人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式 导学案
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人教版八年级数学上册第十四章14.2 乘法公式导学案
14.2.1 平方差公式
教学目标
1.通过探索、归纳特殊形式的多项式乘法的过程,能推导出平方差公式,并会运用平方差公式进行计算.
2.通过具体操作、归纳、推理,理解平方差公式的几何背景.
预习反馈
阅读教材P107~108内容,完成下列问题.
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方.
2.计算下列各式:
(1)(x+1)(x-1)=x2-1;
(2)(m+2)(m-2)=(m)2-(2)2=m2-4;
(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2-(1)2=4x2-1;
(4)(x+5y)(x-5y)=(x)2-(5y)2=x2-25y2.
3.由图1到图2,根据面积关系,可以得到(a+b)(a-b)=a2-b2.
图1 图2
例题讲解
例1运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y)(-x-2y).
【点拨】在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22.
↕↕↕↕↕↕
(a+ b)( a- b)= a2- b2.
在(2)中,可以把-x看成a,2y看成b,即
(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2.
↕↕↕↕↕↕
(a+ b)( a- b)= a2- b2
解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
【方法归纳】运用平方差公式计算时,要确定式子中的“a,b”,a是两个二项式中相同的项,b是两个二项式中相反的项,结果是相同项的平方减去相反项的平方.
例2 计算:
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
(2)102×98.
解:(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y +1.
(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10 000-4=9 996.
【方法归纳】利用平方差公式计算两个绝对值较大的数相乘时,关键是将已知数写成两数和与两数差的积的形式.
【跟踪训练】运用平方差公式计算:
(1)(m+2n)(m-2n);
(2)(-4a+3)(-4a-3);
(3)1 007×993;
(4)(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x).
解:(1)原式=m2-4n2.
(2)原式=(-4a)2-32=16a2-9.
(3)原式=(1 000+7)×(1 000-7)=1 0002-72
=999 951. (4)原式=4x 2
-y 2
-(4y 2
-x 2
)=4x 2
-y 2
-4y 2
+x 2
=5x 2
-5y 2
.
巩固训练
1.下列能用平方差公式计算的是(B)
A .(-x +y)(x -y)
B .(x -1)(-1-x)
C .(2x +y)(2y -x)
D .(x -2)(x +1)
2.计算(2+x)(x -2)的结果是(D)
A .2-x 2
B .2+x 2
C .4+x 2
D .x 2
-4
3.若三角形的底边长为2a +1,底边上的高为2a -1,则此三角形的面积为(D)
A.4a 2
-1
B.4a 2
-4a +1 C.4a 2+4a +1
D.2a 2
-12
4.当x =3,y =1时,代数式(x +y)(x -y)+y 2
的值是9. 5.计算:
(1)(3a +2b)(3a -2b); (2)(-2xy +3y)(-2xy -3y). 解:(1)原式=9a 2
-4b 2
. (2)原式=4x 2y 2
-9y 2.
课堂小结
利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘,速度快、准确率高,但必须注意平方差公
式的结构特征.
14.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式
教学目标
1.类比平方差公式的推导过程,能利用乘方的意义与多项式的乘法法则推导出完全平方公式,并会运用完全平方公式进行计算.
2.通过具体操作、比较,理解完全平方公式的几何背景.
预习反馈
阅读教材P109~110内容,完成下列问题.
1.完全平方公式:(a +b)2
=a 2
+2ab +b 2
;(a -b)2
=a 2
-2ab +b 2
,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
2.计算下列各式: (1)(a +1)2
=a 2
+2a +1; (2)(m -3)2
=m 2
-6m +9.
3.用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和.
(a +b)2
=a 2
+2ab +b 2
.
例题讲解
题型1 运用完全平方公式计算 例1 运用完全平方公式计算:
(1)(4m +n)2
;(2)(y -12
)2.
解:(1)(4m +n)2
=(4m)2
+2·(4m)·n +n 2
=16m 2
+8mn +n 2
. (2)(y -12)2=y 2
-2·y ·12+(12)2=y 2-y +14
.
【方法归纳】 记忆完全平方公式的口诀:“首(a)平方,尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍在中央.”