2018华二高二数学期中(含解析)

⎨-4x + y - 5 = 0 ⎨ ⎩

2018 华二高二数学期中考试

一. 填空题

1. 已知关于 x 、 y 的二元线性方程组⎧2x - y - 3 = 0

⎩

，则此方程组的增广矩阵为

2. 已知直角坐标平面内的两个向量a = (1, m ) ， b = (2, 4) ，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的分解成c = λa + μb ，则m 的取值范围是

3. 直线 x + 3y + 2 = 0 与4x + 2y -1 = 0 的夹角是

4. 设向量a = (3,0) ， b = (2,6) ，则b 在a 上的投影为

5. 直线3x - 2y - 3 = 0 与直线6x + my +1 = 0 平行，则它们之间的距离为

6. 直线mx + 4y - 2 = 0 与直线2x - 5y + n = 0 相互垂直，垂足为(1, p ) ，则n =

7. 若原点在直线l 上的射影为(2,1) ，直线l 的倾斜角为θ ，则sin 2θ =

8. 过点 A (-3,1) 和 B (4, -2) 的直线l 的点方向式方程为

9. 在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，BC = 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，若 AB ⋅ AF = 2 ，

则 AE ⋅ BF 的值是

10. 已知向量a 、b ，| a |= 1 ，| b |= 2 ，若对任意单位向量e ，均有| a ⋅ e | + | b ⋅ e |≤ 7 ，则a ⋅ b 的

最大值是

二. 选择题

1 1 1

11. 设 f (x ) = x x 2

-1 1 （ x ∈ R ），则方程 f (x ) = 0 的解集为（

）

1 1

A. {1}

B. {-1,1}

⎧x + y ≥ 1

C. {-1}

D. 以上答案均不对

12. 若 x 、y 满足约束条件⎪

x - y ≥ -1 ，目标函数 z = ax + 2y 仅在点(1,0) 处取得最小值，则a 的

⎪2x - y ≤ 2

取值范围是（ ）

A. (-1, 2)

B. (-4, 2)

C. (-4,0]

D. (-2, 4)

13.若分别过P(1,0) 、Q(2,0) 、R(4,0) 、S(8,0) 四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正

方形，则该正方形的面积不可能为（）

A.16

17 B.

36

5 C.

64

37 D.

196

53

14.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ=α⋅β

，若平面向量a 、b 满足：β⋅β

| a | ≥ | b | > 0 ，a 、b 的夹角θ∈ π

(0, )

4 ，且a b 和b a 都在集合{

n

| n ∈Z}中，则a b =（）

2

A.1

2 B.

1 C.

3

2

D.

5

2

三. 解答题

15.用矩阵行列式的知识解关于x 、y 的方程组：⎧mx +y =m +1

（m ∈R ）. ⎩

⎨

x +my = 2m

a |= 8

15

b |=

4

15

16.（1）求点(-1,3) 关于直线x - 2y - 2 = 0 的对称点坐标；

（2）求直线y =x

-1 关于直线y = 2x - 4 的对称直线的一般式方程. 2

17.已知向量a 、b 的夹角为锐角，且满足：| ，| .

（1）若a 、b 的夹角为 60°，A ={c | xa +yb =c,| c |=1, xy > 0} ，求x 、y 所满足的关系式，并求xy 的最大值；

（2）若对任意的(x, y) ∈{(x, y) || xa +yb |=1, xy > 0} ，都有| x +y |≤1成立，求a ⋅b 最小值.

18. 如果从北大打车到北京东站去接人，聪明的专家一定会选择走四环，虽然从城中间直穿

过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路，在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区，在理想模型中，假设每条道路都是水平或竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你怎样走，花费的路程都是一样的，出租车几何学（taxicab geometry ），其名称就来源于这样的想法. 所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼·闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如(x , y ) 的有序实数对，直线还是满足ax + by + c = 0 的所有(x , y ) 组成 的图形，角度大小的定义也和原来一样，只是在直角坐标系内任意两点 A (x 1, y 1 ) 、B (x 2 , y 2 ) 定义它们之间的一种“距离”： || AB ||=| x 1 - x 2 | + | y 1 - y 2 | ，请解决以下问题：

（1） 定义：“圆”是所有定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点

Q (a ,b ) 的“距离”均为r 的“圆”方程，并作出其大致图像；

（2） 在出租车几何学中，到两点 A 、B “距离”相等的点的轨迹称为线段 AB 的“垂直平分

线”，已知点 A (1,3) 、 B (6,9) 、C (-1,5) .

① 写出在线段 AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并作出大致图像；

② 求证：△ ABC 三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为△ ABC 的“外心”），并求△ ABC 的“外心”.