：
延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，
则N为弧AB的中点，所以MN⊥AB，
又CD⊥AB，
∴MN‖CD
∴∠DCT=∠TNM
又∠DCT=∠TCM
∴∠TCM=∠TNM
∴CM=NM
∴CN的垂直平分线必过点M，
又CM为AB边上的中线，MN⊥AB
∴AB的垂直平分线必过点M，
即M为两条弦的垂直平分线的交点，
∴M为三角形ABC的外接圆的圆心，
因此AB为△ABC的外接圆的直径。

∴∠ACB=90度
题目76
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
∠ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ，
求证：MC=MG
题目77
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是∠ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,
求CD、CM、CE的长
题目78
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，
且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，
求证：AM=CM
题目79（题78再变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE
求证：BG^2= AB·BE- AG·GE
题目80
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，
求证：CD^2= DM·DP
题目81
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，
求证：2DM·DP= BE·EP
题目82
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，
且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，
求证：AB=BH
题目83(由题44变)
求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。

题目84
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点
求证：BC平分∠DCN
题目85
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点，
AF⊥MN，F为垂足，AE⊥MN，E为垂足，
求证：CD=CE=CF
题目86
已知，△ABC中，∠ACB=90度，以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E，
求证：∠BCE=∠DCE
题目87（由题38图而变）
求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。

（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性两方面来证明。

）
题目88
作图题：
已知两线段之和及积，求作这两条线段。

已知：两线段m和n
求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n^2
补个图（题88作法参考）
AD、BD即为求作线段x、y
题目89（由题88变）
已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。

题目90
利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。

题目89作法：
如图，作两腰的延长线交于点O，作PB⊥AB使PB=OA，连结OP，
以OP为直径作半圆M，由圆心M作MN⊥OP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EF‖BC交CD于F，则EF即为所求线段。

题91(题73变)
设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，
求证：a+d>b+c
题92（人教版数学八年级下114页）
在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，
∠ECB是多少度？
题93（题49变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是锐角，
求∠A/2+∠B的值。

题目93解：（构造法）
分别以17、13为边作△ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高，
在Rt△ADC中，AD=17 cosA，在Rt△BDC中，BD=13 cosB，
CD=17sinA=13sinB
而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，
∴AC=AB, ∠B=∠ACB,
∴∠A+2∠B=180度
∴∠A/2+∠B=90度。

题94
已知如图，△ABC的∠C的平分线交AB于D，交△ABC的外接圆于E，
若CD·CE等于△ABC面积的2倍
求证：∠ACB=90度
题目95
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB 交AB于M，若AC>BC
求证：∠DCM=1/2·（∠B-∠A）
题目96
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，求△ABC中较小的锐角的度数。

题目97
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CE平分∠ACB 交AB于E，且EC+BC=AC，求AC/BC
题97解：
设BC=a,AC=b,过点E作EH‖BC交AC于点H，作EF‖BC交BC于点F，
则四边形CHEF为正方形，设EH=x.则CE=√2x,
由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)
由题意得，a+√2x=b
∴x=(b-a)/ √2a,
∴(ab)/(a+b)= (b-a)/ √2a,
得b^2-√2ab-a^2=0
b/a=(√2+√6)/2
即AC/BC=(√2+√6)/2
题目98
已知，△ABC中，∠ACB=90度，两直角边的差为2√2，
CD⊥AB，D为垂足，BD-AD=2√3，
求△ABC中的三边长。

题目99
圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=2√3，
求∠A的度数。

题目100
已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，∠B=2∠A
求证：CB=AD-BD
题目101
已知，AB是⊙的直径，AB=4，D是OB的中点，过点D的弦CE⊥AB，求弦CE的长。

（题54的解答）
已知如图，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
证明：
过点E作EM⊥CF如图，由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD为△CEM的中位线，则BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1=AC^2:CB^2
∴AC：CB=2：1
又CB=BE
∴AC=CE (再由51的解答即有∠ABC=∠EBF成立)
题55的解答
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
证明：过点E作EM⊥CF，如图
由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD为△CEM的中位线，则BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1
不妨设DB=x，CD=y,则AD=4x，
由勾股定理得AC=√[（4x）^2+y^2],BC=√（x^2+y^2）
又AC=2BC，得y^2=4x^2
即CD^2=AD·DB
CD：AD=DB：CD，∠ADC=∠CDB=90度∴Rt△ADC∽Rt△CDB
∴∠ACD=∠CBD
又∴∠BCD+∠CBD=90度
∴∠BCD+∠ACD=90度，
即∠ACB=90度(再证∠ABC=∠EBF成立)。