广义初等变换和广义初等矩阵.ppt

a11
a1k
0 1 k n
a ， k1
akk
B 则存在下三角矩阵 nn ，使BA为上三角形矩阵．
证明 对n作归纳法．
当n=1时，A (a11),B (b11), BA (a11b11)为上三角形．
假设n－1时命题成立. 因为
A1
a11
an1,1
a1,n1
an1,n1
满足题设条件，由归纳假设，存在 (n 1)(n 1)矩阵 B1 ，
满足B1A1 为上三角形矩阵．将A分块
A
A1
ann
,
a1n
其中
a2n
,
an1,n
(an1, an2,
, an,n1)
则
E
A11
0 A1
1
ann
A1 0
ann
A11
.
再作
B1
0
0 A1 1 0
ann
A11
B1A1 0
B1
ann
A11
上式右端为上三角形矩阵.将两次乘法结合起来得到
规则“左行右列，首尾为主”
二、应用
例1、设A，D可逆，求
的逆矩阵.
T
A C
0 D
解 设A，D分别是 m, n 阶可逆矩阵，由
CA1 A
C
0 D
Em
A1 A
En
B1
0
0 D
Em CA1
0
En
Em
0
0 En
A1 D1CA1
0
D
1
,
故
T
1
A1 D1CA1
0
D1
.
例2 证明行列式乘法公式 AB A B .
§6 广义初等变换和广义初等矩阵 一、概念 二、应用
一、概念
我们将初等变换和初等矩阵的概念推广到分块矩阵上 定义6.1 称分块矩阵的下列三种变换依次为广义换法、 广义倍法、广义消法变换： 1)对换分块矩阵两行（两列）的位置； 2)用可逆矩阵C左乘（右乘）分块矩阵的某一行（列）； 3)用矩阵K左乘（右乘）分块矩阵的某一行（一列）加 到另一行（列）上.
证明 设A、B为n级方阵，由
故
A 0 0 AB
.
E B E 0
A A E
0 B
0 E
AB
0
用Laplace 定理将行列式按前n行展开，得
A B AB (1)(12 n)((n1) 2n) E
(12n) 2 n
AB (1) 2 (1)n
AB (1)2n2 2n AB .
例3 设 A (aij )nn ，且
命题6.1 广义初等变换不改变矩阵的秩，特别地，广 义初等变换不改变矩阵的可逆性. 命题6.2 广义消法变换不改变行列式的值.
命题6.3 若分块矩阵A经广义行初等变换化为单位矩阵 E，将这些初等变换依次作用在分块单位矩阵E上，E就
变成了 A1.
定义6.2 将分块的单位矩阵 E diag(E1, E2 , , Es )
B1
0
0 E
1
A11
0 1
B1
A11Biblioteka Baidu
0 1
B,
B为所求.
由归纳原理，结论成立.
C
Es
其中 C 0, Ei是ni 级单位矩阵，t 1, 2, , s .
3)广义消法矩阵
E1
P(i,
j(
K
))
Ei
K
Ej
其中 Ei是ni 级单位矩阵，i 1, 2,
Es
, s.
命题6.4 广义初等矩阵是可逆的，其逆仍是同类型的
广义初等矩阵.
易知广义初等变换与广义初等矩阵的关系仍然符合八字
经一次广义初等变换化成的矩阵称为广义初等矩阵，其
中 Ei 是 ni 级单位矩阵.
易知广义初等矩阵有三种类型：
1.广义换法矩阵
E1 P(i, j)
Ei1 0
Ei
Ej
0
E j1
Es
其中，Ei是ni 级单位矩阵，t 1, 2, , s .
2）广义倍法矩阵
E1
P(i(C))