高中数学 第二章 推理与证明章末复习课课件 新人教B版选修1-2.pptx
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14
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 n2＋3n＋2 _____2_______个小正方形.
解析 15 答案
类型二 综合法与分析法 例 2 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
18 证明
反思与感悟
分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是 顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表 述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用， 互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.
28 证明
当堂训练
29
1. 观 察 按 下 列 顺 序 排 序 的 等 式 ： 9×0 ＋ 1 ＝ 1,9×1 ＋ 2 ＝ 11,9×2 ＋ 3 ＝ 21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为 A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
√B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
第二章 推理与证明
章末复习课
1
学习目标
1.理解合情推理和演绎推理. 2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理：由 部分 到整体 、由 个别 到 一般 的推理. (2)类比推理：由 特殊 到 特殊的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们 统称为合情推理.
要证|a|a|＋－|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a－b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)， 只需证|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立. 即只需证(|a|－|b|)2≥0，它显然成立. 故原不等式得证.
12345
36 证明
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想， 推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基 本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
7
题型探究
8
类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n 的关系式为__f(_n_)_＝__n_3_. 解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
5
2.演绎推理 (1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ① 大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
6
3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 综合法 和 分：析法 ① 综合法 是从已知条件推出结论的证明方法； ② 分析法 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 反证法 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾 的方法.
27
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0， 有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac， 从而有4(b＋d)>2ac， 即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
解析 9 答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝
a2＋b2 2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
10 解答
反思与感悟
(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律， 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖， 也有一定的探索性.
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解析 34 答案
4.如图，这是一个正六边形的序列：
则第n个图形的边数为__5_n_＋__1__. 解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为 首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.
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解析 35 答案
|a|＋|b| 5.已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，求证： |a－b| ≤ 2. 证明 因为a⊥b，所以a·b＝0，
22
1
1
跟踪训练 2 已知 x>0，y>0，求证：(x2＋y2) 2 >(x3＋y3) 3 .
23 证明
类型三 反证法 1＋x 1＋y
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少 有一个成立.
25 证明
反思与感悟
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都 是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时， 也常用反证法.
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
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解析 30 答案
2.在平面直角坐标系中，方程ax＋by＝1 表示 x，y 轴上的截距分别为 a，b
的直线，类比到空间直角坐标系中，在 x，y，z 轴上截距分别为 a，b，
c(abc≠0)的平面方程为
√A.ax＋by＋cz＝1
B.axb＋byc＋cza＝1
C.axby＋bycBaidu Nhomakorabea＋czxa＝1
D.ax＋by＋cz＝1
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解析 32 答案
3.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一 个实根”时，要做的假设是
√A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没 有实根，故选A.
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 n2＋3n＋2 _____2_______个小正方形.
解析 15 答案
类型二 综合法与分析法 例 2 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
18 证明
反思与感悟
分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是 顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表 述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用， 互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.
28 证明
当堂训练
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1. 观 察 按 下 列 顺 序 排 序 的 等 式 ： 9×0 ＋ 1 ＝ 1,9×1 ＋ 2 ＝ 11,9×2 ＋ 3 ＝ 21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为 A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
√B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
第二章 推理与证明
章末复习课
1
学习目标
1.理解合情推理和演绎推理. 2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.
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内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理：由 部分 到整体 、由 个别 到 一般 的推理. (2)类比推理：由 特殊 到 特殊的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们 统称为合情推理.
要证|a|a|＋－|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a－b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)， 只需证|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立. 即只需证(|a|－|b|)2≥0，它显然成立. 故原不等式得证.
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36 证明
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想， 推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基 本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
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题型探究
8
类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n 的关系式为__f(_n_)_＝__n_3_. 解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
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2.演绎推理 (1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ① 大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
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3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 综合法 和 分：析法 ① 综合法 是从已知条件推出结论的证明方法； ② 分析法 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 反证法 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾 的方法.
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跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0， 有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac， 从而有4(b＋d)>2ac， 即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
解析 9 答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝
a2＋b2 2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
10 解答
反思与感悟
(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律， 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖， 也有一定的探索性.
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解析 34 答案
4.如图，这是一个正六边形的序列：
则第n个图形的边数为__5_n_＋__1__. 解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为 首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.
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解析 35 答案
|a|＋|b| 5.已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，求证： |a－b| ≤ 2. 证明 因为a⊥b，所以a·b＝0，
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跟踪训练 2 已知 x>0，y>0，求证：(x2＋y2) 2 >(x3＋y3) 3 .
23 证明
类型三 反证法 1＋x 1＋y
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少 有一个成立.
25 证明
反思与感悟
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都 是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时， 也常用反证法.
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
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解析 30 答案
2.在平面直角坐标系中，方程ax＋by＝1 表示 x，y 轴上的截距分别为 a，b
的直线，类比到空间直角坐标系中，在 x，y，z 轴上截距分别为 a，b，
c(abc≠0)的平面方程为
√A.ax＋by＋cz＝1
B.axb＋byc＋cza＝1
C.axby＋bycBaidu Nhomakorabea＋czxa＝1
D.ax＋by＋cz＝1
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解析 32 答案
3.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一 个实根”时，要做的假设是
√A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没 有实根，故选A.